教材：人教版初中數(shù)學 八年級（上）課題：13.4最短路徑問題

唐希

一、教學內(nèi)容解析

最短路徑問題是生活中常見的實際問題，又是初中數(shù)學中的一種重要題型。因此，引導學生運用所學知識解決最短路徑問題，體現(xiàn)了數(shù)學學習與社會生活的密切聯(lián)系，強調(diào)了數(shù)學來源于生活，服務于生活的新課程理念。隨著新一輪基礎教育改革的推進，以數(shù)學課題學習為載體進行數(shù)學實踐活動教學便順理成章的成為培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和實踐能力的重要方式之一。

本課就以課題學習中的“最短路徑問題”，引導學生以“兩點之間線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，結合法國數(shù)學家笛卡爾的名言“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題”，借助軸對稱、平移等全等變換方法進行研究，讓學生親歷將實際問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋與應用，培養(yǎng)學生的轉(zhuǎn)化意識，使學生對數(shù)學理解的同時，獲得成功的體驗和克服困難的經(jīng)歷。

本節(jié)課主要內(nèi)容包括最短路徑問題中基本類型的建立，將軍飲馬問題的轉(zhuǎn)化，最值問題的遷移。

二、教學目標設置

會將實際問題中的地點、河（湖）岸等抽象為數(shù)學中的“點”“線”，把實際問題抽象為數(shù)學問題，體會實際生活和數(shù)學之間的密切聯(lián)系。

體驗利用軸對稱和平移全等變換的方法來解決最短路徑問題，通過觀察、操作、歸納等一系列過程，培養(yǎng)學生的實際動手能力，以此激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)學生探究科學的熱情。

理解把求最短路徑的實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學中的線段和最小問題，再利用軸對稱等線段變換將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”問題，進而把最短路徑的實際問題遷移到數(shù)學學習中的求解最值的題型中來。

三、重點與難點

重點：理解軸對稱把“將軍飲馬問題”轉(zhuǎn)化為最短路徑中的“基本類型”，實現(xiàn)等線段變換的實質(zhì)；

難點：把解決最短路徑問題的實際遷移到數(shù)學中的最值題型中。

四、教學問題診斷分析

從學生學習的情況來看，最短路徑問題，學生比較陌生，對題目的理解難度比較大。很多同學能理解找對稱點的目的是使“將軍飲馬問題”轉(zhuǎn)化為“基本類型”，但沒有理解找到對稱點后，實質(zhì)上也是把最短路徑問題轉(zhuǎn)化為對稱點和另一點之間的最短路徑問題，導致仍然有同學即使找到對稱點，也仍然不能順利的找到實現(xiàn)最短路徑的交點。對于最值問題的遷移，有少量同學仍然不能靈活運用最短路徑來解決，這是最短路徑問題應用到數(shù)學問題中的一個難點，對于初中生來說，理解是需要一些時間的。

五、教學策略分析

第一，創(chuàng)設問題情境，從名人名言出發(fā)，結合身邊的簡單實例，設計旅游景點為背景，把每一種類型的問題都設計在景點中，激發(fā)同學們的興趣；

第二， 學生適度模仿，找相似題型進行類比，自己動手方能熟知最短路徑的作圖方法；

第三，學生比較兩種最短路徑問題的區(qū)別；引導類比思考，讓學生將已學習過的知識與這一新知之間建立聯(lián)系；

第四，運用軸對稱的性質(zhì)及“兩點之間，線段最短”的公理，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的本質(zhì)轉(zhuǎn)移.

在本節(jié)課的教學中，主要以問題引領過程，通過教師引導、學生提問、師生交流、學生合作舉例的方式，從總體上認識新知識與原有知識的聯(lián)系，在過程中感受學習新知識、解決新問題的方法.

六、教學過程

1. 創(chuàng)設情境 引入課題

【引用名人名言】 數(shù)學家笛卡爾的名言：“一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題”。

設計我校簡單的平面地圖，如果從教學樓到圖書館，有幾條線路可走？最短的線路是哪一條？選擇的依據(jù)是“兩點之間，線段最短”。從而得出我們在解決實際問題時，很自然的運用了笛卡爾的名言啟發(fā)；由“線段最短”得出這節(jié)課的主題——最短路徑問題。

2.設計情景 得出基本類型

【情景1】 下圖是停車場和售票廳的相對位置，為了在旅游高峰期盡快到達售票廳排隊買票，你們會在人行小路的哪個位置橫過小路使得所走的路程最短？

[設計意圖] 設計旅游景點作為背景，激發(fā)同學們興趣和求知欲，要想快速到達售票廳，則需要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題. 然后繼續(xù)追問如何轉(zhuǎn)化，突出轉(zhuǎn)化過程中正確建立模型的重要性.

3. 設計情景 得出將軍飲馬問題

【情景2】 如圖，鴛鴦湖的河岸1 處的旅游船先前往河岸2 的渡口接游客，然后將游客送往小島上游覽，請問工作人員把渡口設定在河岸2的何處，使得其路徑最短，才能達到節(jié)約成本的目的。

[設計意圖] 把歷史上有名的將軍飲馬問題設計到旅游景點的娛樂項目里，激發(fā)同學們的學習興趣和求知欲。并且點出“這可不像基本類型那么簡單了哦！”引導學生把這種類型轉(zhuǎn)化為基本類型的思維方向，突出本節(jié)課的重點。

【師生互動】 回顧軸對稱的性質(zhì)，總結全等變換的方法除了軸對稱，還有平移和翻折，為后續(xù)“造橋選址問題”的解決做鋪墊.

【問題】 為什么我們通過這種方法找到的C點就一定是最短的呢？你能以理服人嗎？

[設計意圖] 引導學生要以理服人，并非憑空想象或機緣巧合得到的。凡事都得有個憑據(jù)才能說服他人。

4.設計情景 運用新知

5.知識遷移 最值題型

6.課堂小結 變式提升

七、教學設計說明

本節(jié)課是“最短路徑問題”的第一課時，除了要介紹本課學習內(nèi)容、目的和重要性以外，還得為下一節(jié)課“造橋選址問題”打基礎、埋伏筆. 課程設計要符合學生認知規(guī)律。

本堂課從實際問題到數(shù)學問題的建模思想，再到“基本類型”的得出，然后到“將軍飲馬問題”與“基本類型”的類比、轉(zhuǎn)化思想，各個環(huán)節(jié)都很關鍵，也很重要。 教師通過設置問題串的形式，激起學生層層遞進的求知欲。最終順理成章的把“最短路徑問題”與“最值問題”聯(lián)系起來，使同學們過渡的自然，掌握的游刃有余。

在課堂教學中，應充分引導學生進行討論、互相評判、探究等活動，不輕易打斷學生的思維和活動，提供學生充分展示思維的機會。