歸類：克服數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)斷層的策略

□文 浙江省仙居縣第八小學(xué) 王燕平 浙江省仙居縣白塔鎮(zhèn)第二小學(xué) 張衛(wèi)星

連續(xù)接任六年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)，最苦惱的就是孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)出現(xiàn)斷層，精妙的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)無法順利開展，課后輔導(dǎo)更是有心無力。如何克服學(xué)習(xí)斷層現(xiàn)象？筆者結(jié)合這幾年的教學(xué)實(shí)踐，摸索歸類搭橋的方法，以期幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，達(dá)到知識(shí)的系統(tǒng)化，從而提高學(xué)習(xí)效率。

在生活中，一提到類，我們就會(huì)想到具有共同特征的事物。實(shí)際上，類是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中一類具有共同特征的事物的抽象。既然是抽象，就需要師生智慧的參與。生活中，和類密不可分的就是歸類、整理，繁雜的物品一經(jīng)歸類整理，立刻會(huì)顯得整齊、舒心。由此可見，六年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的斷層現(xiàn)象也需要?dú)w類搭橋。很有必要由老師引導(dǎo)著學(xué)生對(duì)所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸類整理，讓零碎的數(shù)學(xué)知識(shí)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，切實(shí)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。

一、歸類——讓散落的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)結(jié)成網(wǎng)

歸類，其實(shí)就是對(duì)知識(shí)的一種梳理。通過歸類，可以讓學(xué)生更好地厘清各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，從而讓學(xué)習(xí)更高效。人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊的教學(xué)內(nèi)容包括：分?jǐn)?shù)乘法、位置與方向、分?jǐn)?shù)除法、比、圓、百分?jǐn)?shù)、扇形統(tǒng)計(jì)圖、數(shù)與形。8個(gè)單元，我們有必要進(jìn)行知識(shí)梳理，使得零散單元成為知識(shí)大塊，以此減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)。

1.通過比較，新知識(shí)納入原有體系

將新知識(shí)納入原有知識(shí)體系是建構(gòu)主義的核心要義，比較是達(dá)成這一目的有效途徑?；谶@樣的思考，筆者在任教第一單元的時(shí)候就有意識(shí)地做了類的滲透。分?jǐn)?shù)乘法意義的教學(xué)，教材編排了兩個(gè)例題，我們需要加強(qiáng)比較，在新授教學(xué)中不斷重組學(xué)生的認(rèn)知，擴(kuò)展乘法意義的體系。

例題1，分?jǐn)?shù)乘法的意義是求幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)相加之和是多少。在整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)建立乘法就是求幾個(gè)相同加數(shù)的和這一模型，而例題1的新知識(shí)點(diǎn)在于這個(gè)加數(shù)的變化，幾個(gè)相同加數(shù)既可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)，從而發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘法的意義和整數(shù)乘法完全相同。

例題2，先從整數(shù)乘法引入，根據(jù)圖意得到12×3，引導(dǎo)學(xué)生回顧數(shù)量關(guān)系：每桶水的體積×桶數(shù)=水的體積，根據(jù)這一數(shù)量關(guān)系，就可以推理出求圖二圖三都是用乘法計(jì)算，只是每桶水的體積從整數(shù)換成了分?jǐn)?shù)，從而理解一個(gè)數(shù)乘幾分之幾可以表示求這個(gè)數(shù)的幾分之幾。至此，通過例題2的學(xué)習(xí)使學(xué)生總結(jié)出分?jǐn)?shù)乘法的另一層意義：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。同時(shí)，還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少就是求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，當(dāng)數(shù)量增加不足一倍的時(shí)候，就用幾分之幾表示，因此這一層分?jǐn)?shù)乘法的意義就是對(duì)整數(shù)乘法意義的一次擴(kuò)展。

依著教材的例題編排，在新課教學(xué)的過程中，我們有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生把分?jǐn)?shù)乘法的意義和整數(shù)乘法的意義進(jìn)行類的歸屬，由此可以幫助學(xué)生完成乘法意義的一次擴(kuò)展，在不增加記憶負(fù)擔(dān)的前提下拓展數(shù)學(xué)認(rèn)知。

2.通過轉(zhuǎn)化，新知識(shí)變成舊知拓展

將新知識(shí)納入原有知識(shí)體系是上策，但有些新知識(shí)卻很難納入原有知識(shí)體系，這時(shí)我們就可以通過轉(zhuǎn)化將新知識(shí)變成舊知識(shí)拓展，從而溝通新知與舊知之間的橋梁。分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)已經(jīng)相對(duì)抽象，學(xué)生不易直觀感知，分?jǐn)?shù)除法就更加難以形象教學(xué)。據(jù)此，分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)需要做好一個(gè)紐帶，那就是“倒數(shù)的認(rèn)識(shí)”，倒數(shù)意義的建立大大降低了分?jǐn)?shù)除法的新知難度。

分?jǐn)?shù)除法是在學(xué)生已經(jīng)掌握了分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算方法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，通過倒數(shù)這個(gè)紐帶點(diǎn)把分?jǐn)?shù)除法和分?jǐn)?shù)乘法建立直接聯(lián)系，巧妙地把除法問題轉(zhuǎn)化成乘法計(jì)算，還能加深對(duì)乘除法關(guān)系的理解，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)方法的內(nèi)在聯(lián)系。

以此類推，再在除法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)比的知識(shí)，在分?jǐn)?shù)乘除法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)的知識(shí)，認(rèn)識(shí)到求一個(gè)數(shù)的百分之幾和求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是相通知識(shí)，扇形統(tǒng)計(jì)圖又和百分?jǐn)?shù)密不可分。

3.通過歸類，數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)變清晰

讓數(shù)學(xué)知識(shí)變得簡單易懂，是數(shù)學(xué)教學(xué)的最高法則。通過上述的比較與轉(zhuǎn)化，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊的數(shù)學(xué)知識(shí)體系就是在分?jǐn)?shù)乘法的基礎(chǔ)上不斷拓展。學(xué)好了分?jǐn)?shù)乘法，就可以讓分?jǐn)?shù)除法、比、百分?jǐn)?shù)、扇形統(tǒng)計(jì)圖等單元的學(xué)習(xí)更簡單。

原本，一打開數(shù)學(xué)書就看見密密麻麻的8個(gè)單元目錄，學(xué)生很容易產(chǎn)生畏難情緒。歸類學(xué)習(xí)在這里發(fā)揮了巨大功效，通過分?jǐn)?shù)乘除法的搭線，使得六上數(shù)學(xué)知識(shí)一下子縮減為兩條學(xué)習(xí)主線，一條是經(jīng)過串聯(lián)的分率體系，另一條則是余下的3個(gè)單元位置與方向、圓、數(shù)與形。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多么神奇，又多么有趣！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的斷層現(xiàn)象自然可以避免。

二、歸類——讓繁雜的學(xué)習(xí)方法簡潔有效

歸類，既可以厘清知識(shí)間的關(guān)系，又可以讓繁雜的學(xué)習(xí)方法變得更加簡潔有效。因此，我們除了要幫助學(xué)生梳理知識(shí)點(diǎn)開展歸類記憶，還要指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)方法上也要樹立歸類意識(shí)。

1.用數(shù)量關(guān)系串起解決問題

在解決問題教學(xué)中讓學(xué)生搞清楚題中的基本數(shù)量關(guān)系是十分重要的。我們在教學(xué)中可從解題思路入手，引導(dǎo)學(xué)生掌握一些常見的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生總結(jié)解題規(guī)律，提高學(xué)生的思維能力。通過數(shù)量關(guān)系運(yùn)用的教學(xué)，可以使學(xué)生經(jīng)歷從具體的現(xiàn)實(shí)情境中抽象出一般的數(shù)學(xué)問題，并選擇和運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算解決問題。

人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊的分率問題對(duì)于學(xué)生來說比較抽象，難以和生活經(jīng)驗(yàn)直接掛鉤，這時(shí)候很有必要喚醒學(xué)生的數(shù)量關(guān)系，把繁雜晦澀的解決問題歸類置辦。分率問題其實(shí)就是二年級(jí)倍數(shù)問題的深化，從求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少拓展到了求一個(gè)數(shù)的幾分之幾、百分之幾是多少。在教學(xué)的過程中要讓學(xué)生理清分?jǐn)?shù)的量與率問題，弄清楚哪個(gè)量是單位“1”，要求的量是單位“1”的幾分之幾，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列式解答。不論解決問題的情境如何變化，其內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系是不變的，因此，我們不妨緊緊抓住單位“1”的概念，把六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊的解決問題串成一條線。

在分?jǐn)?shù)乘法這一單元中，學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法，要讓學(xué)生帶著“單位‘1’的量×對(duì)應(yīng)分率＝對(duì)應(yīng)數(shù)量”這一關(guān)系式去審視分?jǐn)?shù)除法的解決問題，“對(duì)應(yīng)數(shù)量÷對(duì)應(yīng)分率＝單位‘1’的量”這一關(guān)系式也就能夠跟隨著學(xué)生走進(jìn)分?jǐn)?shù)除法，更加容易理解怎么求單位“1”的量。隨著這一數(shù)量關(guān)系式的不斷應(yīng)用，分率問題的解題模型逐漸清晰，先找到單位“1”的量，再找出是哪個(gè)量和單位“1”在比較，又對(duì)應(yīng)著幾分之幾，從而準(zhǔn)確判斷計(jì)算方法。搞定了分?jǐn)?shù)乘除法，再把比的應(yīng)用、百分?jǐn)?shù)解決問題串進(jìn)來，使之成為一個(gè)知識(shí)大塊，大幅度減輕學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，讓紛繁復(fù)雜的分率百分率問題成為可以模型化的數(shù)學(xué)問題。

2.把常數(shù)記憶融入計(jì)算教學(xué)

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還有一個(gè)斷層，就是特別容易在計(jì)算上栽跟頭，學(xué)生自我檢討一般都是覺著不夠細(xì)心，家長往往也是這樣歸因，認(rèn)為自己的孩子聰明是聰明，就是太粗心了。

學(xué)生計(jì)算頻繁出錯(cuò)的原因是多種多樣的，不能一概而論以粗心兩字總結(jié)。以六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊的計(jì)算為例子，學(xué)生最容易在分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合計(jì)算上出錯(cuò)，尤其是遇到一道題中分?jǐn)?shù)、小數(shù)都可以互化的時(shí)候，學(xué)生最容易犯懵，究其原因在于不能準(zhǔn)確靈活運(yùn)用互化技巧。

如何提升這樣的判斷準(zhǔn)確性？為什么老師就能一眼辨別，學(xué)生卻百思不得其解，甚至屢試屢錯(cuò)。究其根本，筆者認(rèn)為學(xué)生缺乏常數(shù)誦讀。如果在學(xué)生的腦海中清晰分布各種數(shù)的分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)形態(tài)（如下圖），那么在計(jì)算的時(shí)候就不需要一邊想著對(duì)策一邊還要列一個(gè)小豎式，如果可以做到自動(dòng)識(shí)別數(shù)的不同形態(tài)，那以怎樣的形態(tài)計(jì)算更加方便自然就能迎刃而解。

因此，筆者在教學(xué)中動(dòng)員學(xué)生抄錄常見分?jǐn)?shù)小數(shù)百分?jǐn)?shù)的互化表，并要求學(xué)生經(jīng)常誦讀做到爛熟于心，以此強(qiáng)化對(duì)數(shù)的準(zhǔn)確判斷，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性與靈活度。

同理，在學(xué)習(xí)圓這一單元的時(shí)候，又和學(xué)生一起梳理圓周率的相關(guān)計(jì)算（如上圖），同樣要求背誦，在圓周長、面積的計(jì)算中，學(xué)生真正達(dá)到算得又對(duì)又快。而且，圓周率相關(guān)計(jì)算的熟練度直接影響到六年級(jí)數(shù)學(xué)下冊圓柱圓錐的學(xué)習(xí)，尤其是圓柱的表面積體積計(jì)算，經(jīng)常涉及圓周率相關(guān)的繁雜計(jì)算，這時(shí)候，背誦過常數(shù)記憶的孩子們就顯出了先天優(yōu)勢，第一時(shí)間避免了計(jì)算的煩躁感。

3.在變與不變之中尋找突破

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最難的還是思維的卡殼，而數(shù)學(xué)命題的特點(diǎn)就是千變?nèi)f化，更換情境、數(shù)據(jù)、敘述方式、表現(xiàn)形式等等，普遍的現(xiàn)象就是班級(jí)中的中等生會(huì)在習(xí)題的變化中迷失方向。如何幫助學(xué)生在解題中明辨是非，定準(zhǔn)思考方向？筆者認(rèn)為教學(xué)中要多用題組訓(xùn)練，要注重一題多變，不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題進(jìn)行對(duì)比分析，抓住解題步驟中的不變因素，從而破解難題。

以人教版六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊工程問題的學(xué)習(xí)為例，例題是這樣編排的：這條道路，如果我們一隊(duì)單獨(dú)修，12天能修完。如果我們二隊(duì)單獨(dú)修，18天才能修完。如果兩隊(duì)合修，多少天能修完？

教學(xué)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生采用假設(shè)總路長解答此題，集中交流解題方法，讓學(xué)生觀察不同的總路長，分析計(jì)算上有什么相同之處。引發(fā)思考：為什么總路長改變，最后合修的總天數(shù)卻是不變的？通過交流討論發(fā)現(xiàn)，隨著總路長的改變，兩隊(duì)每天修的長度也在改變，兩隊(duì)每天修完的數(shù)據(jù)大小隨著總路長數(shù)據(jù)大小的變化而變化。進(jìn)一步討論又發(fā)現(xiàn)，一隊(duì)每天修完的數(shù)量都是總路長的十二分之一，二隊(duì)每天修完的數(shù)量都是總路長的十八分之一，所以不論路長與短，兩隊(duì)合修都需要7.2天。帶著學(xué)生經(jīng)歷過總路長這樣不斷變化，又在對(duì)比之中發(fā)現(xiàn)每隊(duì)工作效率的不變性，從而歸納得出可以假設(shè)總路長為單位“1”，每隊(duì)工作效率就是“1/工作時(shí)間”。

通過對(duì)例題的變化學(xué)習(xí)，使學(xué)生抓住工程問題的“變中之不變”，找到這一類問題背后的數(shù)學(xué)模型，概括出解決問題的一般思路，然后推廣到其他類似問題。其他數(shù)學(xué)問題也是如此，我們要善于引導(dǎo)學(xué)生歸類總結(jié)，在“變與不變中”得出一般規(guī)律，讓難題迎刃而解。

總之，歸類既是一種思想方法，又是一種學(xué)習(xí)方法。它可以溝通知識(shí)間的聯(lián)系，也可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加簡單。因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于運(yùn)用歸類這一方法，努力克服學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的斷層現(xiàn)象，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更順暢、更簡潔，從而讓數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的培養(yǎng)落地生根?！?/p>