側(cè)向點爆炸作用下地下拱結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)*

周忠欣，金豐年，袁小軍，陳海龍，周健南，徐 迎，孔新立

(陸軍工程大學(xué)國防工程學(xué)院爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國家重點實驗室，江蘇 南京 210007)

目前針對地下結(jié)構(gòu)除基于核爆炸或模擬核爆炸作用外的研究，基于常規(guī)武器爆炸的研究也逐漸備受重視[1-3]。但由于結(jié)構(gòu)與介質(zhì)之間復(fù)雜的相互作用，對地下拱形結(jié)構(gòu)的研究較少。陳海龍等[4]利用簡化的拱形振動方程，給出爆點位于拱形結(jié)構(gòu)正上方處的彈性動力響應(yīng)解析解。然而，由于爆炸荷載位置的不確定性，側(cè)向爆炸荷載作用對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)研究更具有適用性。楊昇田等[5]根據(jù)大量試驗和數(shù)值分析得到側(cè)向爆炸作用下直墻拱頂襯砌動力響應(yīng)解析解，同時給出壓力函數(shù)的解析表達(dá)式。計算結(jié)構(gòu)-介質(zhì)之間的相互作用常見于2種方式：MSSI(modified soil-structure interaction)理論和Constantino相互作用理論。Miller等[6]、Weidlinger等[7]利用這2種理論計算了結(jié)構(gòu)和介質(zhì)之間的動力響應(yīng)。陳海龍等[8]將爆炸荷載簡化為側(cè)向均布荷載，對遠(yuǎn)場情況任意角度荷載作用下結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行計算，得到了側(cè)向荷載作用下結(jié)構(gòu)的位移分布曲線。孫惠香等[9]、Henrych[10]利用有限元等方法對爆炸荷載作用下地下拱形結(jié)構(gòu)與圍巖的相互作用進(jìn)行了研究。本文中，采用Henrych振型假設(shè)[10]與MSSI模型，理論推導(dǎo)非均布側(cè)向爆炸荷載作用下拱結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度等時程響應(yīng)，以期獲得更符合實際工況的響應(yīng)結(jié)果。計算中假設(shè)爆點距離結(jié)構(gòu)較遠(yuǎn)，對結(jié)構(gòu)未造成較大程度破壞，結(jié)構(gòu)處于彈性響應(yīng)階段。

1 側(cè)向爆炸土中自由場荷載和位移

1.1 土中自由場荷載和位移

計算土中自由場峰值壓力p0(R)和峰值位移w0(R)時，采用TM5-855-1[11]中給出的公式：

(1)

(2)

式中：f為耦合因數(shù)，其與比例爆距有關(guān)；ρs為土體介質(zhì)密度，kg/m3；cs為地震波波速，m/s；R為考察點至裝藥中心的距離，m；WTNT為等效TNT裝藥的質(zhì)量，kg；n為直接地沖擊在介質(zhì)中的衰減因數(shù)。

一般，地下爆炸產(chǎn)生的自由場荷載的時程函數(shù)和位移的時程函數(shù)可用指數(shù)衰減函數(shù)形式來表示：

σi(R,t)=p0(R)e-t/t0

(3)

wi(R,t)=w0(R)e-t/t0

(4)

式中：t為作用時間,s;t0為沖擊波從爆點至結(jié)構(gòu)的傳播時間,s。

在工程應(yīng)用時，通?？蓪⒅笖?shù)衰減函數(shù)簡化為突加三角形荷載：

(5)

式中：td為等效荷載持續(xù)時間,s。此時空間自由場荷載和位移可以表示為

σi(R,t)=p0(R)f(t)

(6)

wi(R,t)=w0(R)f(t)

(7)

1.2 結(jié)構(gòu)表面自由場荷載和位移

如圖1所示，當(dāng)爆炸點發(fā)生在C點時，產(chǎn)生的沖擊波在土中傳播，作用在拱結(jié)構(gòu)表面，在結(jié)構(gòu)上i點處承受爆炸方向土壓力σi(R,t)，由于土壤與結(jié)構(gòu)的相互作用，會產(chǎn)生側(cè)向土壓力νσi(R,t)/(1-ν)。因此，結(jié)構(gòu)表面實際載荷、位移關(guān)系為：

σfi(φ,θ,t)=

(8)

wfi(φ,θ,t)=wi(R,t)cos(θ+φ)

(9)

式中：ν為土壤泊松比；θ=θ1+θ0;θ1為作用點法線方向與豎直方向夾角，計算中規(guī)定θ1以Y軸為起始點，向第二象限旋轉(zhuǎn)為正，向第一象限旋轉(zhuǎn)為負(fù)；θ0為拱頂點方向與起爆點方向之間的夾角，規(guī)定θ0在第一象限為正，在第二象限為負(fù)；φ為入射應(yīng)力波方向與起爆點法線方向之間的夾角。

由幾何關(guān)系可以得到：

根據(jù)幾何關(guān)系，將式(8)、(9)化為關(guān)于θ1、θ0的函數(shù)：

(10)

(11)

式中:L2=x2+(H+r)2，r為拱的半徑，R為起爆點到作用點的距離，H為拱的埋深，x為起爆點到拱正上方點的水平距離，L為起爆點與拱心之間的距離，定義S2=r2-R2。

當(dāng)θ1=-θ0時，即作用點與起爆點之間的連線為法線方向時，可得到拱結(jié)構(gòu)上距離起爆點最近距離處自由場荷載和位移：

σfi(-θ0,θ0,t)=σi(L-r,t)

(12)

wfi(-θ0,θ0,t)=wi(L-r,t)

(13)

設(shè)ξ=r/H，將方程(11)化為關(guān)于ξ、θ1、θ0的載荷分布形式：

(14)

式中：

設(shè)ξ=r/H，將方程(12)化為關(guān)于ξ、θ1、θ0位移分布形式：

(15)

式中：

根據(jù)式(14)、(15)，在當(dāng)θ0=30°，給定ξ時，可以得到對應(yīng)作用在結(jié)構(gòu)處自由場荷載、位移的分布形式。如圖2(a)所示，當(dāng)ξ不變時，隨著衰減系數(shù)n的減小，結(jié)構(gòu)表面自由場荷載的分布趨于平緩，局部荷載效應(yīng)減弱，且最大值作用點對應(yīng)的位置為起爆點的法線方向。圖2(b)所示，隨著衰減系數(shù)減小，位移的分布形式也趨于平緩，局部變形作用減弱。

圖3表明，當(dāng)衰減系數(shù)保持不變時，隨著ξ的減小，爆點與結(jié)構(gòu)之間的距離增大，結(jié)構(gòu)的局部效應(yīng)減弱，分布范圍增大。當(dāng)ξ增大時，位移變形的分布規(guī)律更類似于三角形分布，位移變形較為集中，對結(jié)構(gòu)局部的損害較明顯。

如圖4(a)所示，隨著角度的增加，偏移距離增大，各自由場沖擊荷載的分布曲線的峰值點也隨之偏移，且隨著距離的增大，峰值逐漸降低，分布范圍增加，局部效應(yīng)減弱。如圖4(b)所示，隨著角度的增大，各位移曲線的峰值點也隨之偏移，且隨著距離的增大，峰值逐漸降低，出現(xiàn)位移的范圍增加，結(jié)構(gòu)的局部效應(yīng)減弱。對結(jié)構(gòu)的破壞影響較小。

2 結(jié)構(gòu)振動方程

埋地拱結(jié)構(gòu)與周圍土體之間有一定的相互作用，運(yùn)用MSSI理論得到結(jié)構(gòu)表面的荷載分布形式：

(16)

2.1 薄拱的振動方程

對Henrych的拱的振動方程[10]進(jìn)行簡化，得：

(17)

式中：r為圓拱結(jié)構(gòu)單元半徑,E為楊氏模量;ω為自振頻率;A為矩形截面,I為截面慣性矩;m為單元質(zhì)量,m=ρA,ρ為密度;v(θ1,t)為切向位移;qw為徑向外力。且：

(18)

對于彈性拱結(jié)構(gòu)，利用振型的疊加，結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)可以表示為：

(19)

式中：k為序數(shù)。將方程(16)、(17)代入方程(18)中，化簡可得：

(20)

根據(jù)振型的正交性，將公式(20)化簡，得：

(21)

當(dāng)對荷載時程函數(shù)不做簡化時，f(t)=e-t/t0，因此在計算結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)時，式(21)為：

(22)

式中：

2.2 結(jié)構(gòu)彈性動力響應(yīng)

(1)過阻尼情況時，ξk>1，對式(22)進(jìn)行求解：

(23)

根據(jù)公式(7)，有：

(24)

速度函數(shù)、加速度函數(shù)分別為：

(2)欠阻尼情況時，ξk<1，對方程(22)進(jìn)行求解：

(25)

根據(jù)公式(7)，有：

wk(θ1,t)=wk(θ1)fk(t)=

(26)

速度函數(shù)、加速度函數(shù)為wk(θ1,t)的一階、二階導(dǎo)數(shù)。

3 算 例

3.1 土體聲阻抗的影響

結(jié)構(gòu)兩端固支，拱的整體角度為110°，在計算側(cè)向偏移過程中，ξk=2，拱的半徑為6 m，水平偏移距離為5.2 m，即θ0=30°，楊氏模量為29 GPa，炸藥量為8 kg，拱的埋深為3 m，混凝土拱截面A=1 mm×0.8 mm，設(shè)爆炸荷載作用時間為15 ms。選擇3種土壤進(jìn)行比較，3種土的性質(zhì)見表1，當(dāng)土體聲阻抗不同時，對爆炸點與拱圓心連線處拱上的拱點的位移、速度、加速度進(jìn)行比較。

表1 3種土壤的相關(guān)參數(shù)Table 1 Properties of three soils

從圖5可以看出，不同土壤有不同的聲阻抗，聲阻抗越大結(jié)構(gòu)在土中的位移越大，結(jié)構(gòu)速度達(dá)到最大值的時間越短。而聲阻抗對加速度影響更為明顯，加速度在荷載作用的瞬間即達(dá)到最大值，然后隨著時間的推移，加速度逐漸減小?？梢缘贸?，在結(jié)構(gòu)承受荷載時，當(dāng)結(jié)構(gòu)所在的土體聲阻抗越小，對結(jié)構(gòu)造成的影響越小。

3.2 比例爆距對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響

在計算時，比例爆距選擇的范圍為0.5～3.0 m/kg1/3，爆炸計算模型取遠(yuǎn)場爆炸進(jìn)行研究。不同比例爆距下結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)最大值如圖6所示。從圖6可以得出，土體聲阻抗越大，結(jié)構(gòu)在各比例爆距下的位移、速度、加速度均增大；且隨著比例爆距的增大，結(jié)構(gòu)響應(yīng)在減小。當(dāng)比例爆距值為3.0 m/kg1/3時，結(jié)構(gòu)上的最大動力響應(yīng)趨于零，呈收斂趨勢。

4 結(jié) 論

(1)當(dāng)爆點位于不同位置時，荷載作用范圍也會發(fā)生變化，導(dǎo)致不同的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)。

(2)隨著衰減系數(shù)的減小，結(jié)構(gòu)表面自由場荷載的分布趨于平緩，局部荷載效應(yīng)減弱，且最大值作用點對應(yīng)的位置為起爆點的法線方向。

(3)隨著偏移距離的增大，荷載與位移的各分布曲線的峰值點也隨之偏移，且隨著距離的增大，峰值逐漸降低，分布范圍增加，局部效應(yīng)減弱，對結(jié)構(gòu)的損傷也在衰減。

(4)聲阻抗與結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)呈正比，比例爆距與結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)呈反比；因此防護(hù)結(jié)構(gòu)周圍應(yīng)選擇在聲阻抗較小的介質(zhì)中構(gòu)筑。

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