非飽和地基中部分埋入樁的水平振動(dòng)問(wèn)題

楊紫健 劉浩 張?jiān)迄i 邱敏 吳文兵

摘要 本文研究非飽和土中部分埋入樁的水平振動(dòng)問(wèn)題，為模擬橋梁樁基的高承臺(tái)樁的實(shí)際服役狀態(tài)，考慮水平簡(jiǎn)諧荷載和豎向靜載的組合作用，采用Timoshenko梁模型和三維連續(xù)介質(zhì)建立了非飽和土?部分埋入樁的耦合振動(dòng)理論模型，利用微分變換法和傳遞矩陣法求得了樁身水平動(dòng)力響應(yīng)解析解，將退化解與已有成果作比較，驗(yàn)證了本文解的合理性?；诮⒌睦碚撃Ｐ?，探討了豎向荷載、埋入比和飽和度對(duì)部分埋入樁水平動(dòng)力特性的影響。研究結(jié)果表明：剛度因子隨著豎向荷載的增大而迅速減小，但是阻尼因子略微減??；剛度因子和阻尼因子均隨著埋入比的增加而減小；樁身水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力幅值均隨著埋入比的增大而增大，幅值位置逐漸向上移動(dòng)；飽和度較低的對(duì)剛度因子的影響很小，但飽和度大于0.9時(shí)剛度因子隨飽和度的增加而迅速增大，阻尼因子基本保持不變。

關(guān)鍵詞 非飽和土; 部分埋入樁; 水平振動(dòng); 動(dòng)阻抗; Timoshenko梁模型

引 言

部分埋入式樁基礎(chǔ)（高樁）被廣泛應(yīng)用于山區(qū)高速鐵路、海上平臺(tái)和深水橋梁等結(jié)構(gòu)物中，在其服役周期內(nèi)經(jīng)常承受由交通、風(fēng)、浪、流等引起的動(dòng)荷載，因此部分埋入樁的水平動(dòng)力響應(yīng)引起了國(guó)內(nèi)學(xué)者的重視。相比于整體埋入樁，部分埋入樁由于樁身自由段的存在，在水平動(dòng)荷載作用下有可能發(fā)生屈曲失穩(wěn)破壞；此外，部分埋入樁受到地震荷載后，上部豎向荷載和樁身自由段的組合作用很容易產(chǎn)生較大的彎矩和撓曲變形，難以滿足規(guī)范的設(shè)計(jì)要求，所以部分埋入樁的水平動(dòng)力響應(yīng)研究有著重要的理論與工程價(jià)值。

Lee等［1］采用Winkler地基梁模型，對(duì)部分埋入矩形變截面樁的固有頻率和振型進(jìn)行了研究。Catal［2?3］和Yusuf等［4］應(yīng)用傳遞矩陣法，推導(dǎo)了組合荷載下部分埋入樁的振動(dòng)偏微分方程，分析了自由段長(zhǎng)度和樁?土邊界條件對(duì)水平動(dòng)力響應(yīng)的影響。Sapountzakis等［5］基于邊界元法和Timoshenko梁模型，在考慮土體非線性的情況下對(duì)部分埋入樁的水平振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。在國(guó)內(nèi)相關(guān)研究方面，任青等［6］考慮上部豎向荷載和樁?樁相互作用，基于疊加原理研究了部分埋入群樁基礎(chǔ)的水平振動(dòng)特性；黃茂松等［7］進(jìn)一步將其應(yīng)用于海上風(fēng)機(jī)部分埋入群樁基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)共振問(wèn)題。熊輝等［8］基于Winkler梁模型，詳細(xì)地探討了液化土中樁基的水平振動(dòng)特性。

以上研究大多采用Winkler地基梁模型描述樁土耦合作用，該模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，有利于簡(jiǎn)化建模過(guò)程，但忽略了土體的連續(xù)性，同時(shí)無(wú)法考慮土體的固、液、氣三相介質(zhì)特性。為此，Liu等［9］將樁周土視為層狀飽和土，提出了一種計(jì)算部分埋入群樁基礎(chǔ)水平振動(dòng)阻抗的簡(jiǎn)化方法。Hu等［10］基于Biot動(dòng)力固結(jié)方程和Novak薄層法，推導(dǎo)了組合荷載下部分埋入飽和土層樁的動(dòng)力阻抗；付鵬等［11?12］進(jìn)一步考慮了樁?孔隙水動(dòng)力相互作用，分別建立了單層和成層地基中海洋高樁?土?孔隙水耦合振動(dòng)模型。Zheng等［13］研究了非均質(zhì)多孔介質(zhì)中部分埋入剛性圓樁在水平簡(jiǎn)諧荷載下的振動(dòng)特性。Li等［14］和艾志勇等［15］考慮了層狀土的橫觀各向同性以及水流的沖刷作用，基于有限元法推導(dǎo)了部分埋入群樁的水平動(dòng)力方程。

不同于單相土或飽和土，自然界中非飽和土在應(yīng)力狀態(tài)、本構(gòu)關(guān)系上表現(xiàn)得更為復(fù)雜［16?17］。章敏等［18?19］研究了非飽和土中完全埋入端承樁的水平動(dòng)力響應(yīng)，并將其推廣到了群樁基礎(chǔ)，但該研究尚未考慮上部結(jié)構(gòu)荷載和部分埋入樁自由段的屈曲失穩(wěn)破壞，而這兩個(gè)因素對(duì)橋梁樁基等高承臺(tái)樁的動(dòng)力特性有著非常重要的影響。為此，本文基于Timoshenko梁模型和多孔介質(zhì)模型，建立了非飽和土?部分埋入樁的動(dòng)力耦合模型，通過(guò)傳遞矩陣法求得了水平簡(jiǎn)諧荷載與上部豎向靜載共同作用下樁頂動(dòng)力復(fù)阻抗的解析解，分析了豎向荷載、埋入比和飽和度對(duì)樁體水平振動(dòng)特性的影響。

1 計(jì)算模型與假設(shè)條件建立

1.1 數(shù)學(xué)模型

非飽和土?部分埋入樁的耦合動(dòng)力模型如圖1所示，其中假定樁?土界面位移連續(xù)并且無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，接觸面為不透水和不透氣邊界。水平簡(jiǎn)諧荷載Q0eiωt，簡(jiǎn)諧彎矩M0eiωt和豎向靜荷載APP作用于樁頂，ω為激振頻率。樁身自由段長(zhǎng)為L(zhǎng)1，劃分為第一區(qū)域；埋入段長(zhǎng)為L(zhǎng)2，劃分為第二區(qū)域。坐標(biāo)系統(tǒng)為圓柱坐標(biāo)系（r， θ，z），原點(diǎn)位于自由段與埋入段的分界處中心，z軸與樁體中心軸線重合。R1為樁體半徑。

1.2 假設(shè)條件

本文采用如下基本假定：

（1） 樁基為均質(zhì)圓截面彈性桿，樁周土為各向同性、均勻、黏彈性介質(zhì)；

（2） 僅考慮土體的水平位移，地表不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)位移；

（3） 土體頂部為自由表面，即無(wú)正應(yīng)力或剪應(yīng)力，土體底部為固定邊界；

（4） 不考慮土體顆粒、孔隙水的壓縮性及各相物質(zhì)間的黏性、慣性耦合效應(yīng)。

2 控制方程及邊界條件

2.1 振動(dòng)控制方程

2.1.1 土體振動(dòng)方程

4 分析與驗(yàn)證

4.1 計(jì)算精度研究

由于解析表達(dá)式中含有三角級(jí)數(shù)，為保證計(jì)算結(jié)果收斂，本節(jié)對(duì)三角級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)引起的誤差進(jìn)行分析。如無(wú)特殊說(shuō)明，樁周土的參數(shù)取為： Ks=36 GPa，Kf=2.0 GPa，Ka=145 kPa，ρs=2.7×103 kg/m3，ρf=1.0×103 kg/m3，ρa(bǔ)=1.29 kg/m3，ηf=1.0×10-3 Pa·s，ηa=18×10-6 Pa·s，krf=1.0×10-4 m/s，kra=7.2×10-6 m/s，n =0.375，γ=Sr=0.7，Sw0=0.05，κ=1.0×10-11 m2，Es=25 MPa，Go=1.0×107 Pa，δo=0.1，vs=0.25，χ=1.0×10-4 m-1，m=0.5，d=2。樁體的參數(shù)具體如下：L1=1 m，L2=20 m，R1=0.5 m，ρP=2.5×103 kg/m3，k' =0.75，EP=25 GPa，vP=0.3，Q0=100 kN，P=10 MPa。

令三角級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)n分別設(shè)置為5，10，15和20，結(jié)果如圖2所示，其中橫坐標(biāo)為無(wú)量綱頻率a0（a0=ωR1/Vs）。由圖2可見(jiàn)，樁頂水平動(dòng)阻抗Kh隨三角級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的變化均趨于收斂；特別是當(dāng)三角級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)n=10以后，同類(lèi)型的曲線基本重合，滿足精度要求。為了驗(yàn)證該規(guī)律的普遍性，通過(guò)試算其他工況下三角級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)對(duì)樁頂動(dòng)力響應(yīng)的影響，計(jì)算結(jié)果均可在n>10時(shí)收斂。因此，下文分析中三角級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)均取為10。

4.2 合理性驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文解的合理性，首先將本文模型退化到不考慮豎向荷載時(shí)完全埋入樁情況（P=0 MPa，L1=0 m，L2=20 m和10 m，其余參數(shù)的取值同文獻(xiàn)［18］），與文獻(xiàn)［18］的解對(duì)比；然后，將本文樁周非飽和土退化至飽和兩相介質(zhì)情況（Sr=0.999，P=10 MPa和0 MPa，k' →∞，其余參數(shù)取值同文獻(xiàn)［10］），與文獻(xiàn)［10］的解對(duì)比。對(duì)比驗(yàn)證情況如圖3所示，發(fā)現(xiàn)本文推導(dǎo)所得樁頂水平動(dòng)阻抗退化解曲線與相對(duì)應(yīng)的現(xiàn)有解基本吻合，說(shuō)明本文模型具有較高的精度和普適性。

5 部分埋入樁水平動(dòng)力特性分析

5.1 豎向荷載對(duì)水平動(dòng)阻抗的影響

豎向荷載P分別設(shè)置為0，10，20和30 MPa，其余參數(shù)取值均同4.1節(jié)。圖4顯示的是豎向荷載對(duì)樁頂水平動(dòng)阻抗的影響?？梢钥闯?，剛度因子隨著豎向荷載的增大而迅速減小，而阻尼因子基本不受豎向荷載的影響。這是由于上部豎向荷載的存在使得樁體內(nèi)位移、剪力發(fā)生重分布，降低了樁基抵抗水平變形的能力，因此在進(jìn)行樁基水平動(dòng)力設(shè)計(jì)時(shí)，考慮豎向荷載十分有必要。

5.2 樁身埋入比對(duì)水平動(dòng)阻抗的影響

保持樁體總長(zhǎng)L=20 m和10 m不變，樁身埋入比L1/L2分別取0，0.05，0.1和0.15，其他參數(shù)取值均同4.1節(jié)。圖5展示的是兩種樁體總長(zhǎng)情況下樁身埋入比對(duì)樁頂水平動(dòng)阻抗的影響?？梢钥闯?，樁頂水平動(dòng)阻抗對(duì)埋入比的變化非常敏感，剛度因子和阻尼因子均隨著埋入比的增加而迅速減小，說(shuō)明樁身自由段的存在使得樁身阻抗大幅降低。當(dāng)L=20 m時(shí)，埋入比L1/L2從0增大到0.15，樁頂水平動(dòng)阻抗最大可降低約50%，這是由于樁身外延部分增大了整個(gè)基礎(chǔ)的柔性，弱化了土體對(duì)樁基礎(chǔ)的約束；同時(shí)，隨著振動(dòng)頻率的增加，水平動(dòng)阻抗的弱化現(xiàn)象更加明顯。值得注意的是，L=20 m時(shí)高頻范圍內(nèi)的剛度因子在L1/L2=0.15時(shí)已經(jīng)降低至0并且反向增大，說(shuō)明此時(shí)部分埋入樁的水平承載能力很差，甚至可能發(fā)生斷裂和破壞。相比之下，L=10 m時(shí)樁頂水平動(dòng)阻抗隨埋入比的變化程度明顯更小，這是因?yàn)榇藭r(shí)樁體本身具有的剛性不容易被樁周土的作用力改變。總的來(lái)說(shuō)，不同樁土參數(shù)使得樁身埋入比對(duì)樁頂振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律有細(xì)微差別，但上述分析已經(jīng)表明，為保證上部結(jié)構(gòu)的安全性，應(yīng)該嚴(yán)格控制埋入比的取值。

進(jìn)一步，在高頻階段內(nèi)研究樁身埋入比對(duì)樁體位移和內(nèi)力分布規(guī)律的影響，此處令無(wú)量綱激振頻率a0=1.0。樁身埋入比對(duì)樁體水平位移和轉(zhuǎn)角分布規(guī)律的影響如圖6所示。由圖6可知，樁身轉(zhuǎn)角和位移幅值隨著埋入比的增大而迅速增大，并且幅值位置逐漸向上移動(dòng)。圖7反映了樁身彎矩和剪力隨埋入比的變化情況。由圖7可知，與圖6中轉(zhuǎn)角和位移的變化規(guī)律類(lèi)似，樁身彎矩與剪力幅值也隨著埋入比的增大而增大，幅值位置逐漸上移，但其幅值變化程度相對(duì)較小。

5.3 飽和度對(duì)樁頂水平動(dòng)阻抗的影響

圖8展示了不同飽和度下樁頂水平動(dòng)阻抗隨無(wú)量綱頻率的變化曲線，其中土體飽和度Sr分別設(shè)置為0.3，0.5，0.7和0.9。由圖8可知，樁頂水平動(dòng)剛度和動(dòng)阻尼因子均隨著土體飽和度的增加而增大。值得注意的是，由于改變飽和度使得無(wú)量綱頻率a0不以角頻率ω為唯一變量，所以此時(shí)荷載頻率應(yīng)該采用角頻率ω。圖9展示的是不同荷載頻率下樁頂水平動(dòng)阻抗隨飽和度的變化曲線，其中計(jì)算角頻率ω分別為10，20，30和40 Hz。如圖9所示，當(dāng)土體飽和度較低時(shí)，剛度因子隨飽和度變化的幅值很小，這是因?yàn)榇藭r(shí)孔隙水參與樁土耦合作用的程度不高。然而，當(dāng)飽和度大于0.9時(shí)（此時(shí)處于基本飽和狀態(tài)），非飽和土中由孔隙水承擔(dān)的應(yīng)力增大，使得剛度因子隨飽和度的增加而迅速增大，從而顯著提高了樁體抵抗橫向變形的能力。此外，飽和度較低時(shí)，激振頻率的改變會(huì)顯著影響剛度因子；完全飽和狀態(tài)時(shí)則受激振頻率的影響相對(duì)小很多，這是由于高頻率下飽和土中孔隙水壓力的消散較為困難。

6 結(jié) 論

本文采用Timoshenko梁模型模擬樁體考慮剪切變形的影響，基于三維連續(xù)介質(zhì)建立了組合荷載下非飽和土?部分埋入樁的耦合計(jì)算模型，求得了樁頂動(dòng)力復(fù)阻抗解析解，通過(guò)分析豎向荷載、埋入比以及飽和度對(duì)樁體動(dòng)力響應(yīng)的影響，得出了以下主要結(jié)論：

（1） 豎向荷載對(duì)樁頂水平動(dòng)剛度有著顯著影響，隨著豎向荷載的增大，剛度因子迅速減小，但阻尼因子變化相對(duì)較小。因此，在進(jìn)行樁基水平動(dòng)力設(shè)計(jì)時(shí)考慮豎向荷載十分有必要。

（2） 剛度因子和阻尼因子均隨著埋入比的增加而減小，部分埋入樁的樁頂水平動(dòng)阻抗小于完全埋入樁；同時(shí)，不同樁土參數(shù)使得樁身埋入比對(duì)樁頂振動(dòng)響應(yīng)的影響規(guī)律有細(xì)微差別，為保證上部結(jié)構(gòu)的安全性應(yīng)該嚴(yán)格控制埋入比的取值。

（3） 樁體水平位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力均隨著埋入比的增大而增大，并且幅值位置逐漸向樁身自由段移動(dòng)。

（4） 飽和度較低時(shí)剛度因子隨飽和度變化的幅值很小；而飽和度大于0.9時(shí)，剛度因子隨飽和度的增加而迅速增大，阻尼因子基本保持不變。

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Horizontal vibration of partially embedded piles in unsaturated foundation

YANG Zi-jian 1 ?LIU Hao 1ZHANG Yun-peng 1QIU Min 3WU Wen-bing 1，2 ?

1. Faculty of Engineering， China University of Geosciences， Wuhan 430074， China；

2. Zhejiang Institute， China University of Geosciences， Hangzhou 311305， China；

3. CCCC Second Maritime Engineering Bureau Co. Ltd.， Wuhan 430040， China

Abstract In this paper， the horizontal vibration of partially embedded piles in unsaturated soil is mainly studied. In order to simulate the real service state of high bearing platform piles of bridge pile foundation， considering the combined action of horizontal harmonic load and vertical static load， the coupled vibration theoretical model of unsaturated soil and partially embedded piles is established by using Timoshenko beam model and three dimensional continuum model. The analytical solution of horizontal dynamic response of pile is obtained by the decomposition technique of potential technique and the transfer matrix method. The rationality of the solution is verified by comparing the proposed solution with the results of previous scholars. Based on the established theoretical model， the influence of vertical load， embedding ratio and saturation on the horizontal dynamic characteristics of partially embedded piles are discussed in detail. The results show that： the stiffness factor decreases rapidly with the increasement of vertical load， but the damping factor decreases slightly at the time； Both stiffness factor and damping factor decrease with the increase of embedding ratio； The horizontal displacement， rotation angle， bending moment and shear amplitude of the pile increase with the increasement of the embedding ratio， and the amplitude position moves upward gradually； When the saturation is greater than 0.9， the stiffness factor increases rapidly with the increase of saturation， and the damping factor basically remains unchanged.

Keywords unsaturated soil; partially embedded pile; horizontal vibration; dynamic impedance; Timoshenko beam model