一種基于最速下降法的無模型自適應(yīng)控制

吉 蕊， 佃松宜， 蘇 敏

(四川大學(xué)電氣信息學(xué)院,成都 610065)

0 引言

建立被控系統(tǒng)的模型是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)，隨著受控對(duì)象越來越復(fù)雜，建立其精確的模型非常困難，即使建立了系統(tǒng)模型，模型往往也經(jīng)過諸多簡化，基于此建立的控制器，在實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)出現(xiàn)問題，而且，模型越復(fù)雜，控制器的設(shè)計(jì)就越復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)越困難[1-2]。文獻(xiàn)[1-2]提出的無模型自適應(yīng)控制(Model-Free Adaptive Control,MFAC)是一種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的先進(jìn)智能控制方法，它在被控系統(tǒng)附近用一系列動(dòng)態(tài)線性時(shí)變模型來代替一般非線性系統(tǒng)，不需要被控對(duì)象的任何知識(shí)，僅基于被控系統(tǒng)產(chǎn)生的輸入輸出信息設(shè)計(jì)控制器，與模型、結(jié)構(gòu)、系統(tǒng)階數(shù)無關(guān)，且能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制，并確保其閉環(huán)穩(wěn)定，從本質(zhì)上消除了未建模動(dòng)態(tài)對(duì)系統(tǒng)的影響[3-5]。無模型自適應(yīng)控制算法具有廣泛的適用性，計(jì)算量小，魯棒性強(qiáng)，很好地處理了非線性時(shí)變系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中的各類控制問題，在工程應(yīng)用中有廣闊的前景,且已經(jīng)在自動(dòng)泊車、電力電網(wǎng)、化工、風(fēng)力發(fā)電等領(lǐng)域取得了良好的控制效果[6-9]。

近年來，國內(nèi)外許多研究學(xué)者對(duì)無模型控制算法進(jìn)行了改進(jìn)，文獻(xiàn)[8]提出了一種新的偽偏導(dǎo)數(shù)(Pseudo-Partial Derivative，PPD)參數(shù)估計(jì)方法；文獻(xiàn)[10]考慮到被控系統(tǒng)內(nèi)部的信息未被充分利用的問題，提出一種無模型動(dòng)態(tài)矩陣算法，將動(dòng)態(tài)矩陣控制算法的預(yù)測模型與偽梯度向量結(jié)合，得到系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，進(jìn)而推導(dǎo)出控制律；文獻(xiàn)[11]針對(duì)無模型自適應(yīng)算法的干擾作用問題，分析了可測擾動(dòng)對(duì)性能的影響，提出了一種帶有濾波作用的改進(jìn)方法并進(jìn)行了魯棒性證明，有效解決了對(duì)可測擾動(dòng)的抑制問題；文獻(xiàn)[12]考慮執(zhí)行器輸入受限時(shí)的情況，對(duì)系統(tǒng)輸入準(zhǔn)則函數(shù)引入了約束條件，用Hildreth方法求解數(shù)值，解決了執(zhí)行器的執(zhí)行能力存在上限的問題。在以上研究中，在控制律和偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)算法中都采用了試湊法或固定常數(shù)法選取懲罰因子。在無模型自適應(yīng)算法中，懲罰因子一般選取為大于零的常數(shù)，其值對(duì)控制系統(tǒng)收斂速度、超調(diào)量以及整體系統(tǒng)的自適應(yīng)性能等影響都很大。

為使收斂速度更快、超調(diào)量更小、自適應(yīng)控制性能更優(yōu)，本文提出了一種可分別對(duì)控制律和偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)算法中的懲罰因子自適應(yīng)尋優(yōu)的改進(jìn)算法，并對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行證明，進(jìn)一步地，通過對(duì)非線性系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證表明了該算法對(duì)收斂速度的提升作用和對(duì)抗擾性的增強(qiáng)作用。

1 原型MFAC算法

考慮如下的SISO離散非線性系統(tǒng)

y(k+1)=f(y(k),…,y(k-ny),u(k),…,u(k-nu))

(1)

式中：y(k)∈R,u(k)∈R分別表示系統(tǒng)在k時(shí)刻的輸出和輸入；f()∶Rnu+ny+2∈R為未知的非線性函數(shù)；nu,ny為未知的正整數(shù)。

為了得到系統(tǒng)的控制方案，對(duì)系統(tǒng)(1)作如下的假設(shè)。

假設(shè)1函數(shù)f()關(guān)于系統(tǒng)的控制輸入u(k)的偏導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的。

假設(shè)2系統(tǒng)式(1)滿足廣義Lipschitz條件，即對(duì)任意的時(shí)刻k1≠k2，k1,k2≥0時(shí)，當(dāng)u(k1)≠u(k2)有

|Δy(k+1)|≤b|Δu(k)|

(2)

式中：Δy(k+1)=y(k+1)-y(k);b>0是一個(gè)常數(shù);Δu(k)=u(k)-u(k-1)。

引理1[1-3]若非線性系統(tǒng)式(1)滿足假設(shè)1、假設(shè)2,則當(dāng)Δu(k)≠0時(shí)，一定存在一個(gè)稱為PPD(Pseudo-Partial Derivative)的偽偏導(dǎo)數(shù)φ(k),使得非線性系統(tǒng)的泛模型成立，即

y(k+1)=y(k)+φ(k)Δu(k)

(3)

式中，|φ(k)|≤b。

考慮如下的準(zhǔn)則函數(shù)

J(u(k))=(y*(k+1)-y(k+1))2+
λ(u(k)-u(k-1))2

(4)

式中：y*(k+1)為系統(tǒng)期望跟蹤信號(hào)；λ為懲罰因子。

將式(3)泛模型代入準(zhǔn)則函數(shù)式(4)中，并對(duì)u(k)求導(dǎo)，可得控制律算式為

(5)

式中：ρ為運(yùn)算步長;φ(k)是未知的，需要對(duì)其進(jìn)行在線辨識(shí)。

對(duì)偽偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行估計(jì)，采用投影估計(jì)算法，從消除穩(wěn)態(tài)偏差和保證系統(tǒng)穩(wěn)定的角度出發(fā)，采用與控制策略成對(duì)稱相似結(jié)構(gòu)的控制輸入目標(biāo)函數(shù)

(6)

(7)

式中，η∈(0,1],為步長序列。

(8)

2 改進(jìn)的MFAC算法

懲罰因子主要有2個(gè)作用：1) 對(duì)控制輸入量和偽偏導(dǎo)數(shù)輸入量的變化加以限制，影響系統(tǒng)響應(yīng)的速度和超調(diào)量，同時(shí)減少系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，保證控制輸入信號(hào)的平滑性；2) 防止出現(xiàn)式(5)、式(7)中分母為零的奇異狀況。選取合適的λ，μ值可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，且在閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)速度和超調(diào)量之間得到最佳的平衡值，現(xiàn)有的方法對(duì)λ和μ的選取主要依靠經(jīng)驗(yàn)，沒有一種自動(dòng)整定到最優(yōu)的方法。本文中，對(duì)懲罰因子提出一種在線迭代自適應(yīng)的改進(jìn)方法，利用最優(yōu)化中的最速下降法的思想，迭代尋找能使控制律和偽偏導(dǎo)數(shù)達(dá)到最優(yōu)的懲罰因子值。

2.1 對(duì)控制律中的懲罰因子改進(jìn)

對(duì)式(5)中的懲罰因子作如下離散迭代的改進(jìn)

λ(k+1)=λ(k)-α1▽J(u(k))

(9)

式中，α1為學(xué)習(xí)速率。

為使控制率達(dá)到最優(yōu)，其對(duì)控制律的梯度為

(10)

將式(9)改寫為

λ(k+1)=λ(k)-α1A1B1

(11)

式中：

A1=2((φ(k)2+λ(k))Δu(k)-
(y*(k+1)-y(k))φ(k))；

(12)

(13)

2.2 對(duì)偽偏導(dǎo)數(shù)式中的懲罰因子改進(jìn)

對(duì)式(7)中的懲罰因子作如下離散迭代的改進(jìn)

μ(k+1)=μ(k)-α2▽J(u(k))

(14)

式中，α2為學(xué)習(xí)速率。

同樣，此改進(jìn)的目的是獲得控制器的最優(yōu)解，其梯度為

(15)

將式(15)改寫為

μ(k+1)=μ(k)-α2A2B2C2

(16)

式中：

A2=2((φ(k)2+λ(k))Δu(k)-
(y*(k+1)-y(k))φ(k))；

(17)

(18)

(19)

由此得到偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)算式為

(20)

進(jìn)而，得到控制律

(21)

3 穩(wěn)定性分析

為了對(duì)改進(jìn)算法的閉環(huán)穩(wěn)定性進(jìn)行分析，做如下假設(shè)。

假設(shè)3對(duì)某個(gè)給定的有界期望輸出信號(hào)y*(k+1)，總存在一個(gè)有界的u*(k)，使系統(tǒng)輸入該信號(hào)時(shí)，輸出等于y*(k+1)。

假設(shè)4對(duì)任意時(shí)刻k及Δu(k)≠0，系統(tǒng)偽偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)保持不變，即滿足φ(k)>b1>0或φ(k)<-b1，其中，b1是一個(gè)小正數(shù)。

定理1對(duì)于非線性系統(tǒng)式(7)，在滿足假設(shè)1～4的情形下，當(dāng)y*(k+1)=const時(shí)，使用式(21)、式(22)、式(30)，總存在一個(gè)常數(shù)λmin>0，使得當(dāng)λ>λmin時(shí)有：1) 系統(tǒng)輸出跟蹤誤差單調(diào)有界收斂；2) 閉環(huán)系統(tǒng)BIBO (Bounded Input Bounded Output)穩(wěn)定，即輸出序列{y(k)}和輸入序列{u(k)}是有界的。

證明：

(22)

將Δy(k)=φ(k-1)Δu(k-1)代入式(22)中，并在兩邊取絕對(duì)值，則

。

(23)

因?yàn)棣?k)>0且η∈(0,1)，所以

ηΔu2(k-1)<Δu2(k-1)<μ(k)+Δu2(k-1)

(24)

(25)

因而

(26)

記 1-δ=d1，2b=c，則

(27)

Step 2 證明e(k)有界。

定義系統(tǒng)跟蹤誤差為

e(k+1)=y*(k+1)-y(k+1)

(28)

將式(3)、式(21)代入式(28)中，兩邊取絕對(duì)值，可得

(29)

同理可知0<λ(k)

(30)

又根據(jù)式(30)，0<ρ≤1和λ>λmin，則一定存在一個(gè)常數(shù)d2<1，使得

(31)

結(jié)合式(29)、式(31)，有

(32)

故e(k)有界收斂。定理1的第1)點(diǎn)得證。

Step 3 證明y(k)，u(k)有界。

(33)

(34)

證得輸入序列{u(k)}有界。定理1的第2)點(diǎn)得證。

4 仿真研究

考慮如下非線性系統(tǒng)

(35)

期望輸出信號(hào)為

(36)

擾動(dòng)信號(hào)為

a(k)=1+round(k/200)

(37)

b(k)=1+round(k/500)

(38)

d(k)=0.2。

(39)

將常規(guī)的無模型自適應(yīng)算法(MFAC)和改進(jìn)的無模型自適應(yīng)算法(IMFAC)分別應(yīng)用其中，利用Matlab進(jìn)行仿真比對(duì)并分析。

圖1 輸出曲線比對(duì)圖Fig.1 Comparison of output curves

為了對(duì)比兩種算法的總體控制性能，分別計(jì)算其性能評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)間絕對(duì)誤差積分(ITAE)，計(jì)算式為

(40)

圖2 輸入曲線比對(duì)圖Fig.2 Comparison of input curves

圖3 誤差曲線比對(duì)圖Fig.3 Comparison of error curves

2種算法性能指標(biāo)比較如表1所示。

表1 2種算法性能指標(biāo)比較

由圖1可以明顯地看出，IMFAC方法在跟蹤參考信號(hào)時(shí)具有更快的收斂速度，但超調(diào)量有所增加，同時(shí)，在受到干擾情況下，IMFAC方法能更快地達(dá)到穩(wěn)定。由圖3和表1可見，IMFAC方法相比MFAC方法,誤差明顯減小，性能指標(biāo)明顯增大，綜合而言，IMFAC方法具有更優(yōu)的控制性能。

5 總結(jié)

本文提出了一種改進(jìn)的無模型自適應(yīng)控制算法，通過對(duì)其控制律與偽偏導(dǎo)數(shù)估計(jì)式中的懲罰因子進(jìn)行迭代優(yōu)化控制，簡化了原有方法中對(duì)懲罰因子試湊尋優(yōu)的過程，提高了參數(shù)尋優(yōu)能力，對(duì)其閉環(huán)穩(wěn)定性進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，并對(duì)改進(jìn)前后的算法進(jìn)行了比對(duì)。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的方法收斂速度更快，抗擾性更強(qiáng)，控制性能更優(yōu)，有效提高了系統(tǒng)的控制效果。另一方面，在線的求解增加運(yùn)算的復(fù)雜度，而如何降低復(fù)雜度，減少運(yùn)算量，改變其為離線求解，或離線和在線共同求解，或加入新的算法進(jìn)行改進(jìn)，將是下一步的研究重點(diǎn)。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 侯忠生.非線性系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)、自適應(yīng)控制和無模型學(xué)習(xí)自適應(yīng)控制[D].沈陽:東北大學(xué),1994.

[2] 侯忠生,金尚泰.無模型自適應(yīng)控制：理論與應(yīng)用 [M].北京：科學(xué)出版社,2013.

[3] 侯忠生.無模型自適應(yīng)控制的現(xiàn)狀與展望[J].控制理論與應(yīng)用,2006,23(4):586-592.

[4] HOU Z S,JIN S T.Model free adaptive control:theory and applications [J].Brain Research,2013,281(2):202-205.

[5] ZHU Y M,HOU Z S.Controller dynamic linearisation-based model-free adaptive control framework for a class of non-linear system[J].IET Control Theory & Applications,2015,9(7):1162-1172.

[6] 侯忠生,董航瑞,金尚泰.基于坐標(biāo)補(bǔ)償?shù)淖詣?dòng)泊車系統(tǒng)無模型自適應(yīng)控制[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2015,41(4):823-831.

[7] 趙藝,陸超,韓英鐸.多輸入多輸出無模型自適應(yīng)廣域阻尼控制器設(shè)計(jì)[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013(4):453-458.

[8] XU D Z,JIANG B,SHI P.A novel model-free adaptive control design for multivariable industrial processes[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics,2014,61(11):6391-6398.

[9] 魯效平，李偉，林勇剛.基于無模型自適應(yīng)控制器的風(fēng)力發(fā)電機(jī)載荷控制[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2011，42(2):109-114,262.

[10] 侯立剛,徐利軍,蘇成利,等.基于緊格式線性化的無模型動(dòng)態(tài)矩陣控制[J].控制工程,2013,20(2):246-249.

[11] 卜旭輝,侯忠生,金尚泰.擾動(dòng)抑制無模型自適應(yīng)控制的魯棒性分析[J].控制理論與應(yīng)用,2011,28(3):358-362.

[12] 程志強(qiáng),朱紀(jì)洪,袁夏明.考慮執(zhí)行器飽和的改進(jìn)無模型自適應(yīng)控制[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2016,42(8):1158-1165.

[13] 劉穎超,張紀(jì)元.梯度下降法[J].華東工學(xué)院學(xué)報(bào),1993(2):12-16.