數(shù)學(xué)方法在遺傳規(guī)律解題中的應(yīng)用

呂聰康 朱 峰

（湖北省武漢鋼鐵集團(tuán)公司第三子弟中學(xué) 湖北武漢 430080）

1 分解法

分解是數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為普遍的方法。 位于非同源染色體上的非等位基因的分離或組合是互不干擾的。因此，解決較為復(fù)雜的關(guān)于自由組合定律的習(xí)題時(shí)，可借鑒分解法。

1.1 概率的分解 將題干中所給的概率拆分成2 個(gè)或多個(gè)概率，再運(yùn)用分離定律單獨(dú)分析，快速解決此類問題。

例1，在香豌豆中，當(dāng)C、R 2 個(gè)顯性基因都存在時(shí)，花才呈紅色。 一株紅花香豌豆與基因型為ccRr 的植株雜交，子代中有3/8 開紅花。則該紅花香豌豆的基因型為________。

解析：子代中紅花占3/8，3/8 可分解成1/2×3/4，由于另一親本基因型為ccRr，依據(jù)1/2×3/4 中的1/2 可知親本為Cc×cc，依據(jù)1/2×3/4 中的3/4 可知親本為Rr×Rr，綜合考慮，親本紅花香豌豆的基因型是CcRr。

答案：CcRr。

1.2 比例的分解 根據(jù)子代表型比例拆分為分離定律的分離比，確定每一對(duì)相對(duì)性狀的親本基因型，再組合，快速解決此類問題。 例如：

①9∶3∶3∶1→（3∶1）×（3∶1）→AaBb×AaBb；

②1 ∶1 ∶1 ∶1 →（1 ∶1）×（1 ∶1）→AaBb×aabb 或Aabb×aaBb；

③3 ∶3 ∶1 ∶1 →（3 ∶1）×（1 ∶1）或（1 ∶1）×（3 ∶1）→AaBb×Aabb 或AaBb×aaBb；

④3∶1→（3∶1）×1 或1×（3∶1）→AaBB×AaBB 等或AABb×AABb 等。

例2，一種哺乳動(dòng)物的直毛（B）對(duì)卷毛（b）為顯性，黑色（C）對(duì)白色（c）為顯性（這2 對(duì)基因分別位于不同對(duì)的同源染色體上）。 基因型為BbCc的個(gè)體與“個(gè)體X”交配，子代表型有直毛黑色、卷毛黑色、直毛白色和卷毛白色，并且它們的比例為3∶3∶1∶1，“個(gè)體X”的基因型為（ ）。

A.BbCc B.Bbcc C.bbCc D.bbcc

解析：將題干已知的子代的表型及比例分解為（1 直∶1 卷）×（3 黑∶1 白）。 由直毛∶卷毛＝1∶1，推出親代基因型為Bb×bb；由黑色∶白色＝3∶1，推出親代基因型為Cc×Cc； 由已知親本的基因型為BbCc 可知“個(gè)體X”的基因型是bbCc。

答案：C。

2 合并同類項(xiàng)法

若后代組合方式有16 種，不管以怎樣的比例呈現(xiàn)，都符合基因的自由組合定律，并且親本都是雙雜合子自交。 先寫出正常的分離比9∶3∶3∶1，對(duì)照題中所給信息進(jìn)行歸類如下：若分離比為9∶7，則為9∶（3＋3＋1），即7 是后3 種合并的結(jié)果；若分離比為9∶6∶1，則為9∶（3＋3）∶1；若分離比為15∶1，則為（9＋3＋3）∶1。合并同類項(xiàng)法在巧推自由組合定律特殊比例時(shí)是一種好方法。

例3，在西葫蘆的皮色遺傳中，已知黃皮基因（Y）對(duì)綠皮基因（y）為顯性，但在另一白色顯性基因（W）存在時(shí)，基因Y 和y 都不能表達(dá)。 現(xiàn)有基因型為WwYy 的個(gè)體自交，其后代表型種類及比例是（ ）。

A.2 種，13∶3 B.3 種，12∶3∶1

C.3 種，10∶3∶3 D.4 種，9∶3∶3∶1

解析： 基因型為WwYy 的個(gè)體自交，子代有9W_Y_、3W_yy、3wwY_、1wwyy，再根據(jù)黃皮基因(Y)對(duì)綠皮基因(y)為顯性，但在另一白色顯性基因（W）存在時(shí)，基因Y 和y 都不能表達(dá)，合并白色的同類項(xiàng)9W_Y_ 和3W_yy 為12，故子代表型種類為3 種，其比例為白色∶黃色∶綠色=12∶3∶1。

答案：B。

3 通項(xiàng)公式法

先根據(jù)題設(shè)條件和遺傳學(xué)原理進(jìn)行簡單的推導(dǎo)，從中歸納出通項(xiàng)公式，然后依據(jù)通項(xiàng)公式解決問題。

3.1 雜合子(Aa)連續(xù)自交公式 雜合子Aa 連續(xù)自交，第n 代的比例情況如表1。

表1

3.2 含n 對(duì)等位基因（獨(dú)立遺傳并且完全顯性）的個(gè)體自交或測交公式 含n 對(duì)等位基因（獨(dú)立遺傳且完全顯性）的親本自交或測交，各種情況的通項(xiàng)公式如表2。

表2

例4，（2011年新課標(biāo)卷）某植物紅花和白花這對(duì)相對(duì)性狀同時(shí)受多對(duì)等位基因控制（例如A、a；B、b；C、c……）, 當(dāng)個(gè)體的基因型中每對(duì)等位基因都至少含有一個(gè)顯性基因時(shí)（即A_B_C_……）才開紅花，否則開白花。 現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4 個(gè)純合白花品系，相互之間進(jìn)行雜交，雜交組合、后代表型及其比例如下圖：

根據(jù)雜交結(jié)果回答問題：

1）這種植物花色的遺傳符合哪些遺傳定律？

2）本實(shí)驗(yàn)中，植物的花色受幾對(duì)等位基因的

控制，為什么？

解析： 從乙×丙和甲×丁2 個(gè)雜交組合可以看出，全顯個(gè)體即紅花個(gè)體所占比例為81/（81+175）=81/256=（3/4）4，故該植物的花色受4 對(duì)等位基因的控制。

答案：1）基因的自由組合定律和基因的分離定律（或基因的自由組合定律）。2）4 對(duì)。①本實(shí)驗(yàn)中乙×丙和甲×丁2 個(gè)雜交組合中，F(xiàn)2代中紅色個(gè)體占全部個(gè)體的比例為81/（81+175）=81/256=（3/4）4，依據(jù)n 對(duì)等位基因自由組合且完全顯性時(shí)，F(xiàn)2代中顯性個(gè)體的比例是（3/4）n，可判斷這2 對(duì)雜交組合涉及4 對(duì)等位基因； ②綜合雜交組合的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可進(jìn)一步判斷乙×丙和甲×丁2 個(gè)雜交組合中的4 對(duì)等位基因相同。

4 組合公式法

若一對(duì)同源染色體的某一基因座位上有n 個(gè)基因組成復(fù)等位基因，則純合子的種類有Cn1＝n種，雜合子的種類有Cn2＝n（n-1）/2 種，基因型的種類共有Cn1+Cn2＝n（n+1）/2 種。

5 二項(xiàng)式定理法

一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有（a ＋b）n＝C0nanb0＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnna0bn，此公式稱為二項(xiàng)式定理。

例5，（2014年海南卷） 基因型為AaBbDdEe－GgHhKk的個(gè)體自交，假定這7 對(duì)等位基因自由組合，則下列有關(guān)其子代的敘述，正確的是（ ）。

A.1 對(duì)等位基因雜合、6 對(duì)等位基因純合的個(gè)體出現(xiàn)的概率為5/64

B.3 對(duì)等位基因雜合、4 對(duì)等位基因純合的個(gè)體出現(xiàn)的概率為35/128

C.5 對(duì)等位基因雜合、2 對(duì)等位基因純合的個(gè)體出現(xiàn)的概率為67/256

D.7 對(duì)等位基因純合的個(gè)體出現(xiàn)的概率與7對(duì)等位基因雜合的個(gè)體出現(xiàn)的概率不同

解析：根據(jù)二項(xiàng)式定理，1 對(duì)等位基因雜合、6對(duì)等位基因純合的個(gè)體出現(xiàn)的概率為C17（1/2）1（1/2）6＝7/128，A 錯(cuò)誤。 5 對(duì)等位基因雜合、2 對(duì)等位基 因 純 合 的 個(gè) 體 出現(xiàn)的概率 為C27（1/2）2（1/2）5＝21/128，C 錯(cuò)誤。 7 對(duì)等位基因純合的個(gè)體與7 對(duì)等位基因雜合的個(gè)體出現(xiàn)的概率相等，均為1/128，D 錯(cuò)誤。

答案：B。

6 單位1 法

單位1 不同于自然數(shù)中的1，整體就是單位1，各部分之和等于單位1。 單位1 法在遺傳規(guī)律解題中的應(yīng)用主要有2 點(diǎn)，一是不同的情境下單位1 的含義不同，例如例6“F2”和“F2中的高莖”這2 個(gè)單位1 中包含的個(gè)體就不同； 二是巧用單位1 減去少數(shù)個(gè)體的概率求對(duì)立面的大多數(shù)個(gè)體的概率，例如例7 求子代中表型或基因型不同于親本的比例。

例6，純合高莖豌豆與矮莖豌豆雜交得到F1，F(xiàn)1自 交 產(chǎn) 生F2。 1）F2自 交 產(chǎn) 生 的F3中 高 莖 占_______；2）F2中的高莖豌豆自交產(chǎn)生 的F3中高莖占__________。

解析:1）F2記著單位1，其中包括1/4DD、1/2Dd和1/4dd，自交產(chǎn)生的F3中高莖占1/4+1/2×3/4＝5/8；2）F2中的高莖豌豆記著單位1,其中包括1/3DD和2/3Dd，自交產(chǎn)生的F3中高莖占1/3+2/3×3/4＝5/6。

答案:1）5/8。 2）5/6。

例7，親本為AaBbCc×AabbCc（3 對(duì)等位基因自由組合），子代中表型不同于親本的比例為_____；子代中基因型不同于親本的比例為____。

解析： 表型和基因型不同于親本的個(gè)體都有多種，將每種計(jì)算出來一一相加太繁瑣，可以利用單位1 的含義用1 減去與親本相同的概率即為不同于親本的比例。 所以表型不同于親本的比例＝1－（A_B_C_＋A_bbC_）＝1－（3/4×1/2×3/4＋3/4×1/2×3/4）＝7/16；基因型不同于親本的比例＝1－（AaBbCc＋AabbCc）＝1－（1/2×1/2×1/2＋1/2×1/2×1/2）＝3/4 。

答案：7/16；3/4。

7 基本不等式法

例8，（2011年生物學(xué)聯(lián)賽試題）一個(gè)隨機(jī)交配的二倍體平衡群體中某一基因座（只有等位基因A 和a，其概率分別為P 和q）具有哪些基本特征（ ）。

A.顯性基因頻率等于隱性基因頻率

B.雜合子的最大概率為0.5

C.群體點(diǎn)位于2DR-H2＝0 的拋物線上

D.p2+2pq+q2＝1

解析：一個(gè)處于遺傳平衡的種群符合（p+q）2=p2+2pq+q2=1，但是p 不一定等于q，故A 錯(cuò)誤，D 正確；雜合子Aa 的基因型頻率為2pq，2pq2（p+q）2/4＝0.5，B 正確。 AA 基因型頻率為D；Aa基因型頻率為H；aa 基因型頻率為R［1］。 由哈迪－溫伯格定律可知D=p2，H=2pq，R=q2，容易得到H2=4DR，即群體點(diǎn)位于4DR-H2＝0 的拋物線上，C錯(cuò)誤。

答案：BD。

8 完全平方公式法

8.1 求基因頻率和基因型頻率 哈迪-溫伯格定律也稱遺傳平衡定律，可以用（p+q）2＝p2+2pq+q2＝1這個(gè)完全平方公式表示。 對(duì)于一個(gè)處于遺傳平衡的種群而言，只需要已知任何一個(gè)基因的基因頻率即可求出另外一個(gè)基因的基因頻率和3 種基因型的基因型頻率； 同理只需要已知某一種純合子的基因型頻率就可以求出2 個(gè)基因的基因頻率和另外2 種基因型的基因型頻率。

例9，（2014年山東卷）果蠅的灰體（E）對(duì)黑檀體（e）為顯性，基因位于常染色體上。 在沒有遷入遷出、突變和選擇等條件下，一個(gè)由純合果蠅組成的大種群個(gè)體間自由交配得到F1，F(xiàn)1中灰體果蠅8 400 只，黑檀體果蠅1 600 只。 F1中e 的基因頻率為____，Ee 的基因型頻率為____，親代群體中灰體果蠅的百分比為____。

解析： 在沒有遷入遷出、 突變和選擇等條件下，一個(gè)不是遺傳平衡的種群只需要自由交配一代即可以達(dá)到遺傳平衡，即F1為一個(gè)遺傳平衡的種群。 F1中黑檀體果蠅基因型（ee）所占比例為16%，故e 基因頻率為40%，E 基因頻率為60%，Ee 的基因型頻率為2×40%×60%=48%。 純合親代群體中灰體果蠅的百分比為60%。

答案：40%；48%；60%。

8.2 比較X 隱性遺傳病或X 顯性遺傳病在男性與女性中發(fā)病率的大小 運(yùn)用平衡定律的理論可以作下列預(yù)見：對(duì)于隱性伴性性狀而言，男性發(fā)病率∶女性發(fā)病率＝q∶q2。對(duì)于伴X 顯性基因而言，則有男性發(fā)病率∶女性發(fā)病率＝p∶（p2+2pq）＝1∶（1+q）［1］。所以X 隱性遺傳病中，男性發(fā)病率大于女性發(fā)病率，而X 顯性遺傳病中，女性發(fā)病率大于男性發(fā)病率。

例10，（2016年全國卷Ⅰ）理論上，下列關(guān)于人類單基因遺傳病的敘述，正確的是（ ）。

A.常染色體隱性遺傳病在男性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率

B.常染色體顯性遺傳病在女性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率

C.X 染色體顯性遺傳病在女性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率

D.X 染色體隱性遺傳病在男性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率

解析： 常染色體隱性遺傳病在男性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率的平方，A 錯(cuò)誤；常染色體顯性遺傳病和X 染色體顯性遺傳病在女性中的發(fā)病率都等于該病致病基因的基因頻率的平方與顯隱性基因頻率之積的2 倍的和，B、C錯(cuò)誤； X 染色體隱性遺傳病，其致病基因在男性中只位于X 染色體上，故在男性中的發(fā)病率等于該病致病基因的基因頻率，D 正確。

答案：D。

8.3 比較常染色體基因與伴性基因的遺傳平衡根據(jù)哈迪-溫伯格定律的完全平方公式可知，在一個(gè)群體中發(fā)生隨機(jī)交配時(shí)，位于常染色體上的等位基因在交配一代后就能達(dá)到基因型頻率的平衡。 伴X 染色體連鎖的等位基因的分析相對(duì)要復(fù)雜一些，因?yàn)樾坌灾粡哪赣H那里獲得X 染色體，母親的基因頻率決定下一代雄性中的基因頻率；雌性從雙親各獲得一條X 染色體，下一代雌性中的基因頻率等于親代雌、 雄群體基因頻率的平均值。 對(duì)X 連鎖的等位基因而言，若一個(gè)群體未達(dá)到平衡，雖然群體中的所有基因頻率是恒定的，但在每一代中雌、 雄群體中的基因頻率表現(xiàn)出交叉遞減，并且每一代減少一半的差異直到平衡，即需要經(jīng)過連續(xù)多代才能接近平衡，達(dá)到平衡的速度視初始雌、雄群體差異的程度而異，平衡時(shí)的基因頻率由初始雌、雄群體的基因頻率決定。

例11，（2015年生物學(xué)聯(lián)賽試題）果蠅的黃色體色是由一個(gè)性連鎖的隱性基因控制，野生型顏色由顯性的等位基因產(chǎn)生。 在一個(gè)Hardy-Weinberg 群體的樣本中包括1 021 只野生型雄蠅、997 只野生型雌蠅和3 只黃色雄蠅。 基因庫中黃色等位基因的頻率估計(jì)為（ ）。

A.1.98% B.1.67% C.2.04%

D.2.76% E.以上都不對(duì)

解析：因?yàn)樾坌灾粠в幸粋€(gè)拷貝的等位基因，通常無論它是顯性還是隱性的，它都可以表達(dá)，因此，在雄性中連鎖基因的頻率與基因型的頻率是一致的［2］。 所以，該果蠅基因庫中黃色等位基因的頻率等于雄蠅中黃色基因型的頻率，即為3/（1021+3）×100%＝0.29%。 故選E。

答案：E。