亞純函數(shù)及其k階導(dǎo)數(shù)權(quán)分擔(dān)兩個公共值的唯一性

張鳳麗， 王新利

（上海理工大學(xué)理學(xué)院，上海 200093）

1 知識背景

亞純函數(shù)是指在復(fù)平面CC上亞純.對于任意非常數(shù)亞純函數(shù)f，使用Nevanlinna值分布論中的基本結(jié)果及標(biāo)準(zhǔn)記號［1］，如T（r，f），N（r，f），m（r，f），（r，f）等，特別地，用S（r，f）表示滿足S（r，f）＝o（T（r，f））（r→∞，r?E，mesE＜＋∞）的量.對任意的兩個復(fù)數(shù)a1，a2∈CC∪∞，若f－a1與g－a2的零點(diǎn)相同，并且每個零點(diǎn)的重數(shù)也相同，則稱f與gCM分擔(dān)（a1，a2）（若ai＝∞，f－ai的零點(diǎn)就是f的極點(diǎn)）；若不計重數(shù)，則稱f與g的IM分擔(dān)（a1，a2）；若a1＝a2＝a，則稱f與gCM（IM）分擔(dān)a.

Gundersen［2］證明了f和f′CM分擔(dān)兩個公共值的唯一性，其結(jié)論如下：

定理1 設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù)，b（≠0）是一個有窮值.如果f和f′CM分擔(dān)0和b，那么f≡f′.

Frank等［3］推廣了上述結(jié)果，證明了f和f（k）關(guān)于分擔(dān)公共值的如下性質(zhì)：

定理2 設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù)，k（≥2）是一個整數(shù)，（a1，a2）和（b1，b2）是兩對有窮值，滿足a1≠b1，a2≠b2并且a2b2≠0.如果f和f（k）CM分擔(dān)（a1，a2）和（b1，b2），那么，有

事實(shí)上，如果在上述定理中，設(shè)a1＝a2＝a，b1＝b2＝b并且ab≠0，那么即是下面的定理：

定理3 設(shè)f是一個非常數(shù)亞純函數(shù).如果f和f（k）CM分擔(dān)兩個不同的有窮非零復(fù)數(shù)a和b，那么f≡f（k）.

Frank等［4］證明了如果f和f（k）CM分擔(dān)任意有窮復(fù)數(shù)a和b，仍有f≡f（k）成立.后來Frank猜想，能否將條件“f和f（k）CM分擔(dān)b”減弱為“f和f（k）IM分擔(dān)b”，但仍有f≡f（k）的結(jié)論成立.李平［5］給出了如下的例子，證明Frank的猜想是不成立的.

設(shè)a1是任意有窮值設(shè)ω是如下Riccati方程式的非常數(shù)解

設(shè)

容易得到

可以看到0是ω′的Picard例外值，并且f和f″CM分擔(dān)0，并且f和f″IM分擔(dān)，但是f不恒等于f″.所以考慮，如果在IM分擔(dān)b這個條件下再附加某些條件，能否使f≡f（k）的結(jié)論成立.陳春芳［6］通過限制f的極點(diǎn)重數(shù)，討論了f和f′IM分擔(dān)公共值的唯一性問題，得到了下面的結(jié)論：

定理4 設(shè)f為非常數(shù)亞純函數(shù)，且f的極點(diǎn)重數(shù)n≥11，a和b為兩個相互判別的有窮復(fù)數(shù)，若f和f′IM分擔(dān)a和b，則f≡f′.

針對以上結(jié)論，結(jié)合權(quán)分擔(dān)的思想，對定理3中的條件進(jìn)行了改進(jìn)，得到如下結(jié)果：

定理5 設(shè)f（z）是一個非常數(shù)的亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，并且f（z）的極點(diǎn)重數(shù)大于等于2k＋4.如果f（z）和f（k）（z）分擔(dān)（a，∞），（b，1），這里a和b（≠0）是兩個相互判別的有窮復(fù)數(shù)，那么f（z）≡f（k）（z）.

2 相關(guān)引理

引理1 設(shè)f是非常數(shù)亞純函數(shù)，f和f（k）分擔(dān)（0，∞），（1，1），并且f的極點(diǎn)重數(shù)大于等于2k＋4.如果f不恒等于f（k），則有

證明 設(shè)

由條件知，φi（i＝1，2，3）不恒等于0.因為f不恒等于f（k），所以

由于f和f（k）以CM分擔(dān)0，所以

又由式（3），有

由f和f（k）分擔(dān)（1，1）知

另外，由于f的極點(diǎn)重數(shù)大于等于2k＋4，故

故引理得證.

引理2［7］設(shè)f1和f2是兩個非常數(shù)亞純函數(shù)，且滿足其中i＝1，2.如果那么存在2個滿足｜s｜＋｜t｜＞0的整數(shù)s和t，使得

引理3 設(shè)f（z）是一個非常數(shù)的亞純函數(shù)，k為正整數(shù)，并且f（z）的極點(diǎn)重數(shù)大于等于2k＋4.如果f（z）和f（k）（z）分擔(dān)（0，∞），（1，1），那么

證明 如果f（z）恒等于f（k）（z），則引理3成立.

假設(shè)f（z）不恒等于f（k）（z）.設(shè)

由式（5）、式（6）、式（7），可知

因此，T（r，g）＝S（r），并且由式（8），可知

又f（z）和f（k）（z）分擔(dān)（0，∞），則

再由式（8），可知

同理，有

從而引理3得證.

3 定理5的證明

假設(shè)f不恒等于f（k），分兩種情況進(jìn)行討論.

情形1 假設(shè)ab≠0，則有

將式（9）和式（10）相加，可知

另外

又因為

將式（12）和式（13）相加，可知

所以，可知

再由式（11），可知

由于f的極點(diǎn)重數(shù)大于等于2k＋4，所以

矛盾.

情形2 設(shè)ab＝0，不失一般性，設(shè)a＝0，b＝1，則定理即為f（z）和f（k）（z）分擔(dān)（0，∞），（1，1）.因此，設(shè)

由式（12）計算，可知

并且由φ的構(gòu)造及f的極點(diǎn)重數(shù)大于等于2k＋4，可以看到

所以

同理，由f和f（k）分擔(dān)（0，∞），引理3和式（15），可知

所以

設(shè)H（m1，n1）＝m1φ－n1χ，這里m1和n1都是正整數(shù).分兩種情況進(jìn)行討論.

情形1 假設(shè)存在兩個正整數(shù)m0和n0，使得H（m0，n0）≡0.因此，得到

對式（18）積分，可知

這里A（≠0）是一個常數(shù).由引理3結(jié)論，所以m0＝n0，從而f（（1－A1）f（k）－A1）＝f（k）.

若f的極點(diǎn)是n重，則上面等式左邊的極點(diǎn)數(shù)是n＋n＋k＝2n＋k，右面的極點(diǎn)是n＋k，所以n＝0，與f的極點(diǎn)重數(shù)大于等于2k＋4矛盾.

情形2 假設(shè)對任意兩個正整數(shù)m1和n1，使得H（m0，n0）不恒為0.設(shè)z0是f和f（k）的重數(shù)分別為n1和m1的公共零點(diǎn)，所以由H 的構(gòu)造知H（m1，n1）（z0）＝0.設(shè)z1是f－1和f（k）－1的重數(shù)分別為n1和m1的公共零點(diǎn)，同理知H（m1，n1）（z1）＝0.因此，由式（16）和式（17），可知

由第二基本定理和式（19），可知

即T（r，f）≤S（r，f），矛盾.故定理5得證.

［1］ 楊樂.值分布論及其新研究［M］.北京：科學(xué)出版社，1982.

［2］ Gundersen G G.Meromorphic functions that share two finite values with their derivatives［J］.Pacific J Math，1983，105（2）：299－309.

［3］ Frank G，Ohlenroth W.Meromorphe funktionen，die mit einer ihrer ableitungen werte teilen［J］.Complex Variables，1986，6（1）：23－37.

［4］ Frank G，Weissenborn G.Meromorphe funktionen，die mit einer ihrer ableitungen werte teilen［J］.Complex Variables，1986，7（1／2／3）：33－43.

［5］ Yang Chong－jun，Yi Hong－xun.Uniqueness theory of meromorphic functions［M］.Beijing：Science Press，2003：415.

［6］ 陳春芳.亞純函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的唯一性［J］.南京師范大學(xué)學(xué)報，2004，27（3）：36－39.

［7］ Zhang Q C.Meromorphic functions sharing three values［J］.India J Pure Appl Math，1999，30（7）：667－682.