基于非線性主成分分析法的城市建筑商品房價(jià)格模型的研究

李寧

摘 要： 對于城市的建筑商品房價(jià)格，不同城市的商品房銷售價(jià)格不同，而且影響城市商品房銷售價(jià)格的因素多種多樣，多元統(tǒng)計(jì)分析方法可以有效地分析出多元數(shù)據(jù)指標(biāo)對于某一個(gè)指標(biāo)數(shù)據(jù)的影響。本文通過建立商品房銷售價(jià)格與城市的發(fā)展指標(biāo)之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，分析了城市的發(fā)展指標(biāo)對于建筑商品房平均售價(jià)的影響程度。首先通過對中國統(tǒng)計(jì)年鑒中35個(gè)大中城市的經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)進(jìn)行主成分分析，用得到的較少個(gè)數(shù)的綜合主成分指標(biāo)替代原始數(shù)據(jù)，然后初步分析建筑銷售均價(jià)與城市發(fā)展指標(biāo)的關(guān)系，并對選定的價(jià)格方程進(jìn)行多元回歸分析，建立商品房價(jià)格和城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)間關(guān)系的數(shù)學(xué)評價(jià)模型。于此同時(shí)，由于城市商品房銷售價(jià)格與經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)間的的關(guān)系不確定性，我們又針對主成分分析的弊端設(shè)計(jì)了非線性的主成分分析的評價(jià)方式，并進(jìn)行了比較和統(tǒng)計(jì)分析。

關(guān)鍵詞： 多元統(tǒng)計(jì)分析；非線性主成分分析；多元回歸分析；城市建筑價(jià)格影響因素

引言

城市的建筑產(chǎn)品是一種異質(zhì)性商品，建筑產(chǎn)品在決定使用價(jià)值的各個(gè)因素上面會(huì)有明顯的差異，如城市的人口、經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)和建筑面積等因素都與城市建筑商品房均價(jià)有一定的關(guān)聯(lián)。對于眾多影響因素，指標(biāo)數(shù)量過多會(huì)使課題的復(fù)雜性加大。我們希望可以通過較少的指標(biāo)個(gè)數(shù)得到的比較多的信息量。主成分分析對數(shù)據(jù)指標(biāo)數(shù)目的降維將使得問題更為簡單方便。[1]

而且由于建筑價(jià)格影響因素可能是非線性的，所以我們也將非線性主成分分析法與傳統(tǒng)主成分方法進(jìn)行比較，并結(jié)合多元線性回歸分析和spss軟件，對城市建筑商品房均價(jià)建立非線性的綜合評價(jià)體系模型。

1綜合評價(jià)體系的多元統(tǒng)計(jì)分析方法概述

1.1城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)的主成分分析

對于決定建筑商品房價(jià)格的城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)，指標(biāo)之間有一定的關(guān)聯(lián)性，可以理解為這兩個(gè)指標(biāo)之間對于決定建筑商品房價(jià)格的信息有一定的重疊。主成分分析是數(shù)學(xué)中的一種降維方法，它可以根據(jù)實(shí)際的需求把原來的指標(biāo)重新組合成一組新的相互間線性無關(guān)的綜合指標(biāo)，也就是從其中抽取出少數(shù)幾個(gè)主成分，這些主成分將盡可能多地表達(dá)原始變量的信息。通過對多個(gè)城市建筑樣本和城市發(fā)展指標(biāo)數(shù)據(jù)的壓縮、解釋，它也可以用來尋找影響城市商品房價(jià)格的綜合指標(biāo)，然后適當(dāng)?shù)卣f明綜合指標(biāo)所涵蓋的信息意義，以便于更加清晰地了解問題的內(nèi)在發(fā)展規(guī)律。

1.2非線性主成分分析

主成分分析法只能處理線性問題，實(shí)際問題例如城市建筑商品房影響因素這一問題中，不僅變量間有可能會(huì)有非線性的關(guān)系，而且主成分和原始變量間也存在著非線性的關(guān)系。此時(shí)如果只是進(jìn)行線性化數(shù)據(jù)處理，必然影響研究結(jié)果的準(zhǔn)確度。

非線性主成分分析法的方法有很多種[2]，而在這之中，“對數(shù)中心化”是其中較為實(shí)用的一種的方法。

設(shè)有n個(gè)城市，p個(gè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)。

（1）首先對原始指標(biāo)的數(shù)據(jù)做對數(shù)中心化數(shù)據(jù)變換：

（2）計(jì)算對數(shù)中心化后的數(shù)據(jù)的樣本協(xié)方差矩陣

（3）利用樣本協(xié)方差矩陣S 求原始數(shù)據(jù)的主成分。設(shè)它們的特征值為λ1 ≥λ2 ≥… ≥λp ≥0 并且這些特征值相應(yīng)的特征向量為ep，從而得到主成分為

剩下的步驟和傳統(tǒng)線性的主成分分析方法一樣。

與傳統(tǒng)的主成分分析相比，非線性的主成分分析法有2處提高： 1.原始指標(biāo)通過對數(shù)中心化這一變換，主成分被表示為原始變量的非線性組合；2.非線性的主成分分析法的出發(fā)點(diǎn)不再是相關(guān)系數(shù)矩陣，而是協(xié)方差矩陣。這兩處提高將會(huì)使用較少的主成分反映更多的原始變量的信息，從而大大地提高數(shù)據(jù)降維的效果。

1.3主成分的多元回歸分析

本文中的實(shí)例應(yīng)用中我們將以城市建筑商品房價(jià)格Y為因變量，主成分F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k為自變量，利用線性回歸方程方法可以建立綜合評價(jià)體系的數(shù)學(xué)方程模型：

將主成分F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)k的表達(dá)式，就能得到綜合評價(jià)體系模型。

2建筑價(jià)格綜合評價(jià)體系的數(shù)據(jù)收集與計(jì)算過程

我們搜集了中國統(tǒng)計(jì)年鑒2015年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，根據(jù)相關(guān)領(lǐng)域的研究，依據(jù)全面性、系統(tǒng)性、可比性、科學(xué)性和可取得性的原則[5]，選擇了中國35個(gè)主要城市建筑商品房價(jià)格受到的城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)影響因素如下：總?cè)丝冢╔1），人均gdp（X2），居民消費(fèi)指數(shù)（X3），人均公共財(cái)政收入（X4），人均公共財(cái)政支出（X5），平均工資（X6），人均消費(fèi)品零售額（X7），人均居民儲(chǔ)蓄存款（X8），人均住房面積（X9），建筑造價(jià)（X10）。

3綜合評價(jià)體系的最終構(gòu)建過程與結(jié)果分析

3.1非線性主成分分析與傳統(tǒng)主成分分析的結(jié)果對比

我們在多元統(tǒng)計(jì)分析的數(shù)據(jù)搜集和分析時(shí)，往往需要收集到不同量綱的數(shù)據(jù)，比如總?cè)丝冢ㄈf人），人均gdp（元）。我們已經(jīng)對《中國統(tǒng)計(jì)年鑒》城市經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，得到了標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。

（1） 利用對數(shù)中心化的方法對城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展的原始指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

（2） 對對數(shù)中心化處理后的樣本（lnXij）的協(xié)方差矩陣進(jìn)行非線性的主成分分析。相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算出的特征值及其累積貢獻(xiàn)率見表1。

非線性主成分分析與普通線性主成分分析的特征值及累積貢獻(xiàn)率的對比結(jié)果如下表所示：

由上表可以看出，非線性主成分分析的第一主成分比傳統(tǒng)主成分分析法所攜帶的信息量高了13個(gè)百分點(diǎn)，非線性主成分分析法的前2個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率超過了90%，而傳統(tǒng)方法前5個(gè)主成分才能超過90%，非線性主成分分析法可以用更多的主成分提取較多的原始指標(biāo)信息，所以非線性主成分分析法更加適用于分析城市建筑商品房價(jià)格的影響指標(biāo)因素。

根據(jù)貢獻(xiàn)率大于85%原則，提取前2個(gè)特征值為主成分，進(jìn)一步分析非線性主成分載荷矩陣得出[a1，a2]。進(jìn)一步計(jì)算出主成分的特征向量[t1，t2]。

主成分和原指標(biāo)之間的關(guān)系式，可以通過主成分的載荷矩陣求出。

表2中的系數(shù)為aij，主成分和原指標(biāo)之間的關(guān)系式分別為：

主成分：

3.2非線性主成分分析的回歸模型

分別將原始指標(biāo)數(shù)據(jù)對數(shù)中心化后的數(shù)據(jù)lnXij代入方程，求得Fi（ i = 1，2，3，4） ，然后將Fi當(dāng)作自變量，將各城市商品房銷售均價(jià)Y的對數(shù)中心化數(shù)據(jù)lnY作為因變量，回歸方程的系數(shù)矩陣如下：

由表3可以得出回歸系數(shù)估計(jì)值為：β1=8769.800得到城市商品房銷售價(jià)格的回歸方程：

式中： lnY 為商品房銷售價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)； Fi為各主成分的值，i = 1，2，3.

把式帶入方程：

原始指標(biāo)數(shù)據(jù)在回歸模型方程中的系數(shù)以及標(biāo)準(zhǔn)化后的系數(shù)如下表：

因此反映城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)與商品房價(jià)格關(guān)系的回歸模型標(biāo)準(zhǔn)化方程為：

其中，βk為表5中回歸方程系數(shù)。

3.3模型分析

通過對數(shù)中心化的數(shù)據(jù)lnY與lnX的多元回歸方程可以看出城市經(jīng)濟(jì)指標(biāo)對于城市建筑價(jià)格的影響程度，繼而分析出其中間的關(guān)系。

多元回歸分析的假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果如表4，由表中可以得出判定系數(shù)為0.736，回歸方程的擬合程度較好。F值為44.572，顯著度為0.000，表明回歸極顯著。

同時(shí)，由表5中標(biāo)準(zhǔn)化后的系數(shù)對比可以看出，城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)對于房價(jià)的影響可以分為以下四個(gè)等級：

（1）人均gdp（X2），人均公共財(cái)政收入（X4），人均公共財(cái)政支出（X5），人均消費(fèi)品零售額（X7），人均居民儲(chǔ)蓄存款（X8）的系數(shù)均大于0.3，這說明這些城市的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)很大程度上決定了城市商品房平均價(jià)格。

（2） lnX1，lnX6，lnX10所對應(yīng)的原始數(shù)據(jù)中城市經(jīng)濟(jì)指標(biāo)總?cè)丝冢╔1），平均工資（X6），建筑造價(jià)（X10）的系數(shù)在0.1左右，他們作為城市經(jīng)濟(jì)指標(biāo)對于城市建筑商品房的價(jià)格也產(chǎn)生了一定影響。

（3）而人均住房面積（X9）雖然也在一定程度上影響了城市房價(jià)，但影響程度要遠(yuǎn)低于直接反映城市居民經(jīng)濟(jì)水平的指標(biāo)。

（4）居民消費(fèi)指數(shù)（X3）對樣本數(shù)據(jù)中城市房價(jià)產(chǎn)生的影響可以忽略不計(jì)。

結(jié)論

對于城市建筑商品房價(jià)格的影響因素，除了其決定的城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)較多外，為了建立更標(biāo)準(zhǔn)的模型，需要利用更多的城市樣本數(shù)據(jù)，而且城市商品房價(jià)格與城市發(fā)展指標(biāo)間的關(guān)系可能不是單純的線性關(guān)系。為了解決以上問題，我們通過引入非線性主成分分析法，將決定房價(jià)的多個(gè)指標(biāo)因素化為了少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)，相比于傳統(tǒng)的主成分分析法，既能在盡可能多地保留原是變了信息并相互獨(dú)立的同時(shí)，也減少了主成分的個(gè)數(shù)，提高了分析和計(jì)算的準(zhǔn)確性。最后將非線性主成分分析后的綜合指標(biāo)進(jìn)行了多元線性回歸，擬合程度與檢驗(yàn)結(jié)果符合預(yù)期。將主成分與原始變量間關(guān)系方程帶入后的回歸方程結(jié)果，可以分析出原始城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)對于城市建筑商品房價(jià)格的影響程度，并且對根據(jù)城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展指標(biāo)進(jìn)行房價(jià)估計(jì)有一定的預(yù)測作用。本文所介紹的基于多元統(tǒng)計(jì)分析方法的綜合評價(jià)體系可以較好地適用于城市房價(jià)影響因素重要性的判斷，同時(shí)對于其他實(shí)際生活或科研中多指標(biāo)因素決定的問題有一定的適用性。

參考文獻(xiàn)

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