變式在數(shù)學概念教學中的應用

☉安徽省太和縣第二中學 張東方

很多教師因為教學任務比較重會忽略概念教學，學生因此對概念本質(zhì)的內(nèi)涵與外延無法形成透徹的理解.變式在數(shù)學概念教學中的運用能夠很好地改變這一現(xiàn)狀并獲得教學的高質(zhì)高效.

一、概念性變式的理解

1.概念性變式

概念性變式在闡述或突出事物本質(zhì)特征時采用的方式并不是單一的，運用不同的直觀材料或者事件對其進行說明是概念性變式的一種方式，變換同類事物的非本質(zhì)特征來突出事物本質(zhì)屬性也是概念性變式的一種方式，方式盡管有所不同，但其目的都是為了能使學生對事物本質(zhì)屬性形成更好的把握，使學生能夠清晰辨別哪些才是事物的本質(zhì)屬性，哪些則不是，概念性變式教學的運用能夠使學生在問題組的辨析、探究、歸納中對事物形成全面、準確而科學的理解.

2.概念性變式的意義

概念性變式教學與問題情境的結(jié)合往往能使學生在學習中煥發(fā)出更高的學習熱情.教師在教學中如果將高中數(shù)學抽象概念直接拋給學生往往導致學生難以完全接受，但如果教師在教學中能夠揣摩概念類型與本質(zhì)并將其設計成一系列的變式，將一些能夠還原概念的實例、模型、已有經(jīng)驗、題組設計成情境并呈現(xiàn)給學生，學生對概念學習產(chǎn)生熱情與積極性的同時也會因此建立更好的概念認知.

概念性變式教學還能更好地幫助學生深化基礎知識并令學生的思維得以拓展.教師在實際教學中引導學生在基本問題的變式研究中積極運用類比、聯(lián)想、特殊化及一般化的思維方式，能使學生在探索問題的發(fā)展變化過程中對問題本質(zhì)形成更加深入而透徹的理解，數(shù)學思維能力也會因此得到有效拓展.

二、概念性變式的應用

1.變式中形成概念

案例1 并集概念的引入.

師：若A={1，3}，B={1，3，5}，集合A、B之間會存在怎樣的關系呢？

生：子集，真子集.

師：若將集合A改成A={1，2，3}，集合A、B之間存在怎樣的關系呢？

生：兩者之間不存在包含關系.

師：若有C={1，2，3，5}，集合A、B、C之間又存在怎樣的關系呢？

生：C是A、B兩集合中所有不同元素的集合.

師：剛才我們經(jīng)歷的問題告訴了我們集合之間的一種基本運算方法，這一方法稱作“并”，所有不同元素“并”到一起以后也就形成了一個新的集合，用符號“∪”表示.我們應怎樣表示用數(shù)學語言描述并集的定義呢？

生：A∪B={x|x∈A或x∈B}.

學生在簡單集合的變式比較中尋得集合之間的關系并順利引出了并集的概念.

案例2 函數(shù)的單調(diào)性.

（1）圖像變式.如圖1，引導學生從左往右觀察函數(shù)x＞0）的圖像并提問：這幾個函數(shù)圖像在哪個區(qū)間是上升的？在哪個區(qū)間又是下降的呢？

圖1

將學生熟悉的圖像作為課堂教學的切入點并從“形”的角度對增函數(shù)、減函數(shù)進行了定義.引導學生觀察圖像并解決上述問題后，教師還可以將如下問題拋給學生：大家覺得函數(shù)圖像中的“上升”和“下降”這些特征與x、y這兩個變量之間存在哪些對應關系呢？大家能否運用自己的語言來表述增函數(shù)、減函數(shù)的含義呢？

（2）數(shù)值變式.設計問題并引導學生對函數(shù)的單調(diào)性定義進行精準的定量刻畫：有函數(shù)f（x）=x2，大家可以怎樣運用精準的數(shù)學語言來描述“增函數(shù)”和“減函數(shù)”呢？

伴隨提問，教師再引導學生一起舉出一些具體的數(shù)值進行比較，使學生在比較大小的過程中感受數(shù)值大小在刻畫增函數(shù)時的作用，在定量刻畫的過程中向符號描述過渡.教師在數(shù)值變式啟發(fā)學生定量刻畫定義的過程中可以給出以下問題：

以下判斷正確嗎？請舉例或畫圖說明理由.

①因為f（-1）＜f（2），因此f（x）在區(qū)間（-1，2）上為增函數(shù)；

②若對任意x＞0都有f（x）＞f（0），則f（x）在區(qū)間［0，+∞）上為增函數(shù)；

③因為f（1）＜f（2），f（2）＜f（3），f（3）＜f（4），…，故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù).

學生在教師設計的問題中辨析、歸納，單調(diào)性的嚴格定義隨著取值的“任意”性而達成.

學生在直觀到抽象、特殊到一般的一組變式題中也將感性經(jīng)驗與抽象概念之間的聯(lián)系成功建立了起來，積極探索的過程中也令思維得到了鍛煉和發(fā)展.

2.變式中鞏固概念

教師可以在奇偶函數(shù)的定義得出之后設計出辨析型的變式問題來幫助學生透徹掌握定義的內(nèi)涵與外延.

案例3 下列哪些命題是正確的？

（1）f（x）是R上的函數(shù)，若f（-3）=-f（3），則函數(shù)f（x）必定為奇函數(shù)；

（2）g（x）是R上的函數(shù)，若g（-3）≠-g（3），則函數(shù)g（x）肯定不是R上的奇函數(shù)；

（3）（fx）=x∈（-∞，-1］∪［2，+∞））為奇函數(shù)；

（4）f（x）=0（x∈R）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；

（5）已知f（x）是R上的偶函數(shù)，若點（a，f（a））在y=f（x）的圖像上，則點（-a，f（a））一定會在y=f（x）的圖像上.

評注：這是能夠有效加深學生對奇函數(shù)、偶函數(shù)概念理解的一組變式題.（1）和（2）說明只對某一個x0、f（-x0）=-f（x0）或f（-x0）=f（x0）成立，并不能用來判斷函數(shù)的奇偶性.（3）的設計只是為了幫助學生強化奇（偶）函數(shù)定義域?qū)ΨQ于原點這一要點的認識.（4）的問題探索使學生明白了同為奇函數(shù)與偶函數(shù)的函數(shù)的解析式一定為f（x）=0，但定義域關于原點對稱也說明了既奇又偶的函數(shù)有無限多個.（5）的設計主要是為了引導學生在偶函數(shù)的外延拓展中了解知識之間的聯(lián)系.

案例4 等差數(shù)列通項公式的應用.

等差數(shù)列的定義、通項公式、公式的特點等內(nèi)容的教學實現(xiàn)之后，教師可以設計以下具有一定層次性的變式題組幫助學生在探索與訓練中鞏固相關的知識.

題組1：（1）已知等差數(shù)列首項與公差，求其任意項，如在等差數(shù)列{an}中，已知a1=1，d=3，求a20.

（2）已知等差數(shù)列的某一項與公差，求其任意項，如在等差數(shù)列{an}中，已知d=1，a4=6，求a23.

（3）已知等差數(shù)列中任意兩項，求其公差與通項公式，如在等差數(shù)列{an}中，已知a9=21，a4=6，求a23.

題組1若干問題的探究使學生很快領會了等差數(shù)列中諸多問題變式的奧妙.從知識的層面來看，等差數(shù)列的定義與通項公式在所有的變式問題中是不會改變的；從方法層面來看，突出基本量的數(shù)學思想方法在所有的變式問題中也沒有改變，以不變應萬變的教學著力點在變式題組的設計中得到了很好的體現(xiàn)，在a1、d、n、a這四個量中，知三必可求一.

題組2：（1）已知等差數(shù)列某一項與另外兩項之和、差、積、商，求其通項，如在等差數(shù)列{an}中，如果a1=1，a2+a4=6，求{an}的通項公式；

（2）已知等差數(shù)列兩組相鄰兩項、三項或若干項之和，求其通項，如在等差數(shù)列{an}中，如果a1+a2=3，a3+a4=6，求{an}的通項公式；

（3）運用等差數(shù)列的中項性質(zhì)求其通項，如在等差數(shù)列{an}中，已知a1+a3=2，a2+a4=6，求數(shù)列{an}的通項公式；

（4）已知等差數(shù)列兩項和與積，求其通項，如在等差數(shù)列{an}中，已知a2·a3=6，a1+a5=5，求數(shù)列{an}的通項公式.

題組2中若干問題的設計是為了幫助學生對解題中所涉及的方程和轉(zhuǎn)化思想進行領會與應用.所有的變式問題其實都是圍繞通項公式本身的應用這一最為基礎的知識點而設計的，其他方面的知識在這些變式中并沒有進行滲透，相對來說，所有的問題變式還只是概念的簡單外延，學生在簡單的設計中能夠比較輕松地找到知識與方法的“生長點”和“固著點”，并掌握、運用公式.

教師在概念變式教學中一定要緊緊圍繞核心內(nèi)容與數(shù)學本質(zhì)，并著眼于知識生長點、延伸點、易錯點進行問題的變式設計，不僅如此，教師在實際教學中還應隨時注意學生上課時的感覺與反應并能及時空時變式的節(jié)奏、維度及深度，引導學生在這些變式問題的探究中體會“變”和“不變”并適時加以引導和點撥，使學生能夠在探索、思考與比較中發(fā)現(xiàn)變式問題的本質(zhì)屬性.

1.曹才翰，章建躍.中學數(shù)學教學概論［M］.北京：北京師范大學出版社，2008.

2.鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧伶玩.變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1，2，3）.F