解題反思在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用探賾

王梧 代少國(guó)

摘 要：解題反思是對(duì)解題過(guò)程和解題結(jié)果的分析回顧，它對(duì)破解認(rèn)識(shí)封閉、助力條件挖掘、定向解題思路和擺脫變式訓(xùn)練困惑等有重要作用。文章從借力反思、破解認(rèn)識(shí)封閉，巧用反思、助力條件挖掘，活用反思、定向解題思路，常用反思、擺脫變式困惑幾方面研究學(xué)生如何通過(guò)解題反思獲得更好的解題能力。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；解題反思；作用；問(wèn)題意識(shí)；創(chuàng)新意識(shí)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1008-3561（2018）11-0053-02

一、借力反思，破解認(rèn)識(shí)封閉

例1，觀察圖1中函數(shù)圖像，并根據(jù)所獲得的信息回答下列問(wèn)題。折線OABC表示某個(gè)實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)圖像，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一道符合圖像意義的應(yīng)用題。

從學(xué)生們解答這道題的結(jié)果看，抽象出來(lái)的運(yùn)動(dòng)特征基本上都是：1）在OA段上勻速直線運(yùn)動(dòng)；2）在AB段上靜止；3）在BC段上勻速直線運(yùn)動(dòng)。這里的認(rèn)識(shí)封閉性在于，隨著時(shí)間的推移而路程不變，當(dāng)然是靜止。但隨著時(shí)間的推移而距離或長(zhǎng)度不變，則可能是靜止也可能是運(yùn)動(dòng)。

例2，如圖2，一只螞蟻從O點(diǎn)出發(fā)，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行一周，當(dāng)螞蟻運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t時(shí)，螞蟻與O點(diǎn)的距離為s，則s關(guān)于t的函數(shù)圖像大致是（ ）。

經(jīng)分析易知應(yīng)選擇C選項(xiàng)。因?yàn)樵谄瞥坝徐o無(wú)動(dòng)”的封閉認(rèn)識(shí)的同時(shí)，不能進(jìn)入另一個(gè)認(rèn)識(shí)封閉，那就是“全靜或全動(dòng)”的封閉認(rèn)識(shí)。螞蟻在圓弧段可靜可動(dòng)，但它到點(diǎn)O的距離S都不變。所以，還要破除在AB段全靜或全動(dòng)的封閉認(rèn)識(shí)，在AB段應(yīng)該“動(dòng)靜共存”。

兩例的解題反思，使學(xué)生對(duì)生活情境和圖像的關(guān)系有了更深層次的認(rèn)識(shí)，更是打破了學(xué)生在AB段“有靜無(wú)動(dòng)或全動(dòng)全靜”的封閉認(rèn)識(shí)，進(jìn)而學(xué)生再對(duì)圖像賦予實(shí)際意義時(shí)，便會(huì)根據(jù)自己的不同的生活體驗(yàn)和數(shù)學(xué)認(rèn)知水平而編擬出豐富多彩的答案。

二、巧用反思，助力條件挖掘

利用解題反思，回顧解題過(guò)程，思考是否浪費(fèi)了更重要的信息，找出被“浪費(fèi)”的信息，以便開(kāi)辟出新的解題通道。

例3，1）已知直線上有A（1，-2），B（-1，2）兩點(diǎn)，試求它的解析式； 2）已知拋物線過(guò)A（-2，0），B（-，）和C（1，0）三點(diǎn)，求它的解析式。

學(xué)生對(duì)利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式掌握得比較嫻熟，會(huì)根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn)，自然而然地想到利用待定系數(shù)法來(lái)求解例3中的兩小題，并能準(zhǔn)確得出1）的函數(shù)解析式為y=-2x，2）的函數(shù)解析式為y=-x2-x+2。多數(shù)學(xué)生到此結(jié)束，完成了解題。如果教師在此有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程和結(jié)果再做分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)例3中1）的結(jié)果是特殊的一次函數(shù)。出現(xiàn)這個(gè)結(jié)論是偶然現(xiàn)象還是必然結(jié)果呢？再引導(dǎo)學(xué)生回過(guò)頭對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思，原來(lái)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以過(guò)這兩點(diǎn)的直線必過(guò)原點(diǎn)，那么所求的一次函數(shù)就是正比例函數(shù)了，從而就獲得了更簡(jiǎn)潔的解法。直接設(shè)所求的一次函數(shù)為，再有A（1，-2）在直線上，得出，求得函數(shù)解析式為y=kx，再有A（1，-2）在直線上，得出k=-2，求得函數(shù)解析式為y=-2x。對(duì)2）的解析式y(tǒng)=-x2-x+2進(jìn)行分析，找出對(duì)稱軸為直線x=-，教師可適時(shí)提出對(duì)稱軸能否從已知條件另行求出的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行反思，從而找到了另一種更優(yōu)的解法。設(shè)函數(shù)解析式為y=a（x+）2+，再由點(diǎn)C（1，0）在該拋物線上，得出a=-1，從而求得該函數(shù)解析式為y=-（x+）2+=-x2-x+2。要想利用解題反思找出隱含條件，需要教師習(xí)慣性地引導(dǎo)學(xué)生重新審視每個(gè)知識(shí)點(diǎn)的發(fā)散度，特別是要從知識(shí)鏈上對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行多角度的理解。

三、活用反思，定向解題思路

例4，已知：關(guān)于x的一元二次方程（b-c）x2+（c-a）x+（a-b）=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求證：2b=a+c。

通過(guò)對(duì)條件的感知，學(xué)生對(duì)一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系進(jìn)行了思考，根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生得出利用Δ=0的解題思路。由Δ=0得到（c-a）2-4（b-c）（a-b）=0化簡(jiǎn)得a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0。多數(shù)學(xué)生由于基本功不夠扎實(shí)或沒(méi)有受到過(guò)對(duì)上式進(jìn)行處理的訓(xùn)練，因而到此就無(wú)法進(jìn)行下去了。少數(shù)同學(xué)能進(jìn)行化簡(jiǎn)得到（a+c-2b）=0結(jié)論，進(jìn)而得出a+c=2b，故命題得證。該解法想法雖好，但化簡(jiǎn)過(guò)程對(duì)初中生而言顯得較煩瑣，且容易出錯(cuò)。甚至部分學(xué)生對(duì)式子a2+4b2+ c2+2ac-4ab-4bc=0的化簡(jiǎn)無(wú)從入手。如果教師引導(dǎo)學(xué)生反思求證部分，將待證結(jié)論作為一個(gè)有用的信息，與已知相結(jié)合就會(huì)對(duì)求解思路起到一個(gè)定向的作用，從而就能得出一個(gè)更簡(jiǎn)潔的證法。利用待證的結(jié)論，可以誘發(fā)如下思考：若2b=a+c則a-b=b-c，c-a=-2（b-c）。原方程可變形為（b-c）x2-2（b-c）x+（b-c）=0，提?。╞-c）后得（b-c）（x2-2x+1）=0。由于原方程是一元二次方程，故b-c≠0，所以x2-2x+1=0，求得x1=x2=1。將結(jié)論作為一個(gè)有用的信息，找到原方程的根為x1=x2=1后，從而就找到了一個(gè)新的解題思路。解：經(jīng)檢驗(yàn)x=1是原方程的一個(gè)根，且該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以x1x2=1。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得=1，經(jīng)化簡(jiǎn)得2b=a+c。相比較兩種方法，后一種方法邏輯關(guān)系簡(jiǎn)單了，使用的知識(shí)減少了，且解題步驟縮短了，更為重要的是運(yùn)算量減少了，簡(jiǎn)單得連犯錯(cuò)的機(jī)會(huì)都沒(méi)有?？梢?jiàn)，在分析解題過(guò)程時(shí)，結(jié)論也是一個(gè)非常有用的信息，這會(huì)使得學(xué)生對(duì)題目的認(rèn)識(shí)更為深刻和全面。多了這個(gè)信息后，情況就大不相同了，它可為解題思路提供定向的作用。

四、常用反思，擺脫變式困惑

部分學(xué)生每天被數(shù)學(xué)題海包圍，重復(fù)著似曾相識(shí)的題目，因不能找出它們之間存在的共性而致使問(wèn)題無(wú)法獲得解決。久而久之，學(xué)生會(huì)感受不到數(shù)學(xué)的魅力，甚至對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)失去了信心。深究原因，認(rèn)不清變式訓(xùn)練的規(guī)律，走不出變式的怪圈是一個(gè)重要的原因。

例5， 已知：如圖3，△ABC中，AE⊥BC，垂足為E。AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D。若∠B=38°，∠C=70°，求∠DAE的度數(shù)。

這道題重點(diǎn)考查三角形三條重要線段中的角平分線和高的相關(guān)知識(shí)，可以從角的組合與分解來(lái)考慮，即利用 ∠DAE= ∠BAC-∠EAC-∠BAD或∠DAE= ∠DAC-∠EAC來(lái)入手，也可以從直角三角形兩銳角互余角度來(lái)尋求解答，即在Rt△ADE中，∠DAE= 90°-∠ADE。而∠BAD或∠DAC的求法都與∠BAC以及∠BAC的平分線有關(guān)，故只需要弄清楚∠BAC的求法和角平分線的定義就可以解決了。

可以將這個(gè)反思更深入開(kāi)展下去，追問(wèn)“在圖3中的△ABC，條件AE⊥BC，垂足為E，AD平分∠BAC交B于點(diǎn)D不變，∠DAE與∠B和∠C有著怎樣的數(shù)量關(guān)系”。因條件不變，故解題的思路和方法也不變，那么，循著以上的解題途徑能得出：在∠B﹤∠C的條件下，2∠EAD=∠C-∠B。這樣的反思將具體的角度計(jì)算推廣到一般性的結(jié)論，由一道題的解法得到了一組題的解法，不僅完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)，還培養(yǎng)了學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

五、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)解題反思通過(guò)對(duì)解題過(guò)程和結(jié)論的分析回顧，不僅能“改進(jìn)”解答，而且還可以提高“理解”水平。數(shù)學(xué)解題反思能夠通過(guò)已知學(xué)未知，通過(guò)分析“怎樣解題”而領(lǐng)悟“怎樣學(xué)會(huì)解題”。因此，對(duì)于經(jīng)典問(wèn)題，教師要舍得花時(shí)間引導(dǎo)學(xué)生反思，學(xué)生更要舍得花時(shí)間去做解題反思，并將這一行為養(yǎng)成習(xí)慣，以獲得更好的解題能力。

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