參數(shù)優(yōu)化VMD的滾動(dòng)軸承故障診斷方法

李可 牛園園 宿磊 顧杰斐 盧立新

摘要 由于滾動(dòng)軸承早期故障信號(hào)特征微弱，變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition，VMD）的性能易受模態(tài)數(shù)和懲罰因子設(shè)置的影響，提出了一種自適應(yīng)優(yōu)化VMD參數(shù)的方法?；谥行念l率判斷本征模態(tài)函數(shù)（Band Limited Intrinsic Mode Functions，BIMF）是否混疊的思想提出中心頻率混疊商算法，利用最小中心頻率差與次小中心頻率差的比值確定模態(tài)數(shù)。利用模糊熵原理，提出求和模糊熵算法優(yōu)化懲罰因子。利用相關(guān)系數(shù)篩選模態(tài)分量，重構(gòu)信號(hào)提取故障信息。通過(guò)對(duì)強(qiáng)噪聲下外圈故障信號(hào)、內(nèi)圈故障信號(hào)的分析，表明該方法能自適應(yīng)確定模態(tài)數(shù)和懲罰因子，抑制模態(tài)混疊，能夠從強(qiáng)噪聲下有效地提取出故障信號(hào)特征，實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)軸承故障診斷。

關(guān)鍵詞 故障診斷; 滾動(dòng)軸承; 變分模態(tài)分解; 模糊熵; 相關(guān)系數(shù)

引 言

滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵零件，通常在惡劣的環(huán)境下工作，極易發(fā)生故障。但由于其工作環(huán)境和自身機(jī)理的原因，采集到的振動(dòng)信號(hào)信噪比低，使得故障特征提取十分困難。針對(duì)滾動(dòng)軸承故障診斷，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了諸多研究，早期利用短時(shí)傅里葉變換處理振動(dòng)信號(hào)，但效果容易受所選窗函數(shù)的影響［1］；相比短時(shí)傅里葉變換，小波變換具有更好的時(shí)頻窗口特性，但時(shí)域與頻域分辨率的精度相互影響，想要選取合適的分辨率十分困難［2］；Huang等［3］提出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）算法，此方法適合處理非平穩(wěn)信號(hào)，因此廣泛應(yīng)用在設(shè)備診斷領(lǐng)域，但其存在模態(tài)混疊、欠包絡(luò)、過(guò)包絡(luò)、邊界效應(yīng)等問(wèn)題；在EMD的基礎(chǔ)上，局部均值分解（Local Mean Decomposition，LMD）和局部特征尺度分解（Local Characteristic?scale Decomposition，LCD）相繼被提出，能夠抑制模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)［4?5］，但結(jié)果容易受到環(huán)境噪聲的影響；Dragomiretskiy等［6］在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的基礎(chǔ)上提出了一種可變尺度的信號(hào)處理方法VMD，拋棄了循環(huán)遞歸篩選的處理方式，通過(guò)在變分框架范圍內(nèi)求解最優(yōu)變分模型，獲得模態(tài)分量，該方法不同于傳統(tǒng)遞歸算法，具有良好的魯棒性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論支撐；萬(wàn)書亭等［7］利用VMD分析斷路器動(dòng)作性能，有效地提取了斷路器時(shí)間參數(shù)。由于VMD算法受參數(shù)設(shè)置的影響，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了針對(duì)性的優(yōu)化策略，Chen等［8］利用相位校正信號(hào)平均法（Phase?Rectified Signal Averaging，PRSA）優(yōu)化模態(tài)數(shù)K；劉尚坤等［9］以互信息為判據(jù)改進(jìn)了VMD的迭代停止條件，提出了一種自適應(yīng)確定模態(tài)數(shù)K的方法；基于相關(guān)峭度［10］對(duì)周期性沖擊較為敏感的特點(diǎn)，鄭義等［11］提出了相關(guān)峭度為適應(yīng)度函數(shù)的蝗蟲優(yōu)化算法，能夠自適應(yīng)選定VMD參數(shù)；Huang等［12］通過(guò)對(duì)中心頻率帶寬的預(yù)估，利用預(yù)估值對(duì)懲罰因子加權(quán)，以加權(quán)數(shù)為指標(biāo)確定懲罰因子，一定程度上實(shí)現(xiàn)了懲罰因子的優(yōu)化。VMD算法結(jié)果的優(yōu)劣依賴模態(tài)數(shù)、懲罰因子、初始中心頻率、保真系數(shù)和判斷精度，其中模態(tài)數(shù)K和懲罰因子α對(duì)結(jié)果影響較大。K過(guò)大會(huì)引起過(guò)分解，即模態(tài)丟失；K過(guò)小則會(huì)導(dǎo)致欠分解，即模態(tài)混疊。懲罰因子設(shè)置不當(dāng)同樣會(huì)導(dǎo)致模態(tài)分量的混疊和丟失，無(wú)法提取到重要特征。

目前針對(duì)模態(tài)數(shù)K的選擇，常用的優(yōu)化方式是通過(guò)對(duì)中心頻率的觀察，判斷其是否穩(wěn)定從而確定最優(yōu)K值［13］，人為判斷使得算法不具備自適應(yīng)性，影響分解效果。對(duì)于懲罰因子的優(yōu)化，通常使用的粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法［14］容易陷入局部最優(yōu)解，無(wú)法適應(yīng)在線實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的需求。針對(duì)以上問(wèn)題，本文提出中心頻率混疊商法與求和模糊熵算法優(yōu)化VMD參數(shù)，利用中心頻率混疊商法選擇出最優(yōu)模態(tài)數(shù)K，再由求和模糊熵算法選擇出最優(yōu)懲罰因子。最后利用相關(guān)系數(shù)指標(biāo)篩選模態(tài)分量重構(gòu)信號(hào)，確定滾動(dòng)軸承的故障類型。相比于經(jīng)驗(yàn)確定VMD參數(shù)K和α，該方法具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撝?，避免了人為調(diào)參的不確定性。

1 基本原理

1.1 VMD算法原理

VMD作為一種非遞歸算法［15］，是在EMD的內(nèi)稟尺度分量的概念上定義了一系列調(diào)頻調(diào)幅信號(hào)，即本征模態(tài)函數(shù)，第k個(gè)本征模態(tài)函數(shù)uk（t）如下：

式中 uk（t）滿足∑k=1Kuk=f（t），其中，f（t）為原信號(hào)；Ak（t）為瞬時(shí)幅值；φk（t）為瞬時(shí)相位。瞬時(shí)頻率ωk（t）=φ'k（t）且φ'k（t）≥0，Ak（t）≥0。

VMD實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造和求解變分問(wèn)題：1） 利用Hilbert變換對(duì)uk（t）解析，獲得對(duì)應(yīng)的單邊頻譜；2） 通過(guò)指數(shù)混合調(diào)制，將每個(gè)模態(tài)函數(shù)的頻譜調(diào)制到響應(yīng)基頻帶；3） 利用H高斯平滑解調(diào)信號(hào)，得到uk（t）的估計(jì)帶寬，受約束的變分模型為：

為了得到上述變分模型的最優(yōu)解，引入懲罰因子α和Lagrange乘子λ構(gòu)造增廣Lagrange函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為無(wú)約束變分問(wèn)題，Lagrange表達(dá)式如下：

2 VMD參數(shù)優(yōu)化

2.1 優(yōu)化模態(tài)數(shù)K

由VMD算法特性可知，模態(tài)分量中心頻率是從低到高按規(guī)律分布的，當(dāng)分解不徹底時(shí)模態(tài)函數(shù)的中心頻率數(shù)值接近?；谥行念l率確定模態(tài)是否混疊的思想，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)混疊的判斷。

基于此，提出中心頻率混疊商算法確定模態(tài)數(shù)K。在預(yù)分解后對(duì)各模態(tài)函數(shù)中心頻率兩兩做差，并選擇出最小差和次小差{|ωi?ωj||i≠j;i，j∈{1，2，…，k}}，將兩者比值定義為“中心頻率混疊商”Pk：

利用Pk衡量中心頻率是否接近，Pk較小時(shí)說(shuō)明中心頻率數(shù)值接近?！爸行念l率混疊商”的閾值Pth取5%～20%，由模態(tài)分量的中心頻率分布特性及滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)特點(diǎn)可知，閾值在此范圍內(nèi)能夠滿足分解需求。

中心頻率混疊商算法可以循環(huán)求解得到最優(yōu)模態(tài)數(shù)K，自適應(yīng)判斷分解尺度。流程如圖1所示，具體步驟如下：

（1） 初始化模態(tài)數(shù)K，VMD預(yù)分解；

（2） 判斷Pk是否低于閾值Pth；

（3） 若低于閾值，過(guò)分解，令K=K-1，求解VMD，循環(huán)計(jì)算直至Pk>Pth，返回此時(shí)的K值；

（4） 若高于閾值，模態(tài)混疊即欠分解，令K=K+1，VMD分解直至Pk

初始K值設(shè)置為2，通過(guò)步驟（4），直至選定最終模態(tài)數(shù)。若初始值設(shè)定較大，則通過(guò)步驟（3）迭代計(jì)算。K的初始值不影響最終模態(tài)數(shù)的選定，對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響也十分有限。

2.2 優(yōu)化懲罰因子α

模糊熵利用模糊思想代替單位階躍函數(shù)，能夠達(dá)到類似于“軟閾值”度量的效果［17?18］，更能適應(yīng)處理復(fù)雜時(shí)間序列的需要。關(guān)于模糊熵參數(shù)的選擇，文獻(xiàn)［19］給出了建議。

基于模糊熵算法提出求和模糊熵優(yōu)化懲罰因子α。對(duì)分解的K個(gè)模態(tài)分量求總模糊熵，構(gòu)建求和模糊熵（Summation of Fuzzy Entropy，SFE）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)。利用SFE衡量懲罰因子設(shè)置是否得當(dāng)，總熵值越大，混亂程度越高，分解效果越差，反之則越好。SFE作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，避免了經(jīng)驗(yàn)確定參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響，流程如圖2所示。具體步驟如下：

（1） 設(shè)置懲罰因子最大值αmax、最小值αmin和步長(zhǎng)因子L，并按中心頻率混疊商算法確定的模態(tài)數(shù)設(shè)置VMD參數(shù)；

（3） VMD分解并計(jì)算分量的求和模糊熵值SPE；

（4） 判斷當(dāng)α小于αmax時(shí)，令α=α+L，更新α；

（5） 當(dāng)α大于αmax時(shí)，循環(huán)結(jié)束。求和模糊熵熵值SPE的最小值對(duì)應(yīng)的α為最優(yōu)值；

計(jì)算求和模糊熵時(shí)，懲罰因子最小值對(duì)分解效果的影響可以忽略，步長(zhǎng)只影響尋優(yōu)精度和算法計(jì)算時(shí)間，懲罰因子最大值只影響計(jì)算時(shí)間。通常將最小值和步長(zhǎng)設(shè)置為分解數(shù)據(jù)量的百分之一，將最大值設(shè)置為4～5倍數(shù)據(jù)量時(shí)即可實(shí)現(xiàn)對(duì)最優(yōu)懲罰因子的覆蓋。由此得到模態(tài)數(shù)和懲罰因子，并對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行VMD分解。

分解信號(hào)與原信號(hào)的相關(guān)性主要體現(xiàn)在故障成分的占比，因此利用模態(tài)分量和原信號(hào)的相關(guān)系數(shù)選擇模態(tài)分量并重構(gòu)信號(hào)。為了保證獲得較好的重構(gòu)效果，文獻(xiàn)［20］給出了相關(guān)系數(shù)數(shù)值選取方法。

2.3 仿真分析

設(shè)計(jì)一組仿真信號(hào)y（t），驗(yàn)證上述方法的有效性。仿真信號(hào)y=4π×（x1+x2+x3）+x4由正余弦信號(hào)疊加高斯白噪聲而成，信號(hào)y（t）的時(shí)域波形如圖3所示。

對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行分析，利用中心頻率混疊商算法迭代求解優(yōu)化模態(tài)數(shù)K。結(jié)果如表1所示，K=4時(shí)低于閾值，選定K為3。求和模糊熵算法結(jié)果如圖4所示，SFE最小值為5.967，對(duì)應(yīng)的懲罰因子為260。從分解后的分量圖5可以看出，各分解分量與原信號(hào)y（t）中包含的信號(hào)一致，端點(diǎn)處有略微波動(dòng)，但沒(méi)有對(duì)整體波形產(chǎn)生影響。仿真實(shí)驗(yàn)表明參數(shù)優(yōu)化的VMD算法在分解模擬信號(hào)時(shí)具有良好的適應(yīng)性。

3 實(shí)驗(yàn)分析

本文搭建轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖6所示。實(shí)驗(yàn)用的滾動(dòng)軸承外徑為52 mm，內(nèi)徑為25 mm，寬為15 mm，有13個(gè)滾動(dòng)體。采用線切割的方式分別在內(nèi)外圈加工出0.05 mm×0.3 mm（深度×寬度）的凹痕來(lái)模擬實(shí)際軸承內(nèi)圈與外圈故障狀態(tài)，如圖7所示。利用PCB MA352A60型加速度傳感器分別采集垂直方向上內(nèi)圈故障、外圈故障的軸承振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為50 kHz。通過(guò)計(jì)算求得外圈故障頻率fo和內(nèi)圈故障頻率fi分別為90.2 Hz和55.1 Hz。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)分別采集到正常狀態(tài)、外圈故障、內(nèi)圈故障狀態(tài)下的振動(dòng)信號(hào)，分別對(duì)外圈故障信號(hào)和內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行分析。

3.1 外圈故障

原始信號(hào)包絡(luò)如圖8（a）所示，為了驗(yàn)證參數(shù)優(yōu)化VMD算法的有效性，使用多種模態(tài)分解方法對(duì)外圈故障信號(hào)進(jìn)行處理。利用EMD，LCD和LMD方法分解重構(gòu)信號(hào)，重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)分別如圖8（b），（c）和（d）所示。

從圖8（b）中可以看出，EMD分解重構(gòu)的包絡(luò)譜fo及其2倍頻均不明顯，且在0～100 HZ存在較大干擾；如圖8（c）中所示，外圈特征頻率fo及其2倍頻、4倍頻成分被提取出，但146.2 Hz處存在高峰值的諧波干擾，且4倍頻以后的頻率不明顯；從圖8（d）中可以看到，特征頻率fo及其2倍頻、4倍頻被提取出，但低頻處諧波、噪聲干擾較大，故障信息提取不足。

模態(tài)數(shù)K和懲罰因子α按經(jīng)驗(yàn)設(shè)置［6］。令K=4，α=2210，重構(gòu)并做包絡(luò)譜如圖9（a）所示，外圈故障頻率的2倍頻和4倍頻出現(xiàn)峰值，但峰值不高；同樣令K=8，α=10000，重構(gòu)包絡(luò)譜如圖9（b）所示，諧波頻率和白噪聲干擾較大，在強(qiáng)噪聲條件下很容易使得故障特征頻率淹沒(méi)在噪聲中，難以提取到故障信息。

使用本文提出的參數(shù)優(yōu)化VMD算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，由中心頻率混疊商算法得到不同K值下的Pk數(shù)值如表2所示，當(dāng)K=9高于閾值，因此確定K=8。

保持K不變計(jì)算SFE，結(jié)果如圖10所示。從圖中可以看出，最小值對(duì)應(yīng)的α為3700。將優(yōu)化后的K和α作為VMD的參數(shù)，得到8個(gè)BIMF分量，其與原信號(hào)相關(guān)系數(shù)如表3所示。選擇相關(guān)性系數(shù)較大的BIMF6，BIMF7和BIMF8分量進(jìn)行重構(gòu)并做包絡(luò)譜，總耗時(shí)284 s。從圖11（b）中可以明顯看到，提取到了外圈故障特征頻率fo及其2倍頻、3倍頻、4倍頻、5倍頻和6倍頻成分。圖11（a）中使用的粒子群優(yōu)化參數(shù)的方法耗時(shí)1120 s，相比于粒子群算法，該算法提取出了更多倍頻信息，提高了計(jì)算效率，重構(gòu)信號(hào)的干擾分量更少，效果改善十分明顯。

3.2 內(nèi)圈故障

針對(duì)內(nèi)圈故障信號(hào)，原始信號(hào)包絡(luò)如圖12（a）所示。利用EMD，LCD和LMD算法分解重構(gòu)信號(hào)，重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜分別如圖12（b），（c）和（d）所示。從圖12（b）～（c）中可以看出，EMD和LCD分解重構(gòu)的包絡(luò)譜幾乎找不到故障特征頻率；從圖12（d）中可以看出，僅提取到內(nèi)圈故障特征頻率fi，噪聲信息較多。EMD，LCD和LMD方法在處理內(nèi)圈故障效果并不顯著。

令VMD參數(shù)K=4，α=3000，分解重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜如圖13（a）所示。內(nèi)圈故障頻率fi和軸承轉(zhuǎn)頻fr較為明顯，其2倍頻310.5 Hz處也有峰值，但其余各倍頻均不明顯，故障信息提取不足，諧波干擾較大。同樣令K=6，α=15000，包絡(luò)譜如圖13（b）所示，從圖中可以看出效果改善并不明顯，此參數(shù)下效果同樣不佳。

使用參數(shù)優(yōu)化VMD方法，由中心頻率混疊商算法迭代求解得到不同K值下Pk如表4所示，設(shè)置K為4。

保持K不變，循環(huán)求解其SFE，結(jié)果如圖14所示。從圖中可得，最小SFE對(duì)應(yīng)的α為1700。經(jīng)過(guò)VMD分解為4個(gè)BIMF，相關(guān)系數(shù)如表5所示。選擇相關(guān)系數(shù)較大的BIMF1重構(gòu)信號(hào)，算法總耗時(shí)308 s。圖15（a）中的粒子群算法結(jié)果陷入了局部最優(yōu)，計(jì)算時(shí)間為1316 s。從圖15（b）中可以看出，內(nèi)圈故障特征頻率fi及其2倍頻、3倍頻、4倍頻及6倍頻特征頻率都十分明顯。故障特征頻率及其倍頻成分被提取出，主頻幅值明顯，諧波頻率被抑制，可以判斷發(fā)生了內(nèi)圈故障。通過(guò)對(duì)比可以看出，本文所提方法效果改善十分明顯。

4 結(jié) 論

由于強(qiáng)噪聲下滾動(dòng)軸承早期故障信號(hào)微弱，VMD在抑制邊界效應(yīng)、抑制模態(tài)混疊等方面具有優(yōu)勢(shì)。模態(tài)數(shù)K和懲罰因子α的優(yōu)化成為使用VMD處理故障信號(hào)的關(guān)鍵。本文提出了基于中心頻率混疊商算法和求和模糊熵算法優(yōu)化模態(tài)數(shù)和懲罰因子的方法。應(yīng)用到實(shí)際軸承診斷領(lǐng)域，能夠取得不錯(cuò)效果，可得如下結(jié)論：

（1）利用中心頻率混疊商算法確定模態(tài)數(shù)，能自適應(yīng)地確定VMD分解尺度，避免了模態(tài)混疊和模態(tài)丟失；

（2）利用求和模糊熵算法選擇最優(yōu)懲罰因子值能提高尋優(yōu)效率，避免設(shè)置參數(shù)的主觀性，同時(shí)能夠提升VMD算法的效果。

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Rolling bearing fault diagnosis method based on parameter optimized VMD

LI Ke ?NIU Yuan-yuanSU Lei ?GU Jie-feiLU Li-xin

Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology， School of Mechanical Engineering， Jiangnan University， Wuxi 214122， China

Abstract The early fault signal characteristics of the rolling bearing are weak. The performance of traditional variational mode decomposition （VMD） depends on the parameters， which include mode number and penalty coefficient. To solve this problem， an adaptive method to determine parameters of VMD was proposed. The minimum center frequency quotient algorithm was proposed based on the idea of the center frequency to judge whether the bend limited intrinsic mode function （BIMF） is overlapped or not， and the mode number was determined by the ratio of the minimum frequency and the sub small frequency. By using the fuzzy entropy principle， the sum fuzzy entropy （SFE） was proposed to optimize the penalty coefficient. The correlation coefficient was used to select the BIMFs. The method can adaptively determine the mode number and penalty factor， suppress the mode aliasing phenomenon. it can extract the fault signal features from the strong noise to judge the bearing state.

Keywords fault diagnosis; rolling bearing; VMD; fuzzy entropy; correlation coefficient