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    一道網(wǎng)絡(luò)研討問題的命題立意與解法探尋

    2018-05-14 13:46:29鄭冰心陳少毅
    科技風(fēng) 2018年23期
    關(guān)鍵詞:解法探究網(wǎng)絡(luò)教研

    鄭冰心 陳少毅

    摘 要:隨著信息化時(shí)代的到來,網(wǎng)絡(luò)教研成為傳統(tǒng)教研的延伸,引領(lǐng)著老師們專業(yè)的提升與成長,也孕育出許多新題型新方法?,F(xiàn)將最近我市在網(wǎng)絡(luò)研討中熱議的一道問題的命制及解法討論呈現(xiàn)給大家,以展示網(wǎng)絡(luò)教研的新活力。

    關(guān)鍵詞:網(wǎng)絡(luò)教研;命題立意;解法探究

    1 問題出處與命題立意

    1.1 問題呈現(xiàn)

    圖1如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,P為BC邊上一點(diǎn),連接AP,過點(diǎn)P作PQ⊥AP交AB于Q。求線段BQ的最大值。

    1.2 問題出處

    在我市開展的一次命題研討與培訓(xùn)活動(dòng)中,一位老師呈現(xiàn)了如下的命題:

    如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,點(diǎn)P是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連結(jié)AP,作PQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q。

    (1)求證:△ABP∽△PCQ;

    (2)設(shè)BP=x,CQ=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

    (3)若點(diǎn)E是AQ的中點(diǎn),連結(jié)DE,PE,求DE+PE的最小值。

    本題雖然脫胎于常見的正方形中的一線三等角問題,但其第三問又高于常規(guī)地對第(2)小題的直接或簡單運(yùn)用的問題,如:“求CQ的最大值”或“求△ADQ面積的最小值”,這樣的問題沒有太大的思維含量。而求“DE+PE的最小值”,需要學(xué)生具備較強(qiáng)的化歸轉(zhuǎn)化能力,能將問題轉(zhuǎn)化為求AQ的最小值,進(jìn)而求CQ的最大值,將幾何最值問題與函數(shù)關(guān)系式建立聯(lián)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;同時(shí)還要求學(xué)生能突破兩點(diǎn)之間線段最短的思維定勢。這樣的問題設(shè)置有一定的思維高度,具有較強(qiáng)的選拔功能。

    會(huì)后,筆者進(jìn)行了反思,本題的命制與解題的關(guān)鍵在于一線三等角所構(gòu)造的相似,因此試題背景不囿于正方形,也可以是矩形;再特殊一些,例如連接AC,或還可構(gòu)造出新的關(guān)系?;谝陨险J(rèn)識,于是在我市網(wǎng)絡(luò)教研群中拋出了上述命題。

    1.3 命題立意

    本題以直角三角形為背景,以直角關(guān)系為主線,構(gòu)造幾何最值的求解問題。由于是比較熟悉的圖形與構(gòu)造方式,便于解題者思路的打開與先前方法的遷移應(yīng)用;但試題有別于原題的圖形特征,需要在求解中添加適當(dāng)?shù)妮o助線,給解題帶來了一定困難,體現(xiàn)了試題變式改造中基于原題、適度創(chuàng)新的命制原則。本題所展現(xiàn)的進(jìn)易求難的命題方式,也正是很多中考壓軸題所體現(xiàn)的命制方向。

    由于只是一道供教師研討的網(wǎng)絡(luò)教研問題,試題只呈現(xiàn)了最終的問題,并沒有進(jìn)行適當(dāng)?shù)匿亯|與小題設(shè)置,為后續(xù)的變式改造創(chuàng)造了條件。由于本問題經(jīng)過搜索,尚未見諸網(wǎng)絡(luò),有利于老師們獨(dú)立思考,并開展網(wǎng)絡(luò)研討,也為他們今后利用該問題編制例題或試題提供了很好的素材。

    在本題的求解中,需要應(yīng)用先前解決正方形等圖形中“一線三等角”的經(jīng)驗(yàn),因此有助于教師關(guān)注對一類問題本質(zhì)的探尋,而非一味地沉迷于題海戰(zhàn)術(shù);同時(shí)引導(dǎo)教師在例習(xí)題的教學(xué)中重視對解題方法的提煉,而非解題過程的展示;本題命制中所體現(xiàn)的變式方式,可促進(jìn)老師們在變式教學(xué)中強(qiáng)化對問題結(jié)構(gòu)的認(rèn)識,讓學(xué)生在有限的解題教學(xué)中融會(huì)貫通,解一通百。

    2 關(guān)于問題求解的網(wǎng)絡(luò)研討

    2.1 基于先行解題經(jīng)驗(yàn)的解法探索

    如圖3,若將Rt△ABC補(bǔ)全為矩形,則會(huì)聯(lián)想運(yùn)用先前采用的相似方法求解問題,在網(wǎng)絡(luò)研討中,主要有以下兩種方法。

    以上兩種方法,均從原來矩形中“一線三等角”的解題經(jīng)驗(yàn)入手,由相似三角形構(gòu)造方程或函數(shù)模型,進(jìn)而得到問題的結(jié)論。然而,上述兩種解法最后的解決都依賴于高中的數(shù)學(xué)知識,解法1需要求解二次不等式,解法2則利用了均值不等式。顯然這些高中的知識與方法并非絕大多數(shù)初中學(xué)生所能掌握,若作為中考試題也不利于正確的教學(xué)導(dǎo)向。

    2.2 基于垂線段最短的解法展示

    從總的方向看,上述兩種方法都傾向于用代數(shù)方式解決問題,

    而且或多或少地運(yùn)用了高中知識。那么有無用初中所學(xué)就能完成的方法呢?部分老師給出如下解法。

    上述兩種解法,解題的關(guān)鍵都是利用點(diǎn)到直線的距離垂線段最短(或弦心距小于半徑),只是解法3利用直角∠APQ構(gòu)造了一個(gè)隱形圓,而解法4則是直接利用直角三角形的性質(zhì)。這兩種解法,都要求學(xué)生有較強(qiáng)的化歸轉(zhuǎn)化能力和代數(shù)表達(dá)與運(yùn)算能力。借助上面的隱形圓,有老師又給出了另一種解法。

    2.3 基于臨界思想的解法表達(dá)

    解法5:令點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),以AQ為直徑作⊙O,設(shè)⊙O的半徑為r,點(diǎn)O到BC的距離為d.隨著點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng),r在不斷增大,當(dāng)時(shí),⊙O與BC無交點(diǎn),即在BC上不存在點(diǎn)P,使得∠APQ=90°;當(dāng)時(shí),⊙O與BC有唯一的公共點(diǎn);此后,隨著r的增大,⊙O與BC有交點(diǎn),但BQ不斷變小。

    而當(dāng)時(shí),由相似可得,解得,此時(shí)BQ=2.5。

    綜上分析,線段BQ的最大值為2.5。

    此種借助臨界思想的解法,容易被學(xué)生所接受。但學(xué)生在思考時(shí)更多地是基于幾何直觀的合情推理,而不是也難于進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯表達(dá)。因此,教師要強(qiáng)化從合情推理到演繹推理過渡的教學(xué)。

    3 網(wǎng)絡(luò)研討的后續(xù)思考

    縱觀本次網(wǎng)絡(luò)研討,眾多老師能踴躍參與,得益于擁有一個(gè)寬松便捷的網(wǎng)絡(luò)平臺, 更主要的因素在于提供了一個(gè)可供研討的好習(xí)題。一個(gè)好的研討習(xí)題必須具有原創(chuàng)性、解法的多樣性和可拓展性。原創(chuàng)性是激發(fā)教師積極思考的內(nèi)在動(dòng)力,試想如果只是提供一道陳題,手機(jī)一搜便有答案,豈不太低估老師的智慧,浪費(fèi)大家的精力;解法的多樣性有助于不同思維習(xí)慣學(xué)生進(jìn)行解答,同時(shí)也避免了一條道走到黑的局面,也讓網(wǎng)絡(luò)研討持續(xù)進(jìn)行成為可能;可拓展性讓研討習(xí)題充滿活力,例如本道習(xí)題,老師們還可在原題的基礎(chǔ)上加以變式改造,或輔于前導(dǎo)性問題,降低解題的難度,或改變設(shè)問的角度,如求點(diǎn)Q的軌跡長,隱蔽問題結(jié)論。但不論何種改造,命題變式的關(guān)鍵要推陳出新,服務(wù)教學(xué)與考試,若對于課堂訓(xùn)練,則要側(cè)重典型引領(lǐng),關(guān)注解題思路的總結(jié)與提升;若對于考試命題,則要追求背景新穎,滲透數(shù)學(xué)思想方法的考查,體現(xiàn)對學(xué)生創(chuàng)新意識的考查。

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