魯棒性觀測矩陣優(yōu)化設(shè)計(jì)及其在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用

林慧斌 陳偉良

摘要 在機(jī)械設(shè)備故障診斷系統(tǒng)中應(yīng)用壓縮感知（CS）可以有效緩解故障診斷系統(tǒng)數(shù)據(jù)的傳輸和存儲(chǔ)壓力。將觀測矩陣的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法引入機(jī)械設(shè)備故障診斷系統(tǒng)中。結(jié)合機(jī)械信號(hào)信噪比（SNR）較低的特點(diǎn)，在分析不同觀測矩陣優(yōu)化框架抗噪性能的基礎(chǔ)上，得出適用于機(jī)械信號(hào)的魯棒性觀測矩陣優(yōu)化框架?；谠搩?yōu)化框架，推導(dǎo)出一種比現(xiàn)有求解方法計(jì)算復(fù)雜度更低的解析解，提高了優(yōu)化觀測矩陣的求解速度。數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法得到的優(yōu)化觀測矩陣具有良好的魯棒性和更高的計(jì)算效率，相比現(xiàn)有的優(yōu)化觀測矩陣和常用的隨機(jī)矩陣，所提方法可以在更低的信噪比和壓縮比下有效地重構(gòu)機(jī)械故障信號(hào)。

關(guān)鍵詞 故障診斷; 軸承; 壓縮感知; 觀測矩陣優(yōu)化設(shè)計(jì); 魯棒性

引 言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械的振動(dòng)信號(hào)蘊(yùn)含著豐富的設(shè)備運(yùn)行信息，對關(guān)鍵部件的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行在線監(jiān)測可防患未然，避免災(zāi)難性事故發(fā)生。傳統(tǒng)方法基于香農(nóng)采樣定理對機(jī)械設(shè)備振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行采樣，但實(shí)時(shí)更新的運(yùn)行狀態(tài)數(shù)據(jù)會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)量呈幾何級(jí)數(shù)增長，這給數(shù)據(jù)傳輸和存儲(chǔ)帶來很大的壓力，不利于對機(jī)械部件的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測和診斷。近年來出現(xiàn)的壓縮感知理論［1?4］基于信號(hào)的稀疏先驗(yàn)知識(shí)，可以在不丟失有用信息的情況下從遠(yuǎn)低于Nyquist采樣率的采樣信號(hào)中重構(gòu)原始信號(hào)，為有效緩解信號(hào)的遠(yuǎn)程傳輸與儲(chǔ)存負(fù)擔(dān)提供了新的理論。

目前已有一些學(xué)者對壓縮感知在機(jī)械設(shè)備故障診斷中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)［5］建立葉端定時(shí)測量的壓縮感知模型，并采用多重信號(hào)分類算法進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)葉片振動(dòng)的在線測量；文獻(xiàn)［6］提出采用獨(dú)立成分分析對壓縮后的信號(hào)進(jìn)行處理，并基于統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性對信號(hào)進(jìn)行分離和轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)多源故障信號(hào)的特征提?。晃墨I(xiàn)［7］研究了壓縮感知方法在多級(jí)風(fēng)扇周向聲模態(tài)識(shí)別和幅值重構(gòu)中的應(yīng)用，并且探討了傳聲器數(shù)量與周向布局對感知效果的影響；文獻(xiàn)［8］提出了多重壓縮匹配追蹤方法，成功提取了齒輪箱噪聲信號(hào)中的故障脈沖分量。

雖然學(xué)者對壓縮感知在機(jī)械故障診斷中的應(yīng)用做了許多的研究，但從現(xiàn)有的文獻(xiàn)［5?8］中可以發(fā)現(xiàn)，目前的研究內(nèi)容都集中在稀疏字典和重構(gòu)算法方面，而壓縮過程中使用的幾乎都是高斯隨機(jī)矩陣、伯努利矩陣等非優(yōu)化觀測矩陣，但實(shí)際上通過對觀測矩陣進(jìn)行優(yōu)化能使得壓縮感知系統(tǒng)工作在更低的采樣率下，或是在相同的采樣率下達(dá)到更高的重構(gòu)精度，這對于機(jī)械設(shè)備的實(shí)時(shí)監(jiān)測和故障診斷具有重大意義。在觀測矩陣的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，已有一些研究成果，Elad［9］提出了一種以減小平均互相關(guān)系數(shù)為目的的閾值收縮方法，優(yōu)化后的觀測矩陣在信號(hào)重構(gòu)精度上優(yōu)于隨機(jī)生成的測量矩陣。Duarte等［10］提出一種聯(lián)合設(shè)計(jì)并優(yōu)化非參數(shù)字典和觀測矩陣的框架，應(yīng)用于圖像的壓縮感知。Abolghasemi等［11?12］在Elad的算法的基礎(chǔ)上引入梯度下降算法和自適應(yīng)梯度下降算法，通過快速迭代求解出測量矩陣。Xu等［13］以等角緊框架（ETF）為目標(biāo)，通過基于QR因子分解的方法令等效字典逼近ETF。

此外，一般情況下，信號(hào)在字典上很難達(dá)到絕對稀疏，因此學(xué)者們開始在觀測矩陣的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中考慮其魯棒性。Li等［14］提出了一種同時(shí)考慮等效字典的互相干性和稀疏表示誤差的優(yōu)化框架，并用解析法求解測量矩陣。Hong等［15］提出了一種通過交替優(yōu)化對觀測矩陣進(jìn)行設(shè)計(jì)的算法，該方法在含有稀疏表示誤差的對象上表現(xiàn)出良好的魯棒性。Hong等［16］通過引入一個(gè)新的懲罰函數(shù)，在不需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)的情況下，通過梯度下降法有效地求解出魯棒性觀測矩陣。

從文獻(xiàn)檢索看，盡管觀測矩陣的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在圖像處理領(lǐng)域已有一定的應(yīng)用并取得了較好的效果，但目前尚無將優(yōu)化觀測矩陣用于機(jī)械故障診斷的先例。分析其原因，主要包括：（1）機(jī)械故障信號(hào)的信噪比通常較低，現(xiàn)有方法得到的優(yōu)化觀測矩陣在大噪聲干擾下的有效性還有待驗(yàn)證；（2）現(xiàn)有的觀測矩陣優(yōu)化過程的計(jì)算復(fù)雜度較高，進(jìn)一步制約其在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域的應(yīng)用。

1 理論基礎(chǔ)

壓縮感知的數(shù)學(xué)模型可以表示為：

2 魯棒性觀測矩陣優(yōu)化算法

2.1 適用于機(jī)械信號(hào)的優(yōu)化框架

通常情況下，機(jī)械設(shè)備故障診斷系統(tǒng)采集到的信號(hào)受到設(shè)備中多源噪聲的干擾，導(dǎo)致信號(hào)中的故障特征淹沒在大量的噪聲中，因此在機(jī)械設(shè)備故障診斷系統(tǒng)中應(yīng)用壓縮感知，其觀測矩陣必須對噪聲有較好的魯棒性。

如文獻(xiàn)［9］所述，通過收縮μav（A）獲得的觀測矩陣在信號(hào)重構(gòu)精度方面優(yōu)于傳統(tǒng)的高斯隨機(jī)矩陣。然而，這種方法假設(shè)原始信號(hào)在給定的字典上是絕對稀疏的，大多數(shù)機(jī)械信號(hào)都不滿足該條件。為了獲得適合機(jī)械信號(hào)的觀測矩陣，必須考慮觀測矩陣的魯棒性。因此，更好的選擇是式（11）或（12）這類具有魯棒性約束項(xiàng)的優(yōu)化框架。

基于式（11）的優(yōu)化框架的特點(diǎn)是使用了訓(xùn)練數(shù)據(jù)對觀測矩陣進(jìn)行優(yōu)化，當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)足夠多且具有較好的代表性時(shí)，該方法能夠達(dá)到最優(yōu)的效果，然而，在機(jī)械設(shè)備故障診斷的很多場景下，這樣的訓(xùn)練數(shù)據(jù)是難以獲得的。因此，基于式（12）的優(yōu)化框架更適用于機(jī)械設(shè)備故障診斷系統(tǒng)。

此外，目標(biāo)Gram矩陣Gt的選擇也會(huì)對觀測矩陣在應(yīng)用中的魯棒性產(chǎn)生很大的影響。文獻(xiàn)［14，16］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，相比基于Gt=Getf的優(yōu)化觀測矩陣，基于Gt=IL的優(yōu)化觀測矩陣在實(shí)際應(yīng)用中對噪聲的魯棒性更強(qiáng)，文獻(xiàn)［14］指出這是由于基于ETF的優(yōu)化框架得到的觀測矩陣有更多的元素接近μ（A）的理論最小值，更有利于保持稀疏表示空間中向量之間的距離，故基于ETF的觀測矩陣對噪聲更敏感；而基于Gt=IL的優(yōu)化框架由于其解集的自由度較大，因此有更多的余量用于進(jìn)行∥∥ΦE???∥∥2F或∥Φ∥2F的優(yōu)化。

綜上分析，得到適用于機(jī)械信號(hào)的觀測矩陣優(yōu)化框架為：

下文將通過仿真和實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證上述分析。

2.2 解析求解算法推導(dǎo)

式（15）可以通過梯度法進(jìn)行求解，但基于梯度的方法需要進(jìn)行多次迭代，計(jì)算耗時(shí)較多，且其求解結(jié)果與迭代條件和初始值的設(shè)置有關(guān)，不能保證得到全局最優(yōu)解。此外，也可以通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到式（15）的解析解，由于解析法只需要一次數(shù)值計(jì)算，因此通常情況下解析法具有更低的計(jì)算復(fù)雜度，且解析法能保證得到全局最優(yōu)解［14］。

如1.2節(jié)所述，文獻(xiàn)［14］中給出了一種在字典矩陣Ψ滿秩時(shí)式（11）的解析求解方法。若將式（11）中的E???替換為IN時(shí)，則該解析法同樣可以用于求解式（15）。然而，文獻(xiàn)［14］中所提的解析法在每次優(yōu)化過程中均需進(jìn)行一次SVD分解和一次特征值分解，而SVD分解的計(jì)算復(fù)雜度為O（N3），隨著應(yīng)用對象維度的增大，SVD分解的計(jì)算復(fù)雜度呈三次方增長，因此在信號(hào)維度增大到一定程度后，該解析方法耗時(shí)較多。為了提高求解高維度觀測矩陣的速度，本文在字典矩陣Ψ滿秩的情況下，基于式（15）的優(yōu)化框架推導(dǎo)出一種解析法，可以在求解過程中避免進(jìn)行SVD分解，從而提高了求解速度。

通過推導(dǎo)，得到了以下結(jié)果。

定理：? 在字典矩陣Ψ滿秩的情況下，令Q0=ΨΨT?λ2IN，其特征值分解為Q0=Uq0Λq0UTq0，Λq0=diag（λ1，λ2，…，λk，…，λN），λk≥λk+1，?k，找出滿足c≤M的最小正特征值λc的索引c，則式（15）的部分解集的表達(dá)式為：

式中 U2∈RM×M為任意正交矩陣；Λq0，c為保留Λq0的前c個(gè)對角元素，其余對角元素置零的對角陣。

證明：見附錄A。

觀察到選擇U2為任意正交矩陣，不會(huì)影響式（15）的結(jié)果大小，考慮選擇U2為單位矩陣以進(jìn)一步降低計(jì)算復(fù)雜度，此時(shí)只需證明式（16）中U2的不同取值在對式（2）的求解中，不會(huì)對其結(jié)果產(chǎn)生影響。下面的引理給出了推導(dǎo)結(jié)果。

引理：? 在字典矩陣Ψ相同的壓縮感知系統(tǒng)中，式（16）中由不同的U2產(chǎn)生的不同觀測矩陣，不影響式（2）的求解結(jié)果。

證明：見附錄B。

根據(jù)引理，可以取U2=IM，則有：

對比式（16）和（17），可知式（17）可以減少一次矩陣乘法，進(jìn)一步降低了計(jì)算復(fù)雜度。

所提優(yōu)化觀測矩陣求解算法的具體流程如表1所示。從表1中可以看出，所提算法的計(jì)算過程中只需做一次特征值分解，相比文獻(xiàn)［14］的解析法無需進(jìn)行SVD分解，降低了計(jì)算復(fù)雜度。

3 仿真信號(hào)分析

本節(jié)將通過對仿真信號(hào)的分析來驗(yàn)證第2節(jié)所提議的觀測矩陣優(yōu)化框架（式（15））和求解算法（表1）的有效性。本文使用的字典為文獻(xiàn)［8，21］中使用的移不變K?SVD字典，該字典通過學(xué)習(xí)故障信號(hào)中的沖擊模式，并進(jìn)行單位時(shí)移產(chǎn)生稀疏字典，可以很好地稀疏表示故障沖擊信號(hào)?，F(xiàn)有壓縮感知的重構(gòu)算法有許多［17，22?24］，本文的重構(gòu)算法選擇為經(jīng)典的正交匹配追蹤（OMP）算法［17］。使用理論沖擊信號(hào)與重構(gòu)信號(hào)之間的均方誤差（MSE）來評(píng)價(jià)重構(gòu)效果，MSE值越小表明重構(gòu)效果越好。

考慮旋轉(zhuǎn)機(jī)械發(fā)生局部故障時(shí)，前J階固有頻率被沖擊力激起，可建立如下數(shù)學(xué)模型來模擬故障沖擊響應(yīng)信號(hào)［25］：

式中 J表示被激起的固有頻率個(gè)數(shù)；I表示一段時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生沖擊響應(yīng)的個(gè)數(shù)；（fdj，ζj）表示第j階的固有頻率和相應(yīng)的阻尼；Aij表示第j階固有頻率下的第i個(gè)沖擊響應(yīng)的幅值；T是理論沖擊響應(yīng)出現(xiàn)的時(shí)間間隔；τi為沖擊響應(yīng)時(shí)刻的波動(dòng)值；n（t）表示噪聲信號(hào)。

仿真信號(hào)的主要參數(shù)設(shè)置如表2所示。剩余的參數(shù)設(shè)置如下：沖擊響應(yīng)的幅值A(chǔ)ij在（1， 3）之間隨機(jī)分布，滑移量設(shè)置為τi=T×rand（0，0.02）。n（t）服從均值為零的正態(tài)分布，其方差根據(jù)實(shí)驗(yàn)的信噪比需求進(jìn)行設(shè)置。在本節(jié)的實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置仿真信號(hào)數(shù)量P=4000，評(píng)價(jià)指標(biāo)MSE在P個(gè)信號(hào)上取平均值。仿真信號(hào)維度N設(shè)置為4000。圖1為無噪聲時(shí)的故障沖擊信號(hào)的示例。

3.1 不同優(yōu)化框架對比

為驗(yàn)證提議框架的有效性，本節(jié)對基于不同優(yōu)化框架得到的觀測矩陣在仿真信號(hào)上的性能進(jìn)行對比，對比框架包括當(dāng)前廣泛應(yīng)用于處理機(jī)械信號(hào)的高斯隨機(jī)矩陣、文獻(xiàn)［9］提出的基于式（5）的優(yōu)化框架（框架一）以及文獻(xiàn)［16］提出的基于式（12）取Gt=Getf的情形（框架二）。從2.1節(jié)的分析可知，本文所提議的適用于機(jī)械故障信號(hào)的優(yōu)化框架（式（15））對應(yīng)式（12）取Gt=IL的情形，區(qū)別之處在于文獻(xiàn)［16］中是使用共軛梯度法進(jìn)行求解，而本文則是推導(dǎo)其解析解。 理論上對于同一個(gè)優(yōu)化問題，通過梯度法和解析法得到最優(yōu)解是等價(jià)的，故在下文不同框架對比分析時(shí)，提議框架采用2.2節(jié)提出的解析法進(jìn)行求解，框架一、二則采用對應(yīng)文獻(xiàn)的求解方法。

式（12）中的正則項(xiàng)系數(shù)λ代表著觀測矩陣互相關(guān)性∥∥Gt?ΨTΦTΦΨ∥∥2F與魯棒性∥Φ∥2F之間的權(quán)衡。通常來說，當(dāng)噪聲增大時(shí)，需要增大正則項(xiàng)系數(shù)λ以抑制噪聲，λ的取值正比于噪聲水平。在實(shí)際使用中應(yīng)根據(jù)噪聲水平和應(yīng)用對象信號(hào)來確定λ的取值。在本文的實(shí)驗(yàn)中，將 λ取為固定值1。

用上述四種方法得到的觀測矩陣對上述仿真信號(hào)進(jìn)行觀測，并使用OMP算法進(jìn)行重構(gòu)，對比不同框架的重構(gòu)效果。

1） 不同噪聲水平下的性能對比

設(shè)置壓縮比δ為10%，即M=400，N=4000。設(shè)置信噪比范圍為[?8 dB，32 dB]，通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證不同算法在不同信噪比下的觀測性能，以重構(gòu)信號(hào)與理論沖擊信號(hào)的均方誤差MSE作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出：

a） 在信噪比小于20 dB的情況下，基于框架一、二的重構(gòu)誤差都遠(yuǎn)大于高斯隨機(jī)矩陣以及本文提議的框架，只有當(dāng)信噪比很高時(shí)這兩種框架對應(yīng)的重構(gòu)誤差才小于高斯隨機(jī)矩陣。顯然，這也是現(xiàn)有文獻(xiàn)［5?8］在對機(jī)械信號(hào)進(jìn)行壓縮感知時(shí)普遍采用高斯隨機(jī)矩陣的原因；

b） 在不同信噪比下的框架二的重構(gòu)誤差均大于提議框架，這與2.1節(jié)關(guān)于目標(biāo)Gram矩陣Gt=IL相比Gt=Getf對噪聲有更強(qiáng)魯棒性的分析相符，驗(yàn)證了目標(biāo)Gram矩陣的選擇對觀測矩陣的抗噪性有很大影響，該結(jié)果與文獻(xiàn)［14，16］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致；

c） 在四種對比框架中，本文所提議框架在不同信噪比處都具有最低的重構(gòu)誤差，且隨著信噪比的降低，優(yōu)勢愈加明顯。通常情況下傳感器采集到的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)均包含較大的噪聲，因此提議框架更有利于機(jī)械信號(hào)的壓縮測量。

2） 不同壓縮比下的性能對比

設(shè)置信噪比為-5 dB，N=4000。設(shè)置壓縮比范圍為[0.08，0.26]，同樣以重構(gòu)信號(hào)與無噪聲信號(hào)的均方誤差MSE作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，仿真結(jié)果如圖3所示。

由圖3可以看出，在如此低的信噪比下，在整個(gè)壓縮比變化范圍內(nèi)，框架一、二對應(yīng)的重構(gòu)信號(hào)的誤差都遠(yuǎn)高于高斯隨機(jī)矩陣的重構(gòu)誤差，而提議框架在不同壓縮比下的重構(gòu)誤差均小于高斯隨機(jī)矩陣，且即便是在8%的壓縮比下，提議框架的重構(gòu)結(jié)果都優(yōu)于采用高斯隨機(jī)矩陣在26%的壓縮比下的重構(gòu)效果。這進(jìn)一步說明了提議框架在處理低信噪比信號(hào)時(shí)具有較大優(yōu)勢。

3） 重構(gòu)信號(hào)對比

圖4給出了信噪比為-5 dB，壓縮比δ為10%時(shí)，基于不同觀測矩陣的重構(gòu)得到的故障沖擊信號(hào)。圖4中的紅色虛線表示原信號(hào)理論沖擊的位置。

從圖4中可以看出，當(dāng)信噪比為-5 dB，壓縮比δ為10%時(shí)：

a） 基于框架一、二得到的觀測矩陣對應(yīng)的重構(gòu)的信號(hào)與理論信號(hào)差異較大，表明這兩種矩陣均無法有效觀測故障信號(hào)；

b） 使用高斯隨機(jī)矩陣得到的重構(gòu)信號(hào)僅有少數(shù)沖擊處于正確的位置上，總體上不具備周期性，在該工況下無法用于故障診斷；

c） 基于提議框架的觀測矩陣壓縮重構(gòu)得到的沖擊信號(hào)具有明顯的周期性，且絕大部分故障沖擊均在理論位置有效重構(gòu)，這說明機(jī)械信號(hào)經(jīng)過該觀測矩陣的壓縮重構(gòu)后可以有效進(jìn)行故障診斷。

3.2 不同求解算法的運(yùn)算耗時(shí)對比

如2.2節(jié)所述，本文提議的框架除了可以用本文所提解析法求解外，還可以通過文獻(xiàn)［16］中采用的共軛梯度法以及文獻(xiàn)［14］采用的解析法進(jìn)行求解。為說明本文所提方法在計(jì)算效率上的優(yōu)越性，設(shè)置壓縮比δ為10%，即M=400，N=4000，采用不同算法對式（15）進(jìn)行求解，得到優(yōu)化觀測矩陣的運(yùn)算時(shí)間。在MATLAB版本為R2018a，CPU為Intel（R） Core（TM） i5?4460以及運(yùn)行內(nèi)存為16 GB的條件下，記錄三種算法的運(yùn)算耗時(shí)，結(jié)果如表3所示。

從表3中可知，雖然在合適的初始化和迭代次數(shù)足夠多（本文中迭代次數(shù)設(shè)置為50）的情況下，基于梯度的算法能夠達(dá)到接近解析解的結(jié)果，但耗時(shí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于解析法。在兩種解析法中，本文所提方法的計(jì)算耗時(shí)不到文獻(xiàn)［14］方法的1/3，這主要是因?yàn)槲墨I(xiàn)［14］的解析法在求解過程需進(jìn)行特征值分解和SVD分解，而本文方法只需進(jìn)行特征值分解。由于SVD分解的計(jì)算復(fù)雜度隨著矩陣維度的增長呈三次方增長，因此當(dāng)處理信號(hào)維度較長時(shí)，本文的解析法的計(jì)算優(yōu)勢將非常明顯。

4 實(shí)驗(yàn)信號(hào)分析

在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域應(yīng)用壓縮感知的前提是壓縮重構(gòu)后的信號(hào)能夠保留原信號(hào)中的故障信息，本節(jié)將通過對機(jī)械故障設(shè)備的傳感器采集到的信號(hào)進(jìn)行壓縮感知來驗(yàn)證所提魯棒性觀測矩陣的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在故障診斷中的有效性。

4.1 軸承外圈故障

實(shí)驗(yàn)在圖5所示的滾動(dòng)軸承臺(tái)上進(jìn)行。在軸承N205M的外圈上以線切割方式產(chǎn)生故障（寬度為0.5 mm，深度為1 mm）。滾動(dòng)軸承的具體參數(shù)如下：節(jié)徑為38 mm，滾動(dòng)體直徑為6.5 mm，接觸角θ=0°，滾子數(shù)為13。振動(dòng)信號(hào)從軸承座上采集，采樣頻率為100 kHz。當(dāng)軸轉(zhuǎn)速為800 r/min時(shí)，故障特征頻率為ffault=fo=71.84 Hz。截取時(shí)長為1 s的測量加速度的時(shí)域信號(hào)，如圖6所示。

設(shè)置壓縮率δ為15%，使用不同觀測矩陣進(jìn)行觀測，對應(yīng)的重構(gòu)信號(hào)（左）及其包絡(luò)譜（右）如圖7所示。從圖7中可以看出，在壓縮比δ為15%時(shí)，使用基于框架一的觀測矩陣重構(gòu)得到的信號(hào)其包絡(luò)譜上無明顯峰值，無法用于故障診斷；框架二的重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜上能觀察到前2階故障頻率，但存在一個(gè)明顯的干擾成分（fic），可能會(huì)造成對設(shè)備的誤診；使用提議框架得到的觀測矩陣對信號(hào)進(jìn)行觀測，重構(gòu)信號(hào)存在明顯有規(guī)律沖擊，其包絡(luò)譜中可以明顯分辨出前6階故障頻率，較之采用高斯隨機(jī)矩陣的重構(gòu)信號(hào)，提議框架對應(yīng)的重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜故障特征幅值更大，階次更多，更有利于故障診斷。

從圖8左側(cè)的時(shí)域信號(hào)中可以看出，既便是在8%的壓縮比下，使用提議框架依舊可以較好地重構(gòu)故障沖擊特征，重構(gòu)信號(hào)沖擊規(guī)律明顯，其包絡(luò)譜上能清晰的觀察到前6階故障頻率。相比之下，使用高斯隨機(jī)矩陣觀測其重構(gòu)信號(hào)無明顯規(guī)律，其包絡(luò)譜中只出現(xiàn)第一階的故障頻率，且附近有很多干擾成分，其峰值不突出，事實(shí)上已經(jīng)無法用于故障診斷。以上結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了提議框架在機(jī)械設(shè)備故障診斷領(lǐng)域的有效性。

表4給出了使用不同求解算法的運(yùn)算耗時(shí)，從表中可以看出本文提出的解析法方法在計(jì)算效率上的優(yōu)勢。

4.2 齒輪斷齒故障

為了進(jìn)一步評(píng)估所提方法的有效性，在一個(gè)五檔輸出軸齒輪上有斷齒故障的汽車變速箱上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中加速度傳感器被安裝在輸出軸的軸承座上，如圖9所示。實(shí)驗(yàn)中信號(hào)采樣頻率為24000 Hz，變速箱運(yùn)行參數(shù)如表5所示。輸入軸轉(zhuǎn)速為1000 r/min，對應(yīng)的齒輪故障頻率ffault=fg=21.618 Hz。截取時(shí)長為1 s的測量信號(hào)如圖10所示。

設(shè)置壓縮比δ為20%，使用不同觀測矩陣進(jìn)行觀測，對應(yīng)的重構(gòu)信號(hào)及其包絡(luò)譜如圖11所示。

從圖11中可以看出，在壓縮比δ為20%時(shí)，基于框架一的觀測矩陣重構(gòu)得到的信號(hào)及其包絡(luò)譜均不包含故障特征，無法用于故障診斷；基于框架二的重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜上雖然能觀察到第1階故障頻率，但周圍存在較多干擾成分，容易造成對設(shè)備的誤診；使用高斯隨機(jī)矩陣對信號(hào)進(jìn)行觀測，其重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜中雖然噪聲較大，但仍能觀察到前4階故障頻率；基于提議框架的重構(gòu)信號(hào)則在時(shí)域重構(gòu)出更多等間隔分布的沖擊，其包絡(luò)譜中可以明顯分辨出前4階故障頻率。

進(jìn)一步降低壓縮比δ至10%，使用高斯隨機(jī)矩陣和提議框架構(gòu)造的觀測矩陣進(jìn)行觀測，對應(yīng)的重構(gòu)信號(hào)及其包絡(luò)譜如圖12所示。

從圖12中可見，當(dāng)壓縮比δ從20%降至10%時(shí)，本文提議框架的性能并沒有明顯變化，重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜依舊能清晰地看到前4階故障頻率，可以對設(shè)備進(jìn)行正確的故障診斷。然而，使用高斯隨機(jī)矩陣對信號(hào)進(jìn)行觀測，其重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域變得更加雜亂，其包絡(luò)譜中只能觀察到第一階的故障頻率。該例進(jìn)一步說明本文提議框架在機(jī)械故障診斷中的優(yōu)勢。表4給出了不同求解算法的運(yùn)算耗時(shí)，從表中可以看出本文方法的計(jì)算耗時(shí)低于其他兩個(gè)求解算法。

5 結(jié) 論

（1） 不考慮魯棒性的觀測矩陣優(yōu)化框架和基于ETF的優(yōu)化框架對低信噪比信號(hào)的壓縮感知效果差，不適用于機(jī)械信號(hào)。

（2） 相比于機(jī)械信號(hào)中常用的高斯隨機(jī)觀測矩陣，采用提議框架得到的優(yōu)化觀測矩陣能夠處理信噪比更低的信號(hào)，且能在更低壓縮比下獲得更高的信號(hào)重構(gòu)精度，適用于機(jī)械故障診斷。

（3） 本文推導(dǎo)的優(yōu)化觀測矩陣求解算法較文獻(xiàn)［14，16］的方法有效降低了計(jì)算復(fù)雜度，大大減小了求解觀測矩陣的耗時(shí)。

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Optimal design of robust sensing matrix and its application in mechanical fault diagnosis

LIN Hui-bin ?CHEN Wei-liang

School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510640， China

Abstract The application of compressed sensing （CS） in mechanical equipment fault diagnosis system can effectively alleviate the pressure of data transmission and storage in fault diagnosis system. The optimal design method of sensing matrix is introduced into mechanical fault diagnosis system for the first time. Considering the characteristics of low signal-to-noise ratio （SNR） of mechanical signals， a robust sensing matrix optimization framework suitable for mechanical signals is proposed based on the analysis of the robustness of different optimization frameworks of sensing matrix. A new closed-form algorithm with lower computational complexity is derived for the proposed optimization framework. Numerical simulations and experiments are carried out and the results show that the optimal sensing matrix obtained by the proposed method is robust and computationally efficient. Compared with the existing optimal sensing matrix and the commonly used random matrix， the proposed method can effectively reconstruct the mechanical fault signals at lower signal-to-noise ratio and compression ratio.

Keywords fault diagnosis; bearing; compressed sensing; optimal design of sensing matrix; robustness