一道解析幾何壓軸題的探究之路

☉江蘇省無錫市立人高級中學(xué) 朱 翠

☉江蘇省無錫市濱湖區(qū)教研發(fā)展中心 王華民

平面解析幾何是高考的主干內(nèi)容，而其中的“圓”作為考試說明的C級要求，是歷年高考的重點(diǎn)考查對象.筆者任教于一所三星級高中，在一次期中考試試卷壓軸題評講過程中，有幸和學(xué)生一起進(jìn)行了一次較為深入的探究活動，學(xué)生經(jīng)歷了一場思維風(fēng)暴，收獲頗豐.

一、探究過程摘錄

試題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2+y2=1，P為直線l：x=t（1＜t＜2）上一點(diǎn).

（1）已知

①若點(diǎn)P在第四象限，且OP=求過點(diǎn)P圓O的切線方程；

圖1

②若存在過點(diǎn)P的直線交圓O于點(diǎn)A，B，且B恰為線段AP的中點(diǎn)，求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍.

（2）略.

統(tǒng)計(jì)反饋：本題第（1）題的平均得分只有1.5分，尤其是其中的第②小題基本沒幾個同學(xué)得到分.

分析：該班學(xué)生“雙基”較薄弱，但有幾位同學(xué)思維較活躍，通過與學(xué)生的交流得知，由于時間緊張，部分同學(xué)就連題目都來不及看；解答的同學(xué)有不少是因?yàn)椴粫夥匠潭Х?于是在評講試卷時，預(yù)留了3分鐘時間給學(xué)生再思考，師生互動情境簡錄如下：

生1站出來分析題目：由題意可知過點(diǎn)P的直線斜率存在設(shè)為k，設(shè)直線方程為，與圓聯(lián)立方程組，求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，接下來用中點(diǎn)公式表示出坐標(biāo)間的關(guān)系.

圖2

在生1的分析過程中，筆者觀察到不少同學(xué)都是在若有所思的點(diǎn)頭，看來還是比較同意生1的思路的.

剛等生1坐下，筆者還沒來得及表示.

生2立馬站出來否定了生1的做法.他說：老師，他的方法不可行，我考試的時候試過了.

聽了他的話，一部分同學(xué)開始低頭計(jì)算，我示意大家試試看.

由于B點(diǎn)才是中點(diǎn)，解題陷入了僵局，看來這不是解決這道題目的好辦法.

這時候生3站出來說：我記得之前有做過一道題目，也是過一點(diǎn)P作一條直線，但它是恰為和兩條直線的交點(diǎn)的中點(diǎn).

話音剛落，同學(xué)們紛紛表示有這樣的題目.

于是筆者追問：那么我們用了什么方法呢？

生3：用了兩種方法，第一，設(shè)直線方程找交點(diǎn)，第二，直接設(shè)點(diǎn)列方程.

師：那么我們是否可以試試第二種方法！

生4：我考試的時候就用了第二種方法，可是也解不出來.生4委屈地站起來，展示了她的解題過程：

師：方程組有解等價于什么？

生：兩個圓有交點(diǎn)，則兩圓相切或相交.

生5：兩圓心之間的距離介于半徑之差和半徑之和之間.

評析“：設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，當(dāng)直線與曲線或曲線與曲線的交點(diǎn)不易解出來或無法解出來時，可以先設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后往回代入.

師：請大家思考一下，生4未能解答成功的原因何在？

生4：沒有對方程化簡，沒能看出幾何意義，導(dǎo)致思維受阻.

就在大家都覺得這題完美落幕之時，生2站起來說：第二個圓的圓關(guān)于已知圓的圓心（0，0）對稱，這是個巧合嗎？

這時，其他同學(xué)也紛紛表示出了興趣，是不是巧合呢？那我們來驗(yàn)證下.

教師掩飾不了心中的欣喜，說“來！我們大家一起給這位同學(xué)一個點(diǎn)贊吧.”

隨后，教師有意給出了變式問題，與同學(xué)一道進(jìn)行探究.

變式一：（改變已知圓圓心的位置）已知圓：（x-a）2+（y-b）2=1，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，化簡4，得到圓心）關(guān)于已知圓圓心（a，b）對稱.

于是得到結(jié)論1：第二個圓的圓心和點(diǎn)P關(guān)于已知圓圓心對稱.

這時同學(xué)們紛紛來了勁，睜大眼睛也都要來找個“茬”.

一向沉穩(wěn)的生6站了起來，她也提出了自己的想法：題目中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是定值，如果不是定值的話這個結(jié)論還成立嗎？

變式二：（改變點(diǎn)P的坐標(biāo)）如果點(diǎn)P在一條直線y=kx+c上（斜率不存在時，已在變式一研究過）

生6：可設(shè)點(diǎn)P（x0，kx0+c）（學(xué)生注意到點(diǎn)在直線上，可以只設(shè)一個未知數(shù)），則點(diǎn)，代入圓，化簡得（x+x0-2a）2+（y+kx0+c-2b）2=4，則圓心P（′-x0+2a，-kx0-c+2b）與點(diǎn)P（x0，kx0+c）關(guān)于已知圓圓心（a，b）對稱.

上述結(jié)論仍然成立.

生7是該班的數(shù)學(xué)尖子，此時，他覺得是時候大展一番拳腳了！他說：老師，如果滿足條件的點(diǎn)P是平面直角坐標(biāo)系上的任意一點(diǎn)（x0，y0），那么點(diǎn)P的軌跡是什么呢？

聽了生7提出的問題，教室里一下安靜起來，如果不把點(diǎn)P局限在一條直線上，那么所有滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是什么呢？這樣一下子給學(xué)生出了個難題.誰也不能貿(mào)然給出個答案來，只有小聲的在下面議論著，會不會是圓呢？還是線段呢？……

生7：我們何不來計(jì)算一下呢？

它是以（a，b）為圓心，3為半徑之內(nèi)1為半徑之外的圓環(huán).

結(jié)論：滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是一個圓環(huán).

不少同學(xué)感覺到這應(yīng)該結(jié)束了，可是平時不太發(fā)言的生8卻站了起來：老師，第二個圓的半徑為2，是已知圓半徑的2倍.如果B是一個三等分點(diǎn)，那么第二個方程還表示圓嗎？如果是，半徑又是多少呢？

問題一提出，同學(xué)們已經(jīng)躍躍欲試，拿起手中的筆開始計(jì)算起來.

圓心為P（′-2x0+3a，-2y0+3b），滿足，半徑則為已知圓半徑的3倍.

如果是更一般的情況呢？

假設(shè)AB=λAP，設(shè)A（x，y），P（x0，y0），則B（λx0+（1-λ）x，λy0+（1-λ）y），代入圓得［λx0+（1-λ）x-a］2+［λy0+（1-λ）y-

圓心為，滿足P′C=λP′P，半徑為已知圓的

哇！太厲害了.同學(xué)們自動為此鼓掌，看得出來，每一個同學(xué)的臉上都寫滿了微笑，都收獲滿滿.在熱烈的討論和積極的論證中，下課的鈴聲想起來了，“這堂課怎么這么快？”有的學(xué)生在感嘆！

二、探究教學(xué)后反思

上完這節(jié)課，從課堂反饋，積極思考、主動提問、自動鼓掌、寫滿微笑，同學(xué)們愉悅、興奮之情溢于言表，筆者和同學(xué)們一樣，心情非常激動，久久難以平靜.回味這堂師生探究的課，對于今后的數(shù)學(xué)教學(xué)有以下幾點(diǎn)感受與啟示.

1.感謝學(xué)生，一次靈感催生了一次數(shù)學(xué)探究之旅

高中課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)探究性學(xué)習(xí)，本課是一次真探究之旅，由一道壓軸試題的統(tǒng)計(jì)分析，因得分率低，才決定上一次試題講評課.探究的導(dǎo)火索緣于學(xué)生2提出的問題：第二個圓的圓心關(guān)于已知圓的圓心（0，0）對稱，這是一個巧合嗎？

2017年版數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出，數(shù)學(xué)課程要在學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.“從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力”是學(xué)生的一個短板，由于高考指揮棒的影響，一般的教師關(guān)注重點(diǎn)也不在此.然而，這節(jié)課學(xué)生的表現(xiàn)卻讓教師看到了學(xué)生的潛力，本課在解決原試題后，正是由于一位學(xué)生的靈感發(fā)現(xiàn)，教師提出了一個變式問題：改變圓心的位置，在解決問題的過程中，又陸續(xù)有幾位同學(xué)發(fā)現(xiàn)、提出了其他問題：改變點(diǎn)P的坐標(biāo)→求點(diǎn)P的軌跡→改變B點(diǎn)的位置，催生了系列探究，同學(xué)們主動、積極思考，嘗試、驗(yàn)證猜想，在發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)在規(guī)律的同時，訓(xùn)練了學(xué)生的思維，同時給予一些學(xué)生成功的鼓舞.試想，如果教師沒有重視學(xué)生的靈感發(fā)現(xiàn)？沒有對解析幾何內(nèi)容的深入理解，就可能錯失了對于全班同學(xué)的一次難得的思維訓(xùn)練，錯失了這一次精彩的課堂，這幾位學(xué)生也少了一次成功的體驗(yàn)，豈不遺憾！

2.立足學(xué)情，營造探究氛圍，學(xué)生進(jìn)入火熱的思考

本課同學(xué)們積極參與做數(shù)學(xué)、課堂出彩的表現(xiàn)，令教師驚訝.現(xiàn)象的背后有什么？在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生的基礎(chǔ)上精心設(shè)計(jì).教學(xué)設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是學(xué)情，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，不僅要了解學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，了解學(xué)生解決問題的困惑點(diǎn)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的興奮點(diǎn)，并以此作為教學(xué)的起點(diǎn)，設(shè)計(jì)出與學(xué)生程度相匹配的問題串.一般三星級學(xué)校的學(xué)生存在的主要問題是基礎(chǔ)不夠扎實(shí)，對于解析幾何問題，運(yùn)算能力較弱，有時思路不通暢.但如果尋找到能引起學(xué)生興趣的合適話題，許多學(xué)生還是樂于思考的，再加上教師先請數(shù)學(xué)積極分子帶頭，起拋磚引玉的作用，之后幾位學(xué)生的不斷發(fā)現(xiàn)，仿佛添了一把火，營造活躍的課堂氣氛，全班學(xué)生都進(jìn)入火熱的思考，經(jīng)歷了一次思維訓(xùn)練，在挖掘出更深層知識、方法的同時，讓學(xué)生充分感受到成功的喜悅！

3.教學(xué)改進(jìn)，路在腳下，教師應(yīng)有所作為

顧泠沅先生在世界課堂研究學(xué)會做了“課堂改進(jìn)是關(guān)鍵”的主題演講，筆者認(rèn)為“課堂改進(jìn)”是后課改時代教學(xué)改革的重點(diǎn).課堂改進(jìn)路在何方？其實(shí)就在腳下，透過這次探究之路，教師應(yīng)在以下幾方面有所作為，其一，改進(jìn)課堂教學(xué)形式.從這節(jié)課可知，只要給出合適的探究素材，既使學(xué)校層次不高、學(xué)生基礎(chǔ)不強(qiáng)，課堂中學(xué)生產(chǎn)生的探究熱情也不低，同樣收獲精彩，所以教師關(guān)鍵要弄清三星級學(xué)校學(xué)生暫時落后的原因，是基礎(chǔ)、思維還是認(rèn)知習(xí)慣，改進(jìn)教學(xué)形式，改變原來講授式為主的形式，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，采用啟發(fā)、對話式，引導(dǎo)探究式或合作討論式，讓更多學(xué)生參與到發(fā)現(xiàn)、提出問題中來，讓學(xué)生積極參與做數(shù)學(xué)，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程；其二，教師要善待學(xué)生的意外發(fā)現(xiàn)，善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，哪怕是其中一小點(diǎn)，哪怕是學(xué)生說錯了，也要鼓勵一番，多夸獎學(xué)生，發(fā)揮非智力因素的作用；學(xué)生有積極情態(tài)，就能有效遷移到課后作業(yè)、課后自主學(xué)習(xí)，進(jìn)行獨(dú)立思考，這樣學(xué)生提升的幅度會更大；其三，要大面積提高教學(xué)質(zhì)量，面對中低層次的學(xué)生，還需在夯實(shí)基礎(chǔ)等方面著力，既要對重點(diǎn)、疑點(diǎn)處通過板演、交流多暴露一些問題，進(jìn)行對比與優(yōu)化，還要在關(guān)注運(yùn)算思路的前提下，重點(diǎn)抓數(shù)學(xué)運(yùn)算的正確率，在提升有效性的同時，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；其四，讓班級的優(yōu)生與困難生結(jié)成互幫互學(xué)的對子，班級成為互幫互相的學(xué)習(xí)共同體.這樣，也就對教師自身提出了更高的要求，一方面.要多研究試題，在解題方面狠下功夫；另一方面，教師之間應(yīng)增加學(xué)習(xí)與交流的機(jī)會，經(jīng)常反思，提升自己的教學(xué)水平，從而成就我們的學(xué)生.F