基于Cowper-Symonds方程的相似理論修正方法*

蘇子星，何繼業(yè)

(1.西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院，陜西 西安 710072；2.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，陜西 西安 710072)

相似理論是實驗設(shè)計中較為熱門的研究問題[1]，其核心在于確定外載條件相似系數(shù)、以使模型與全尺寸原型實驗結(jié)果接近。經(jīng)典相似理論[2]成熟、有效，已在(準)靜態(tài)實驗中廣為應(yīng)用；然而近年來，具備高速、高應(yīng)力、高應(yīng)變率等特點的動態(tài)實驗(如沖擊實驗等)逐漸成為研究重點。由于動態(tài)實驗中的特征參數(shù)存在非線性特點，若繼續(xù)使用經(jīng)典相似理論作為指導(dǎo)，則會給實驗結(jié)果帶來較大誤差。因此，有必要對經(jīng)典相似理論進行修正。

針對沖擊實驗，談慶明[3-4]曾就沖擊相似律進行過詳細的分析和討論。Calladine等[5]提出通過改變外載條件來抵消應(yīng)變率效應(yīng)影響，并給出了修正方法。Oshiro等[6]經(jīng)過嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，進一步修正了基于經(jīng)驗的Calladine相似理論。

本文中在已有研究基礎(chǔ)上，引入Cowper-Symonds方程來考慮材料本構(gòu)中應(yīng)變率效應(yīng)影響、并重新推導(dǎo)外載條件相似系數(shù)的計算公式；通過數(shù)值模擬將該方法與已有相似理論進行對比，以分析該方法的模型預(yù)測精度。

1 理論基礎(chǔ)

早期的相似理論認為：模型相當(dāng)于從全尺寸原型上分離出的微元；除了尺寸與質(zhì)量上的差異外，模型各物理量(如速度、應(yīng)變率等)和外載條件均應(yīng)與全尺寸原型相同。顯然，該理論忽視了因尺寸效應(yīng)而產(chǎn)生的相似系數(shù)變化，故模型與全尺寸原型實驗結(jié)果相差較大。

自Π定理建立后，出現(xiàn)了MLT (mass-length-time)相似理論。該理論基于量綱一致原則提出，在確定基本物理量的相似系數(shù)后、其余物理量的相似系數(shù)均可通過Π定理求得。MLT相似理論中部分物理量的相似系數(shù)為：幾何長度，λ；體積，λ3；質(zhì)量，λ3；時間，λ；速度，1；壓力，λ2；應(yīng)力，1；應(yīng)變，1；應(yīng)變率，1/λ。

MLT相似理論對于(準)靜態(tài)實驗具有重要指導(dǎo)意義。但由于該理論對速度等特征參數(shù)計算的線性相似系數(shù)不夠精確，故在指導(dǎo)動態(tài)實驗時存在不足之處。

Calladine等[5]對MLT相似理論進行了修正、并提出Calladine相似理論。該理論將速度相似系數(shù)λv由1改為λ，相應(yīng)的質(zhì)量相似系數(shù)λm由λ3改為λ。這一做法在部分沖擊問題中取得了較好的結(jié)果，但在更一般的沖擊實驗中其預(yù)測結(jié)果誤差較大、普適性不足；故仍有改進的必要。

Oshiro等[6]從Norton-Hoff公式出發(fā)，提出了VSG (velocity-yield stress-mass)相似理論。Norton-Hoff公式[7]的表達式為 ：

(1)

VSG相似理論的質(zhì)量相似系數(shù)λm與MLT相似理論相同：λm=λ3；而速度相似系數(shù)λv為：

(2)

式中:λσ0是模型與全尺寸原型材料的(準)靜態(tài)屈服應(yīng)力比，即λσ0=σ0m/σ0p；下標m、p分別代表模型(model)和全尺寸原型(prototype)。

VSG相似理論較好地解決了應(yīng)變率效應(yīng)對沖擊實驗結(jié)果造成的影響，但其并未考慮若模型與全尺寸原型使用不同材料制造時，質(zhì)量相似系數(shù)的變化(VSG相似理論認為密度相似系數(shù)λρ=1)；同時Norton-Hoff公式參數(shù)較少、不能準確描述應(yīng)變率效應(yīng)的影響，因此還有改進空間。

2 模型修正

本文中給出基于VSG理論的、考慮模型與全尺寸原型使用不同材料制造的修正模型(稱之為VSG+方法)。首先引入與應(yīng)變率相關(guān)的Cowper-Symonds公式[8]：

(3)

對于質(zhì)量相似系數(shù)λm有：

(4)

在VSG相似理論中有

(5)

(6)

式中：λv的表達式中包含λv，故須通過迭代方法求解λv。

綜上所述，4種相似理論的質(zhì)量相似系數(shù)λm與速度相似系數(shù)如表1所示。

表1 4種相似理論質(zhì)量相似系數(shù)與速度相似系數(shù)Table 1 Four theories’ mass factors & velocity factors

3 算例驗證

為驗證上述方法的有效性，引入簡化模型、在ABAQUS平臺下分別使用已有相似理論和本文中提出的VSG+方法，計算同一縮比尺寸下的沖擊實驗結(jié)果。通過數(shù)值模擬得到不同外載條件下模型的凹坑深度，并與全尺寸原型結(jié)果做對比。

簡化模型為一個四邊固支的正方形金屬板(邊長a=100 mm、厚度H=1 mm)受到直徑d=10 mm、質(zhì)量m=20 g、初速度v0=100 m/s的剛性小球撞擊板中心部位，如圖1所示。

金屬板材料分別選用2024鋁合金(對應(yīng)變率不敏感)和45鋼(對應(yīng)變率敏感)，兩種材料部分參數(shù)如表2所示。

表2 材料參數(shù)Table 2 Parameters of the materials

表3 不同材料及比例尺模型的初始外載條件Table 3 Initial conditions for models in different materials & scales

在ABAQUS軟件中建立模型并設(shè)定各參數(shù)，得到4種相似理論數(shù)值模擬結(jié)果如圖2所示。由于尺寸差異，縮比實驗結(jié)果已按比例尺放大。

從圖2(b)、(d)、(f)可看出，由于2024鋁合金無應(yīng)變率效應(yīng)影響，所以MLT、VSG和VSG+相似理論模型結(jié)果均與全尺寸原型結(jié)果吻合較好，而Calladine相似理論因其局限性故不適合本算例；從圖2(a)、(c)、(e)、(g)可以看出，模型在縮放后由于剛度上升，帶來的應(yīng)變率效應(yīng)影響也逐漸明顯。對比4種理論與全尺寸原型結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，本文中提出的VSG+相似理論相對于傳統(tǒng)相似理論，在建模精度上有了一定提高。

4 結(jié) 論

基于VSG相似理論，提出了若模型與全尺寸原型使用不同材料制造時考慮應(yīng)變率效應(yīng)的相似理論修正模型：稱之為VSG+方法。通過引入與應(yīng)變率相關(guān)的Cowper-Symonds公式，重新計算了質(zhì)量相似系數(shù)與速度相似系數(shù)。在與傳統(tǒng)相似理論對比后，證明該方法預(yù)測精度高于傳統(tǒng)理論。

本文中算例均采用典型材料，對于其他應(yīng)變率敏感程度不同的材料及復(fù)雜模型(如復(fù)雜結(jié)構(gòu)、復(fù)雜初始外載條件等)該理論的適用性，將作為今后研究重點進一步分析。

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