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    解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用探賾

    2018-05-24 10:19:42王梧代少國(guó)
    成才之路 2018年11期
    關(guān)鍵詞:解題反思問(wèn)題意識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)

    王梧 代少國(guó)

    摘 要:解題反思是對(duì)解題過(guò)程和解題結(jié)果的分析回顧,它對(duì)破解認(rèn)識(shí)封閉、助力條件挖掘、定向解題思路和擺脫變式訓(xùn)練困惑等有重要作用。文章從借力反思、破解認(rèn)識(shí)封閉,巧用反思、助力條件挖掘,活用反思、定向解題思路,常用反思、擺脫變式困惑幾方面研究學(xué)生如何通過(guò)解題反思獲得更好的解題能力。

    關(guān)鍵詞:中學(xué)數(shù)學(xué);解題反思;作用;問(wèn)題意識(shí);創(chuàng)新意識(shí)

    中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A 文章編號(hào):1008-3561(2018)11-0053-02

    一、借力反思,破解認(rèn)識(shí)封閉

    例1,觀察圖1中函數(shù)圖像,并根據(jù)所獲得的信息回答下列問(wèn)題。折線OABC表示某個(gè)實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)圖像,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一道符合圖像意義的應(yīng)用題。

    從學(xué)生們解答這道題的結(jié)果看,抽象出來(lái)的運(yùn)動(dòng)特征基本上都是:1)在OA段上勻速直線運(yùn)動(dòng);2)在AB段上靜止;3)在BC段上勻速直線運(yùn)動(dòng)。這里的認(rèn)識(shí)封閉性在于,隨著時(shí)間的推移而路程不變,當(dāng)然是靜止。但隨著時(shí)間的推移而距離或長(zhǎng)度不變,則可能是靜止也可能是運(yùn)動(dòng)。

    例2,如圖2,一只螞蟻從O點(diǎn)出發(fā),沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行一周,當(dāng)螞蟻運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t時(shí),螞蟻與O點(diǎn)的距離為s,則s關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是( )。

    經(jīng)分析易知應(yīng)選擇C選項(xiàng)。因?yàn)樵谄瞥坝徐o無(wú)動(dòng)”的封閉認(rèn)識(shí)的同時(shí),不能進(jìn)入另一個(gè)認(rèn)識(shí)封閉,那就是“全靜或全動(dòng)”的封閉認(rèn)識(shí)。螞蟻在圓弧段可靜可動(dòng),但它到點(diǎn)O的距離S都不變。所以,還要破除在AB段全靜或全動(dòng)的封閉認(rèn)識(shí),在AB段應(yīng)該“動(dòng)靜共存”。

    兩例的解題反思,使學(xué)生對(duì)生活情境和圖像的關(guān)系有了更深層次的認(rèn)識(shí),更是打破了學(xué)生在AB段“有靜無(wú)動(dòng)或全動(dòng)全靜”的封閉認(rèn)識(shí),進(jìn)而學(xué)生再對(duì)圖像賦予實(shí)際意義時(shí),便會(huì)根據(jù)自己的不同的生活體驗(yàn)和數(shù)學(xué)認(rèn)知水平而編擬出豐富多彩的答案。

    二、巧用反思,助力條件挖掘

    利用解題反思,回顧解題過(guò)程,思考是否浪費(fèi)了更重要的信息,找出被“浪費(fèi)”的信息,以便開(kāi)辟出新的解題通道。

    例3,1)已知直線上有A(1,-2),B(-1,2)兩點(diǎn),試求它的解析式; 2)已知拋物線過(guò)A(-2,0),B(-,)和C(1,0)三點(diǎn),求它的解析式。

    學(xué)生對(duì)利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式掌握得比較嫻熟,會(huì)根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn),自然而然地想到利用待定系數(shù)法來(lái)求解例3中的兩小題,并能準(zhǔn)確得出1)的函數(shù)解析式為y=-2x,2)的函數(shù)解析式為y=-x2-x+2。多數(shù)學(xué)生到此結(jié)束,完成了解題。如果教師在此有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程和結(jié)果再做分析,會(huì)發(fā)現(xiàn)例3中1)的結(jié)果是特殊的一次函數(shù)。出現(xiàn)這個(gè)結(jié)論是偶然現(xiàn)象還是必然結(jié)果呢?再引導(dǎo)學(xué)生回過(guò)頭對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思,原來(lái)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以過(guò)這兩點(diǎn)的直線必過(guò)原點(diǎn),那么所求的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)了,從而就獲得了更簡(jiǎn)潔的解法。直接設(shè)所求的一次函數(shù)為,再有A(1,-2)在直線上,得出,求得函數(shù)解析式為y=kx,再有A(1,-2)在直線上,得出k=-2,求得函數(shù)解析式為y=-2x。對(duì)2)的解析式y(tǒng)=-x2-x+2進(jìn)行分析,找出對(duì)稱軸為直線x=-,教師可適時(shí)提出對(duì)稱軸能否從已知條件另行求出的問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思,從而找到了另一種更優(yōu)的解法。設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+)2+,再由點(diǎn)C(1,0)在該拋物線上,得出a=-1,從而求得該函數(shù)解析式為y=-(x+)2+=-x2-x+2。要想利用解題反思找出隱含條件,需要教師習(xí)慣性地引導(dǎo)學(xué)生重新審視每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的發(fā)散度,特別是要從知識(shí)鏈上對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行多角度的理解。

    三、活用反思,定向解題思路

    例4,已知:關(guān)于x的一元二次方程(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求證:2b=a+c。

    通過(guò)對(duì)條件的感知,學(xué)生對(duì)一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系進(jìn)行了思考,根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn),學(xué)生得出利用Δ=0的解題思路。由Δ=0得到(c-a)2-4(b-c)(a-b)=0化簡(jiǎn)得a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0。多數(shù)學(xué)生由于基本功不夠扎實(shí)或沒(méi)有受到過(guò)對(duì)上式進(jìn)行處理的訓(xùn)練,因而到此就無(wú)法進(jìn)行下去了。少數(shù)同學(xué)能進(jìn)行化簡(jiǎn)得到(a+c-2b)=0結(jié)論,進(jìn)而得出a+c=2b,故命題得證。該解法想法雖好,但化簡(jiǎn)過(guò)程對(duì)初中生而言顯得較煩瑣,且容易出錯(cuò)。甚至部分學(xué)生對(duì)式子a2+4b2+ c2+2ac-4ab-4bc=0的化簡(jiǎn)無(wú)從入手。如果教師引導(dǎo)學(xué)生反思求證部分,將待證結(jié)論作為一個(gè)有用的信息,與已知相結(jié)合就會(huì)對(duì)求解思路起到一個(gè)定向的作用,從而就能得出一個(gè)更簡(jiǎn)潔的證法。利用待證的結(jié)論,可以誘發(fā)如下思考:若2b=a+c則a-b=b-c,c-a=-2(b-c)。原方程可變形為(b-c)x2-2(b-c)x+(b-c)=0,提?。╞-c)后得(b-c)(x2-2x+1)=0。由于原方程是一元二次方程,故b-c≠0,所以x2-2x+1=0,求得x1=x2=1。將結(jié)論作為一個(gè)有用的信息,找到原方程的根為x1=x2=1后,從而就找到了一個(gè)新的解題思路。解:經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原方程的一個(gè)根,且該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以x1x2=1。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得=1,經(jīng)化簡(jiǎn)得2b=a+c。相比較兩種方法,后一種方法邏輯關(guān)系簡(jiǎn)單了,使用的知識(shí)減少了,且解題步驟縮短了,更為重要的是運(yùn)算量減少了,簡(jiǎn)單得連犯錯(cuò)的機(jī)會(huì)都沒(méi)有??梢?jiàn),在分析解題過(guò)程時(shí),結(jié)論也是一個(gè)非常有用的信息,這會(huì)使得學(xué)生對(duì)題目的認(rèn)識(shí)更為深刻和全面。多了這個(gè)信息后,情況就大不相同了,它可為解題思路提供定向的作用。

    四、常用反思,擺脫變式困惑

    部分學(xué)生每天被數(shù)學(xué)題海包圍,重復(fù)著似曾相識(shí)的題目,因不能找出它們之間存在的共性而致使問(wèn)題無(wú)法獲得解決。久而久之,學(xué)生會(huì)感受不到數(shù)學(xué)的魅力,甚至對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)失去了信心。深究原因,認(rèn)不清變式訓(xùn)練的規(guī)律,走不出變式的怪圈是一個(gè)重要的原因。

    例5, 已知:如圖3,△ABC中,AE⊥BC,垂足為E。AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D。若∠B=38°,∠C=70°,求∠DAE的度數(shù)。

    這道題重點(diǎn)考查三角形三條重要線段中的角平分線和高的相關(guān)知識(shí),可以從角的組合與分解來(lái)考慮,即利用 ∠DAE= ∠BAC-∠EAC-∠BAD或∠DAE= ∠DAC-∠EAC來(lái)入手,也可以從直角三角形兩銳角互余角度來(lái)尋求解答,即在Rt△ADE中,∠DAE= 90°-∠ADE。而∠BAD或∠DAC的求法都與∠BAC以及∠BAC的平分線有關(guān),故只需要弄清楚∠BAC的求法和角平分線的定義就可以解決了。

    可以將這個(gè)反思更深入開(kāi)展下去,追問(wèn)“在圖3中的△ABC,條件AE⊥BC,垂足為E,AD平分∠BAC交B于點(diǎn)D不變,∠DAE與∠B和∠C有著怎樣的數(shù)量關(guān)系”。因條件不變,故解題的思路和方法也不變,那么,循著以上的解題途徑能得出:在∠B﹤∠C的條件下,2∠EAD=∠C-∠B。這樣的反思將具體的角度計(jì)算推廣到一般性的結(jié)論,由一道題的解法得到了一組題的解法,不僅完善了知識(shí)結(jié)構(gòu),還培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

    五、結(jié)束語(yǔ)

    數(shù)學(xué)解題反思通過(guò)對(duì)解題過(guò)程和結(jié)論的分析回顧,不僅能“改進(jìn)”解答,而且還可以提高“理解”水平。數(shù)學(xué)解題反思能夠通過(guò)已知學(xué)未知,通過(guò)分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學(xué)會(huì)解題”。因此,對(duì)于經(jīng)典問(wèn)題,教師要舍得花時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生反思,學(xué)生更要舍得花時(shí)間去做解題反思,并將這一行為養(yǎng)成習(xí)慣,以獲得更好的解題能力。

    參考文獻(xiàn):

    [1]王春元.數(shù)學(xué)解題反思的教與學(xué)[J].四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2008(02).

    [2]殷群.論數(shù)學(xué)解題反思及其能力培養(yǎng)[D].南京師范大學(xué),2004.

    [3]周根龍.試論數(shù)學(xué)教學(xué)反思[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2003(01).

    [4]張萍.淺談“解題反思”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2016(02).

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