聯(lián)系數(shù)四則運算的證明與聯(lián)系數(shù)群

張玲 張亞飛 張立舒

【摘要】聯(lián)系數(shù)是集對分析中的一個重要概念，是研究不確定性的一種新的數(shù)學(xué)方法.首先，本文介紹了聯(lián)系度和聯(lián)系數(shù)的基本概念及四則運算性質(zhì)，給出了運算性質(zhì)的詳細證明過程；其次，在聯(lián)系數(shù)的四則運算的基礎(chǔ)上，結(jié)合群論的知識給出了聯(lián)系數(shù)群的概念，它是聯(lián)系數(shù)理論的推廣與延伸.研究結(jié)果豐富了聯(lián)系數(shù)理論，有重要的理論意義.

【關(guān)鍵詞】聯(lián)系度；聯(lián)系數(shù)；四則運算；聯(lián)系數(shù)群

在信息、系統(tǒng)和控制領(lǐng)域中，不確定性一直困擾著人們的工作.趙克勤[1]于1989年提出的集對分析，從兩個集合同（同一）異（差異不確定）反（對立）這個角度研究不確定性，對不確定性加以客觀承認(rèn)、系統(tǒng)刻畫、具體分析的態(tài)度，從而使研究結(jié)果更加貼近實際[2].而聯(lián)系度是集對分析方法的基石，聯(lián)系數(shù)是由聯(lián)系度的概念引申而來，聯(lián)系數(shù)用數(shù)學(xué)的語言給出了一個基于集對分析的重要理論——不確定性系統(tǒng)理論，聯(lián)系數(shù)是描述“不確定量”的一種有效的數(shù)學(xué)工具.因此，研究聯(lián)系數(shù)理論變得十分重要.

群是具有一種代數(shù)運算的代數(shù)系，它是近世代數(shù)中一個比較古老且內(nèi)容豐富的重要分支，在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、計算機等自然科學(xué)的許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.在自動機理論中用到半群與群，在信息安全與編碼理論中也用到群.本文在聯(lián)系數(shù)理論的基礎(chǔ)上，給出了聯(lián)系數(shù)群的概念，本文的研究結(jié)果豐富了聯(lián)系數(shù)理論，有重要的理論和實際意義.

一、聯(lián)系度、聯(lián)系數(shù)原理

（一）聯(lián)系度的概念

定義1 給定2個集合A和B，并設(shè)這2個集合組成集對H=（A，B），在某個具體問題背景（設(shè)為W）下，我們對集對H的特性展開分析，共得到N個特性，其中，有S個為集對H中的兩個集合A和B所共同具有；在P個特性上集合A和B相對立，在其余的F=N-S-P個特性上既不相互對立，又不為這2個集合所共同具有，則稱比值：

SN為這2個集合在問題W下的同一度，簡稱同一度；

FN為這2個集合在問題W下的差異度，簡稱差異度；

PN為這2個集合在問題W下的對立度，簡稱對立度；

二、聯(lián)系數(shù)的概念及其運算

聯(lián)系數(shù)是由聯(lián)系度引出來的，它把“數(shù)”與“值”聯(lián)系起來，用于研究宏觀系統(tǒng)間的確定性與不確定性關(guān)系.

（一）聯(lián)系數(shù)定義

設(shè)μ=a+bi+cj，則稱μ為聯(lián)系數(shù).其中，a，c為任意實數(shù)且符號相同，b為非負(fù)實數(shù)，b，c分別稱為不確定數(shù)和對立數(shù)，i是一個不確定量，i∈[-1，1]且需根據(jù)問題的具體情況不確定取值，有時i也可僅作為一個不確定量的標(biāo)記使用，j為對立標(biāo)記，在定量計算時，可根據(jù)實際應(yīng)用背景規(guī)定j取-1或+1之一.

聯(lián)系數(shù)雖由聯(lián)系度的概念引申而來，但與聯(lián)系度又有區(qū)別，這就是聯(lián)系數(shù)中a，b，c不再局限在[0，1]這個區(qū)間，而可以是任何正數(shù).即對于聯(lián)系數(shù)a+bi+cj，有約束條件a+b+c=k，k≥1.引進聯(lián)系數(shù)的目的是為了應(yīng)用上的方便，但其理論意義則在于拓廣了數(shù)的概念.廣泛應(yīng)用于實踐中的聯(lián)系數(shù)形式是a+bi.如果有約束條件a+b≥k，a>0，b>0，可以根據(jù)需要，把a+bi型聯(lián)系數(shù)簡寫成a，而不寫出bi這一項，并稱a是聯(lián)系數(shù)a+bi中的可確定項，或可確定數(shù)或定數(shù)；bi是聯(lián)系數(shù)a+bi中的不確定項或不確定數(shù).

由上分析，可初步看出聯(lián)系數(shù)的意義：

（1）聯(lián)系數(shù)把可確定數(shù)與其所在范圍聯(lián)系起來.聯(lián)系數(shù)與問題背景的范圍有關(guān).例如，0.6這個數(shù)，可以與1聯(lián)系起來，則可以表示為0.6+0.4i，不同的問題涉及的范圍不一樣，聯(lián)系數(shù)的表達式也會不同.

（2）聯(lián)系數(shù)把數(shù)與值聯(lián)系起來.同一個可確定數(shù)與不同的范圍聯(lián)系在一起時，事實上會使這個確定數(shù)具有不同的值.也就是說，平時說的數(shù)值既可以理解為同一個意義，也可以是不同意義的組合，即數(shù)與值的組合.

（3）聯(lián)系數(shù)把宏觀層次上的確定量和微觀層次上的不確定量聯(lián)系起來.例如，i=-0.5時，0.6+0.4i=0.4.等式右邊的0.4既是聯(lián)系數(shù)0.6的表達式0.6+0.4i當(dāng)i=-0.5時所得結(jié)果，也是一個新的聯(lián)系數(shù)0.4+0.6i的確定項的表達.因此，對于一個聯(lián)系數(shù)的不確定項來說，從這個“不確定部分”中“拿走”一部分，不一定會使這個不確定項“變小”，相反，有時會“變大”.這說明對聯(lián)系數(shù)中的不確定項進行處理時，其結(jié)果存在分叉現(xiàn)象，即：既可能減少原有的不確定性，也有可能增加原有的不確定性，有可能既沒有增加又沒有減少原有的不確定性.當(dāng)i=-1時，聯(lián)系數(shù)a+bi就轉(zhuǎn)化為a+cj形式.

聯(lián)系數(shù)的意義不僅在于把一個具體的數(shù)與這個數(shù)所在的范圍聯(lián)系起來，更在于把一個具體的數(shù)與它所在范圍內(nèi)的確定性與不確定性聯(lián)系起來，使得一定范圍內(nèi)的確定性與不確定性的相互聯(lián)系、滲透、制約與轉(zhuǎn)化在數(shù)量上得到客觀的反映，從而為研究復(fù)雜系統(tǒng)中眾多的不確定性問題提供了新的數(shù)學(xué)工具.

由聯(lián)系數(shù)的這些運算性質(zhì)我們可以按照近世代數(shù)里群的定義，給出聯(lián)系數(shù)群的概念，下面詳細介紹聯(lián)系數(shù)群的相關(guān)內(nèi)容.

四、結(jié) 論

集對分析是一種新的不確定系統(tǒng)理論.其理論特點是把確定性與不確定性作為一個系統(tǒng)來進行處理.聯(lián)系數(shù)是刻畫不確定性的一個數(shù)學(xué)工具.該工具以簡潔的數(shù)學(xué)形式反映出集對分析對不確定性采取的“客觀承認(rèn)、系統(tǒng)描述、定量刻畫、具體分析”的方法論特點，其處理不確定性問題的優(yōu)越性越來越受到人們的重視.本文則進一步指出了聯(lián)系數(shù)的運算規(guī)則并首次給出聯(lián)系數(shù)群的概念.本文的研究豐富了聯(lián)系數(shù)理論，給后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)，有實際的應(yīng)用價值.

【參考文獻】

[1]趙克勤.集對分析及其初步應(yīng)用[M].杭州：浙江科學(xué)技術(shù)出版社，2000.

[2]信息處理集對分析[M].北京：清華大學(xué)出版社，2015.

[3]黃德才，趙克勤，陸耀忠，等.a+bi+cj型聯(lián)系數(shù)的四則運算及其應(yīng)用[J].機電工程，2000（3）：81-84.

[4]趙克勤.集對分析對不確定性的描述和處理[J].信息與控制（3）：162-166.