基于穩(wěn)定補(bǔ)償狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井軌跡跟蹤控制

高俊山 張弛 程寧波 鄒偉

摘要關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)；狀態(tài)反饋；積分滑?？刂?；穩(wěn)定補(bǔ)償狀態(tài)觀(guān)測(cè)器；遺傳算法

DOI：10.15938/j.emc.2018.02.000

中圖分類(lèi)號(hào)文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1007-449X（2018）02-0000-00

收稿日期基金項(xiàng)目作者簡(jiǎn)介：

通信作者：程寧波Trajectory tracking control of rotary steerable systems based

on stability compensation observer

GAO Junshan1，ZHANG Chi1，2，CHENG Ningbo2，ZOU Wei2

（1.School of Automation， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080，China；

2.Institute of Automation，Chinese Academy of Sciences， Beijing100190，China）

Abstract：Rotary steerable system （RSS） is a new type of directional drilling that has been applied in drilling operations in recent years. RSS has a number of advantages including low cost， high rate of penetration， smooth borehole trajectory，horizontal well extension and so on. Considering theproblem of borehole trajectory tracking of RSS， this paperanalyses the asymptotic stability of thesystem model， and realizes a 2dimension borehole tracking controller based on state feedback. In order to solve the problem of the observer stability caused by lagging property， a state observer designmethod based on stability compensation is proposed.Overall thought of the control system design is to utilize integral sliding mode variable structure control based on exponential reaching lawto determine the stability compensation control input，which ensures asymptotic stability of the state observer. Furthermore， genetic algorithm is used to optimize the parameters of controller to improve the overall system performance. Simulation results on different predefined drilling trajectories are given to show the effectiveness of the proposed control system.

Keywords：rotary steerable system；state feedback； integral sliding mode control；stability compensation state observer； genetic algorithm

0引言

旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)（rotary steerable system，RSS）是20世紀(jì)80年代后期開(kāi)始發(fā)展起來(lái)的一項(xiàng)自動(dòng)化鉆探新技術(shù)[1]，該技術(shù)以旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向?yàn)閷?dǎo)向手段，可以有效引導(dǎo)鉆井軌跡準(zhǔn)確達(dá)到或穿越油氣儲(chǔ)集層。RSS由鉆桿、底部鉆具組合（bottom hole assembly，BHA）和地面監(jiān)控中心（ground monitoring center，GMC）組成，BHA主要包括PDC鉆頭、井下導(dǎo)向裝置、隨鉆測(cè)量（measurement with drilling，MWD）或隨鉆測(cè)井（logging with drilling，LWD）設(shè)備、井下穩(wěn)定平臺(tái)等。其中井下導(dǎo)向裝置和隨鉆測(cè)量設(shè)備是實(shí)現(xiàn)井眼軌跡控制的井下關(guān)鍵部分，在鉆井過(guò)程中起到井下地球物理參數(shù)測(cè)量、通信數(shù)據(jù)雙向傳輸、預(yù)設(shè)井眼軌跡跟蹤、防止井筒抖振以及保持鉆井過(guò)程穩(wěn)定等作用。在實(shí)際的導(dǎo)向鉆井作業(yè)中影響鉆井軌跡的因素很多，如地層巖性、鉆頭類(lèi)型、電機(jī)轉(zhuǎn)速、鉆壓以及井眼曲率等，同時(shí)由于井下工作環(huán)境中包含強(qiáng)烈的時(shí)變性、非線(xiàn)性以及其它未知擾動(dòng)因素，想要精確獲得井下導(dǎo)向鉆具的數(shù)學(xué)模型并預(yù)測(cè)其狀態(tài)非常困難，因此在實(shí)際計(jì)算中通常需要將一些對(duì)導(dǎo)向鉆進(jìn)過(guò)程影響較小的條件使用線(xiàn)性化等方法進(jìn)行處理，在建模符合井下實(shí)際狀況的同時(shí)盡量簡(jiǎn)化計(jì)算以便于控制算法的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)[2]。

為了確保RSS在鉆探過(guò)程中的井下穩(wěn)定性和軌跡精確度，研究人員進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模分析和機(jī)械平臺(tái)搭建，針對(duì)模型特點(diǎn)提出了多種控制算法。Duan等[3]提出了一種關(guān)于MRST旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)的模糊自適應(yīng)PI和可變阻尼控制方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)于系統(tǒng)非線(xiàn)性和時(shí)變性良好的自適應(yīng)性；Huo等[4]提出了一種關(guān)于井下穩(wěn)定平臺(tái)非線(xiàn)性摩擦力矩的積分滑模控制器和克服平臺(tái)盤(pán)閥不確定性干擾的自適應(yīng)估計(jì)器；Zhang等[5]提出了一種關(guān)于井下穩(wěn)定平臺(tái)上邊界非線(xiàn)性和不確定性的自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，改善了系統(tǒng)的控制性能和魯棒性；Abdulgalil[6]為提高非線(xiàn)性RSS的魯棒穩(wěn)定性，減弱BHA的井下振蕩問(wèn)題，提出了一種基于輸入狀態(tài)線(xiàn)性化和滑?？刂撇呗缘腜ID控制器；以上文獻(xiàn)的研究對(duì)象是BHA模型中穩(wěn)定平臺(tái)的姿態(tài)控制，不能從整體上體現(xiàn)井下旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向控制的實(shí)現(xiàn)機(jī)理。Kremers[7]和Van der Wouw[8]根據(jù)Perneder[9]提出的一種導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)三維軌跡模型，設(shè)計(jì)了一種基于魯棒跟蹤問(wèn)題的輸出反饋控制方法。Sun[10]根據(jù)Downton[11]提出的一種簡(jiǎn)化為Explicit Force， Finitely Sharp， Zero Mass（EFFSZM）且?guī)в兄辛缶€(xiàn)性不確定性的導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)模型，設(shè)計(jì)了一種基于快速估計(jì)的L1自適應(yīng)控制器，使實(shí)際模型能有效跟蹤系統(tǒng)參考輸出，減小跟蹤誤差。但是使用的系統(tǒng)模型只考慮了帶有一個(gè)穩(wěn)定器的BHA，沒(méi)有考慮后續(xù)鉆桿對(duì)BHA的影響，以及鉆桿相對(duì)于鉆頭的滯后對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，因此不能完全反映BHA在井下的實(shí)際鉆進(jìn)情況。此外，在RSS相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型方面，有相當(dāng)數(shù)量的控制算法設(shè)計(jì)和理論分析為實(shí)現(xiàn)RSS井下軌跡的平穩(wěn)準(zhǔn)確跟蹤控制提供了理論基礎(chǔ)[12-18]。

考慮到上述文獻(xiàn)在系統(tǒng)模型和控制方法上存在的問(wèn)題，本文基于Perneder[19]提出的一種推靠式RSS系統(tǒng)軌跡模型的二維簡(jiǎn)化形式，針對(duì)觀(guān)測(cè)器誤差模型中的滯后項(xiàng)所導(dǎo)致的觀(guān)測(cè)器穩(wěn)定問(wèn)題，提出了一種基于積分滑模變結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定補(bǔ)償控制方法，據(jù)此實(shí)現(xiàn)了用于對(duì)二維鉆井軌跡進(jìn)行穩(wěn)定控制的狀態(tài)反饋控制器。本文首先構(gòu)造推靠式RSS的動(dòng)力學(xué)模型并分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，而后分別設(shè)計(jì)系統(tǒng)的反饋控制器和穩(wěn)定補(bǔ)償狀態(tài)觀(guān)測(cè)器，并對(duì)控制系統(tǒng)參數(shù)使用NSGAII進(jìn)行優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的控制方法在跟蹤預(yù)設(shè)軌跡精確度和井眼振蕩抑制等方面具有良好的控制效果。

1旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1幾何特性描述

RSS系統(tǒng)底部鉆具組合的簡(jiǎn)化模型如圖1所示定義λi（i=2，3，…）為第i-1個(gè)穩(wěn)定器到第i個(gè)穩(wěn)定器之間的鉆桿長(zhǎng)度。λ1為鉆頭到第1個(gè)穩(wěn)定器之間的距離，從鉆頭到偏置機(jī)構(gòu)的長(zhǎng)度為Λλ1，其中Λ∈（0，1）。給定系統(tǒng)的基坐標(biāo)系為[e→x，e→y，e→z]T，其中e→z與重力方向相同，e→x與e→z垂直，e→y與e→x，e→z分別正交?？紤][e→x，e→z]T所在的豎直平面內(nèi)的導(dǎo)向作用，在此導(dǎo)向作用下的鉆井軌跡為二維井眼軌跡。

鉆頭側(cè)向切削力的存在導(dǎo)致井眼軌跡（B）與BHA井下鉆桿軌跡（D）之間存在一個(gè)小的偏差。二維井眼軌跡方向由井斜角Θ（S）表示，該角度定義為軌跡切線(xiàn)與e→z之間的夾角，其中S∈[0，L]是井眼軌跡的曲線(xiàn)坐標(biāo)，L是井眼軌跡的長(zhǎng)度（S=0為地面鉆機(jī)位置）。BHA本身的傾斜角定義為θ（L，s），其中s∈[0，LBHA]是鉆頭鉆進(jìn)時(shí)鉆桿的曲線(xiàn)坐標(biāo)，LBHA是BHA和鉆桿的總長(zhǎng)度（s=0是鉆頭位置）。為簡(jiǎn)化計(jì)算，引入一個(gè)與井底鉆進(jìn)動(dòng)力學(xué)無(wú)關(guān)的無(wú)量綱鉆進(jìn)長(zhǎng)度ξ=L/λ1作為系統(tǒng)的參考變量，井斜角和BHA的傾斜角均依賴(lài)于此變量。

1.2系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.2.1模型構(gòu)成

旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)模型主要包括3部分：BHA數(shù)學(xué)模型、鉆頭運(yùn)動(dòng)學(xué)模型以及鉆頭和巖石之間的接觸作用模型，3者之間的相互關(guān)系如圖2所示。其中：BHA模型用于描述簡(jiǎn)化為EulerBernoulli梁模型的鉆頭和鉆桿與井壁之間的關(guān)系[20]；鉆頭與巖石接觸面之間的相互作用關(guān)系用于描述在鉆井過(guò)程中鉆頭和巖石接觸面的破巖以及其它損耗過(guò)程[21]；鉆頭運(yùn)動(dòng)學(xué)模型用于描述鉆頭軸向運(yùn)動(dòng)與側(cè)向運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。這3個(gè)模型的構(gòu)建過(guò)程和相互關(guān)系參見(jiàn)文獻(xiàn)[9，19]。

1.2.2井眼軌跡演化方程

使用尺度化的特征力F*（定義F*=3EI/λ21，EI表示鉆桿的抗彎剛度）對(duì)導(dǎo)向力、鉆壓和BHA重量進(jìn)行尺度變換，綜合上述的模型關(guān)系與邊界條件，可得出系統(tǒng)的井眼軌跡演化方程，其推導(dǎo)過(guò)程參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]。在[9]所給方程中包含兩項(xiàng)與BHA重量有關(guān)的非線(xiàn)性項(xiàng)，在鉆進(jìn)過(guò)程中重力項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性幾乎沒(méi)有影響，可以忽略不計(jì)。因此可將井眼軌跡演化方程轉(zhuǎn)化為具有多定常滯后項(xiàng)的線(xiàn)性滯后微分方程，即

χΠΘ′=-Mb[Θ-〈Θ〉1]+χηFb[Θ-Θ1]+

∑n-1i=1[FbMi-FiMb-MiηΠηΠ]（〈Θ〉i-〈Θ〉i+1）-

χη∑n-1i=1FiΘi-1-Θiκi-Θi-Θi+1κi+1+

FbMr-FrMb-MrηΠηΠΓ-χηFr?！?。（1）

式（1）中第i個(gè)穩(wěn)定器的空間滯后傾斜角表示為Θi=Θ（ξi），其中ξi=ξ-∑ij=1κj；κj是第i個(gè)穩(wěn)定器的無(wú)量綱長(zhǎng)度，即κj=λj/λ1；Γ，Π分別為尺度變換后的鉆井系統(tǒng)導(dǎo)向力和鉆壓；Fb，Mb表示鉆頭傾斜產(chǎn)生的力和力矩，F(xiàn)r，Mr表示導(dǎo)向力和力矩，F(xiàn)i，Mi表示穩(wěn)定器約束條件，這些參數(shù)只與BHA的結(jié)構(gòu)有關(guān)；η和χ分別表示側(cè)向轉(zhuǎn)向阻力和角轉(zhuǎn)向阻力。第i個(gè)BHA段的平均傾斜角〈Θ〉i可表示為

〈Θ〉i=1κi∫ξiξi-1Θ（σ）dσ。（2）

1.2.3狀態(tài)空間方程

定義狀態(tài)變量x=[Θ，〈Θ〉1，〈Θ〉2，…，〈Θ〉n]T，則線(xiàn)性多滯后微分方程（1）可以轉(zhuǎn)換成一階狀態(tài)空間表達(dá)式形式

x′（ξ）=A0x（ξ）+∑ni=1Aix（ξi）+B0Γ+B1?！洹＃?）

考慮一個(gè)帶有2個(gè)穩(wěn)定器的BHA，狀態(tài)空間表達(dá)式可以寫(xiě)成如下形式

x′（ξ）=A0x（ξ）+A1x（ξ1）+A2x（ξ2）+

B0Γ+B1Γ′。（4）

式中系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A0，A1，A2和輸入矩陣B0，B1的表達(dá)形式可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]。

在BHA導(dǎo)向裝置處以及第1個(gè)到第2個(gè)穩(wěn)定器之間的位置通常安裝有兩個(gè)井斜角測(cè)量傳感器，據(jù)此定義可測(cè)輸出變量為y=θ=[θ0（ξ），θ2（ξ）]T。與井壁的傾斜角類(lèi)似，帶兩個(gè)穩(wěn)定器的BHA輸出傾斜角同樣與Γ，Π，〈Θ1〉，〈Θ2〉等參數(shù)有關(guān)，由此可得系統(tǒng)的輸出方程

θ=1ηΠ-Fb（ηΠΘ-Fb〈Θ〉1+FrΓ+

F1（〈Θ〉1-〈Θ〉2））。（5）

即

y=Cx+DΓ。（6）

式（4）和式（6）組成BHA的狀態(tài)空間方程。

2系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

在忽略了系統(tǒng)中重力項(xiàng)的影響之后，導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)模型可看作帶有兩個(gè)滯后因子的線(xiàn)性滯后系統(tǒng)，可以應(yīng)用基于線(xiàn)性矩陣不等式（linear matrix inequality，LMI）的滯后系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法對(duì)導(dǎo)向系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

考慮一個(gè)由式（4）構(gòu)成且輸入為零的自治系統(tǒng)，定義該系統(tǒng)的LyapunovKrasovskii泛函為

V2（x）=xT（ξ）Px（ξ）+∫ξξ-τ1xT（s）Q1x（s）ds+

∫ξξ-τ2xT（s）Q2x（s）ds+

∫0-τ1∫ξξ+θx·T（s）W1x·（s）dsdθ+

∫0-τ2∫ξξ+θx·T（s）W2x·（s）dsdθ+

∫-τ1-τ2∫ξξ+θx·T（s）W3x·（s）dsdθ。（7）

其中τ1和τ2分別表示κ1和κ1+κ2，對(duì)于該式的穩(wěn)定性有如下定理：如果存在矩陣P=PT>0，Qi=QTi>0（i=1，2），Wi=WTi≥0（i=1，2，3），并且存在任意的適當(dāng)維數(shù)的矩陣Ni，Si，Mi （i=1，2，3），Xij，Yij，Zij（i=1，2，3；i≤j≤3）使得如下的LMI成立

Φ=Φ11Φ12Φ13

ΦT12Φ22Φ23

ΦT13ΦT23Φ33<0，（8）

Ψ1=X11X12X13N1

XT12X22X23N2

XT13XT23X33N3

NT1NT2NT3W1≥0，（9）

Ψ2=Y11Y12Y13S1

YT12Y22Y23S2

YT13YT23Y33S3

ST1ST2ST3W2≥0，（10）

Ψ3=Z11Z12Z13-M1

ZT12Z22Z23-M2

ZT13ZT23Z33-M3

-MT1-MT2-MT3W3≥0。（11）

則此線(xiàn)性滯后系統(tǒng)漸近穩(wěn)定[22]。式（8）～式（11）中的各項(xiàng)參數(shù)表達(dá)式以及穩(wěn)定性定理證明見(jiàn)文獻(xiàn)[23]。

系統(tǒng)所涉及的BHA參數(shù)如表1所示。其中Ir和Or分別表示BHA的內(nèi)徑和外徑；其他BHA機(jī)械參數(shù)中，選取楊氏模量E=2e11N/m2，鉆桿平均密度ρ=7 800 Kg/m3。將幾何參數(shù)和運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)應(yīng)關(guān)系分別代入式（4）求得系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣。表1BHA的幾何參數(shù)[9]

Table 1Geometry Parameters of BHA

幾何參數(shù)數(shù)值幾何參數(shù)數(shù)值λ13.66[m]Ir0.053[m]λ26.10[m]Or0.086[m]κ11[-]η30[-]κ22/1.2[-]Π30[-]Λ1/6[-]χ0.1[-]

使用Matlab的LMI 工具箱求解線(xiàn)性矩陣不等式（8）～式（11），根據(jù)程序計(jì)算結(jié)果可知所構(gòu)造的式（7）中的矩陣P，Q1，Q2，W1，W2，W3存在相應(yīng)的正定或半正定可行解使式（7）的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定，即式（4）構(gòu)成的自治系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，因此可以通過(guò)設(shè)計(jì)控制器調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程使系統(tǒng)趨于漸近穩(wěn)定。

3控制器設(shè)計(jì)與優(yōu)化

3.1控制器總體結(jié)構(gòu)

RSS控制器的總體結(jié)構(gòu)如圖3所示。其中，系統(tǒng)反饋控制器基于參考軌跡與觀(guān)測(cè)器反饋狀態(tài)進(jìn)行設(shè)計(jì)，其目的是使井眼軌跡與參考軌跡之間的誤差按照指數(shù)形式趨近于零。具有穩(wěn)定補(bǔ)償功能的狀態(tài)觀(guān)測(cè)器由系統(tǒng)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器本身和積分滑模補(bǔ)償控制器兩部分組成。前者采用Luenberger狀態(tài)觀(guān)測(cè)器，后者利用積分滑模變結(jié)構(gòu)控制為觀(guān)測(cè)器提供穩(wěn)定補(bǔ)償式控制輸入，以解決觀(guān)測(cè)器誤差模型中的滯后項(xiàng)所導(dǎo)致的觀(guān)測(cè)器穩(wěn)定性問(wèn)題，同時(shí)改善了控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程?？刂葡到y(tǒng)中的狀態(tài)反饋增益、觀(guān)測(cè)器增益和滑模變結(jié)構(gòu)參數(shù)使用遺傳算法NSGAII進(jìn)行優(yōu)化。

在RSS控制系統(tǒng)中，控制輸入u是推動(dòng)鉆頭轉(zhuǎn)向的導(dǎo)向力，輸出是井眼在鉆頭附近位置的角度，為了便于直觀(guān)地確定鉆進(jìn)軌跡，定義輸入u對(duì)應(yīng)的輸入矩陣為B3×1，令Bu=B0Γ+B1?！洌街蠦0=[b000]T，B1=[b100]T，解得導(dǎo)向力對(duì)應(yīng)的角度輸入為[8]

?！?-b0b1Γ+1b1u。（12）

3.2系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

為提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度，加快系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，基于系統(tǒng)參考輸入設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器。定義系統(tǒng)誤差為

e（ξ）=xr（ξ）-x（ξ）。（13）

式中xr（ξ）為系統(tǒng)參考輸入，系統(tǒng)誤差e對(duì)ξ求導(dǎo)得：

e·（ξ）=x·r（ξ）-x·（ξ）。（14）

基于狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)系統(tǒng)控制律為

u（ξ）=B+[x·r（ξ）-A0x（ξ）-A1x（ξ-τ1）-

A2x（ξ-τ2）+Kve（ξ）]。（15）

式中：Kv=diag[Kv1，Kv2，Kv3]，B+為系統(tǒng)輸入矩陣對(duì)應(yīng)的1×3矩陣，綜合式（4）、式（14）和式（15）可得

e·（ξ）=x·r（ξ）-A0x（ξ）-A1x（ξ1）-

A2x（ξ2）-Bu（ξ）=-Kve（ξ）。（16）

考慮到導(dǎo)向控制作用的輸入是在鉆頭附近的導(dǎo)向裝置處施加，由于導(dǎo)向裝置和鉆頭之間的距離非常接近，可看作導(dǎo)向力直接施加在鉆頭上，鉆頭到第1個(gè)穩(wěn)定器以及第1個(gè)到第2個(gè)穩(wěn)定器之間的平均傾斜角不直接受到控制輸入作用的影響，因此可令式（15）中B+=[1，0，0]，狀態(tài)反饋增益中的參數(shù)約束條件為Kv1>0，Kv2，Kv3=0。

結(jié)合狀態(tài)反饋參數(shù)約束條件由式（16）可以看出，隨著鉆井長(zhǎng)度ξ的增加，誤差e（ξ）以指數(shù)形式收斂于0。

3.3穩(wěn)定補(bǔ)償式狀態(tài)觀(guān)測(cè)器

3.3.1觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)

根據(jù)系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器，首先應(yīng)判斷系統(tǒng)是否具有可觀(guān)性，根據(jù)上一節(jié)中的幾何參數(shù)確定的BHA模型系統(tǒng)矩陣和輸出矩陣，使用PBH秩判據(jù)方法得出在不帶滯后環(huán)節(jié)的情況下系統(tǒng)是完全可觀(guān)的。同時(shí)由于在鉆進(jìn)過(guò)程中鉆桿部分的軌跡相對(duì)于鉆頭軌跡具有可延續(xù)性，且鉆頭轉(zhuǎn)角近似為零，因此可以認(rèn)為系統(tǒng)模型中的滯后環(huán)節(jié)不影響系統(tǒng)的可觀(guān)性。

根據(jù)線(xiàn)性控制理論，設(shè)計(jì)系統(tǒng)的Luenberger狀態(tài)觀(guān)測(cè)器為：

x^·（ξ）=A0x^（ξ）+A1x^（ξ-τ1）+A2x^（ξ-τ2）+

Bu（ξ）+HC（x（ξ）-x^（ξ）），

y^（ξ）=Cx^（ξ）+DΓ（ξ）。（17）

式中：x^，y^分別為觀(guān)測(cè)器的狀態(tài)變量和輸出變量，H∈R3×2為觀(guān)測(cè)器的增益矩陣。

定義系統(tǒng)觀(guān)測(cè)器誤差為

δ（ξ）=x（ξ）-x^（ξ）。（18）

得到觀(guān)測(cè)器誤差模型為

δ·（ξ）=x·（ξ）-x^·（ξ）=

（A0-HC）δ（ξ）+A1δ（ξ-τ1）+

A2δ（ξ-τ2）。（19）

由式（19）可以看出，由于在誤差模型中存在滯后項(xiàng)δ（ξ-τ1）和δ（ξ-τ2），單純通過(guò)極點(diǎn)配置方法選擇增益矩陣H通常難以保證觀(guān)測(cè)器的穩(wěn)定性，進(jìn)而導(dǎo)致δ（ξ）不能趨近于零，觀(guān)測(cè)值難以實(shí)時(shí)反應(yīng)實(shí)際狀態(tài)值。為此，以上述觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，在輸入u（ξ）的基礎(chǔ)上附加穩(wěn)定補(bǔ)償控制項(xiàng)r（ξ），進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一種基于穩(wěn)定補(bǔ)償?shù)臓顟B(tài)觀(guān)測(cè)器。此時(shí)，觀(guān)測(cè)器模型為：

x^·（ξ）=A0x^（ξ）+A1x^（ξ-τ1）+A2x^（ξ-τ2）+

B（u（ξ）+r（ξ））+HCδ（ξ），

y^（ξ）=Cx^（ξ）+DΓ（ξ）。（20）

觀(guān)測(cè)器誤差模型為

δ·（ξ）=x·（ξ）-x^·（ξ）=

（A0-HC）δ（ξ）+A1δ（ξ-τ1）+

A2δ（ξ-τ2）-Br（ξ）。（21）

3.3.2觀(guān)測(cè)器穩(wěn)定補(bǔ)償控制

式（20）中的穩(wěn)定補(bǔ)償項(xiàng)r（ξ）采用基于積分滑模變結(jié)構(gòu)的思想進(jìn)行設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)。對(duì)于滑模變結(jié)構(gòu)控制而言，其滑動(dòng)模態(tài)與系統(tǒng)的外部擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)完全無(wú)關(guān)，可以通過(guò)設(shè)計(jì)滑模面使控制系統(tǒng)獲得較好的魯棒性[24-26]。

根據(jù)觀(guān)測(cè)器誤差定義控制器的積分滑模面為

s（ξ）=c1δ（ξ）+c2∫ξ0δ（τ）dτ。（22）

式中：s（ξ）=[s1（ξ），s2（ξ），s3（ξ）]T，滑模參數(shù)c1=diag[c11，c12，c13]，c2=diag[c21，c22，c23]；s（ξ）對(duì)ξ求導(dǎo)并結(jié)合公式（21）可得

s·（ξ）=c1δ·（ξ）+c2δ（ξ）=

c1[（A0-HC）δ（ξ）+A1δ（ξ-τ1）+

A2δ（ξ-τ2）-Br（ξ）]+c2δ（ξ）。（23）

為了抑制高頻抖振，并加快系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，選擇系統(tǒng)的指數(shù)趨近律為

s·（ξ）=-εtanh（s（ξ））-ks（ξ）。（24）

式（24）中-εtanh（s（ξ））是等速趨近項(xiàng)，其中參數(shù)ε=diag[ε1，ε2，ε3]，采用雙曲Sigmoid函數(shù)代替常規(guī)指數(shù)趨近律中的符號(hào)函數(shù)，可以減小系統(tǒng)在滑模面附近的抖振現(xiàn)象；-ks（ξ）是指數(shù)趨近項(xiàng)，其中k=diag[k1，k2，k3]。

滑?？刂破饔墒剑?3）和式（24）組成，綜合兩式得觀(guān)測(cè)器的穩(wěn)定補(bǔ)償輸入r（ξ）為

r（ξ）=B+{[（A0-HC）δ（ξ）+A1δ（ξ-τ1）+

A2δ（ξ-τ2）]+

c-11 [εtanh（s（ξ））+ks（ξ）+c2δ（ξ）]}。（25）

對(duì)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器中的滯后特性進(jìn)行穩(wěn)定補(bǔ)償后，使用觀(guān)測(cè)器的狀態(tài)估計(jì)x^來(lái)替代實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)x進(jìn)行系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制設(shè)計(jì)，在式（25）補(bǔ)償控制的作用下，狀態(tài)觀(guān)測(cè)器克服兩滯后項(xiàng)的影響保持漸進(jìn)穩(wěn)定，即觀(guān)測(cè)器誤差e～=xr-x^趨于0，觀(guān)測(cè)器輸出趨近系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)，從而降低滯后特性對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響，提高系統(tǒng)穩(wěn)定精確追蹤預(yù)設(shè)軌跡的能力。

3.2節(jié)中闡述了此RSS模型的控制特點(diǎn)，因此狀態(tài)觀(guān)測(cè)器及其積分滑模補(bǔ)償部分的參數(shù)同樣可以以此為依據(jù)進(jìn)行選擇和簡(jiǎn)化。系統(tǒng)中B+與反饋控制器中設(shè)定相同，仍為[1，0，0]，狀態(tài)觀(guān)測(cè)器增益可以簡(jiǎn)化為H=h11h12

00

00，滑模參數(shù)c1中的c12，c13，c2中的c22，c23，ε中的ε2，ε3，k中的k2，k3均設(shè)置為零；此外為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，根據(jù)極點(diǎn)配置和滑模變結(jié)構(gòu)控制中指數(shù)趨近律的特性，設(shè)置c11，c21，ε1，k1>0。這種設(shè)置方式不僅確保系統(tǒng)極點(diǎn)配置在復(fù)平面的左半平面，同時(shí)減少了控制系統(tǒng)的參數(shù)數(shù)量，有利于簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，可以得到更好的優(yōu)化參數(shù)。

3.4遺傳算法優(yōu)化控制系統(tǒng)參數(shù)

遺傳算法是Holland于1975年提出的一種模擬生物界自然選擇與遺傳機(jī)制的進(jìn)化計(jì)算方法[27-28]。為了快速且準(zhǔn)確地求得一組最優(yōu)的控制系統(tǒng)參數(shù)，采用基于精英保留策略的非支配排序遺傳算法[29]（NSGAII）對(duì)RSS控制系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解。NSGAII具有運(yùn)行速度快、收斂性好的優(yōu)點(diǎn)；快速非支配排序算法降低了種群計(jì)算的復(fù)雜度；精英保留策略保證了進(jìn)化過(guò)程中的優(yōu)良個(gè)體不會(huì)被丟棄，提高了算法優(yōu)化精確度。

選用ITAE（式26）作為控制器性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，用于評(píng)價(jià)NSGAII對(duì)控制系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化程度

J=∫