非等間距GM（1,1）模型原始模型的優(yōu)化

楊澤輝 崔文文

根據(jù)非等間距GM（1，1）模型基本理論，以原始序列的觀測(cè)值和模擬值的相對(duì)誤差平方和最小為條件，基于最小二乘法的計(jì)算基本原理，求出待定系數(shù)，然后構(gòu)建非等間距GM（1，1）模型，通過(guò)計(jì)算模擬精度有所提高。

灰色理論系統(tǒng)是中國(guó)學(xué)者鄧聚龍先生于1982年創(chuàng)立的一種關(guān)于預(yù)測(cè)和決策的一門(mén)學(xué)科，主要通過(guò)對(duì)“部分”已知信息的生成，提取有價(jià)值的信息，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行行為、演化規(guī)律的正確描述和有效監(jiān)控?；疑到y(tǒng)理論的研究對(duì)象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統(tǒng)，灰色系統(tǒng)理論自鄧聚龍教授創(chuàng)立以來(lái)，經(jīng)過(guò)二十多年的發(fā)展，現(xiàn)已基本建立起系統(tǒng)分析、評(píng)估、建模、預(yù)測(cè)、決策、控制優(yōu)化技術(shù)于一體的一門(mén)新興學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系，但是灰色系統(tǒng)模型的建立大多基于等間距序列，而實(shí)際工作中所得到的原始數(shù)據(jù)往往是非等間距的序列。文獻(xiàn)闡述了非等間距序列的GM（1，1）模型的建模機(jī)理，并在具體的領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，但是建模精度還比較低，應(yīng)用受到一定限制。本文研究了非等間距序列的建模機(jī)理，提出了一種以原始序列的模擬值和觀測(cè)值的相對(duì)誤差平方和最小為依據(jù)，利用最小二乘法的算法基本原理，計(jì)算出待定系數(shù)c，然后構(gòu)建非等間距GM（1，1）模型原始模型的優(yōu)化模型，實(shí)例的計(jì)算結(jié)果表明該方法具有較高的預(yù)測(cè)和模擬精度。

1 非等間距序列灰色模型的建立

定義設(shè)

序列，若間距

（1）

不為常數(shù)，則稱(chēng)為非等間距序列。為了綜合考慮序列的間距，在對(duì)原始序列進(jìn)行一次累加時(shí)，以序列的間距作為乘子，建立非等間距GM（1，1）模型。

定義：設(shè)為原始序列，是的一次累加序列當(dāng)且僅當(dāng)，并滿足.根據(jù)鄧聚龍?zhí)岢龅牡乳g距的一次累加的基理，文獻(xiàn)提出了非等間距的一次累加。

定理設(shè)為非負(fù)非等間距的光滑序列，，

為的一次累加生成序列，對(duì)建立

的白化微分方程為

（2）

它的灰色微分方程應(yīng)該為：

（3）

其中是在區(qū)間上的背景值，為和的均值，即.

設(shè)為參數(shù)列且

Y=????????，B=

則非等間距GM（1，1）模型的最小二乘法估計(jì)參數(shù)列滿

足.

2 非等間距GM（1，1）模型原始模型的優(yōu)化

文獻(xiàn)是運(yùn)用最小二乘法優(yōu)化非等間距GM（1，1）模型響應(yīng)函數(shù)，但不能保證原序列的觀測(cè)值與模擬值的相對(duì)誤差平方和為最小，造成模擬精度和預(yù)測(cè)精度不盡人意，本文保留待定系數(shù)，以原始序列的觀測(cè)值與模擬值的相對(duì)誤差平方和為依據(jù)，引入平均相對(duì)誤差平方和為指標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用最小二乘法優(yōu)化原始序列的模擬值和預(yù)測(cè)值，從而使模擬精度和預(yù)測(cè)精度都比較高。

設(shè)Y，B，， ?如定理1所述，，知白化微分方程為

由微分方程解的性質(zhì)知，可將白化微分方程的解設(shè)為

即

（4）

設(shè)為原始序列的觀測(cè)值和模擬值的相對(duì)誤差平方和

這是一個(gè)二次函數(shù)，必存在極小值，由二次連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)極小值定理可知，極小值點(diǎn)必， 設(shè)，只有當(dāng)時(shí)，，所以，于是，對(duì)于嚴(yán)格指數(shù)而言，此模型模擬沒(méi)有理論偏差，只有計(jì)算的誤差。

3 應(yīng)用實(shí)例

在灰色系統(tǒng)的研究中，由于信息不完全，不準(zhǔn)確，存在誤差較大也是在所難免的，但是怎樣進(jìn)行減小誤差，提高其精度，優(yōu)化其數(shù)據(jù)是這個(gè)學(xué)科主要的研究方向，在灰色系統(tǒng)的研究中，很多學(xué)者單獨(dú)的研究了灰色關(guān)聯(lián)度和灰色模型，而沒(méi)有將他們有機(jī)的結(jié)合起來(lái)，怎樣解決這個(gè)問(wèn)題一直是研究灰色系統(tǒng)理論的學(xué)者們面臨的一個(gè)難題，在這種情況下，本人查閱多種文獻(xiàn)對(duì)各個(gè)關(guān)聯(lián)度進(jìn)行了分析比較，最后選擇了適合于普通數(shù)據(jù)建模的接近性關(guān)聯(lián)度。接近性關(guān)聯(lián)度用于測(cè)度序列折線在空間中的接近程度，需要說(shuō)明的是接近關(guān)聯(lián)度僅適用于序列的意義、量綱完全相同的情形，當(dāng)序列的意義、量綱不同時(shí)，研究其接近關(guān)聯(lián)度沒(méi)有任何意義。對(duì)于長(zhǎng)度不同的序列，可采取刪去較長(zhǎng)序列之過(guò)剩數(shù)據(jù)，補(bǔ)齊較短序列之不足數(shù)據(jù)等措施使之化成長(zhǎng)度相同的序列，但這樣一般會(huì)影響接近關(guān)聯(lián)度的值。

PG福雷斯研究了許多材料的長(zhǎng)壽命對(duì)循環(huán)下溫度對(duì)疲勞強(qiáng)度的影響，這是一個(gè)非等間距序列，我們從所給試驗(yàn)曲線中采集到鈦合金疲勞強(qiáng)度隨溫度變化的數(shù)據(jù)（表1）。

4 結(jié)論

本文基于非等間距GM（1，1）模型研究的基礎(chǔ)上，通過(guò)用最小二乘法優(yōu)化原始數(shù)據(jù)的模擬序列模型，并通過(guò)實(shí)例進(jìn)行說(shuō)明提高了非等間距GM（1，1）模型的模擬精度和預(yù)測(cè)精度，進(jìn)一步拓寬了GM（1，1）模型的使用范圍，該模型對(duì)于非等間距序列的擬合和預(yù)測(cè)具有廣泛的使用價(jià)值。文獻(xiàn)由于理由不足，所以其數(shù)據(jù)缺乏說(shuō)服性。

（作者單位：黃河交通學(xué)院）