強(qiáng)化思維主線，在類比中學(xué)習(xí)因式分解

謝麗英

摘 要：因式分解是數(shù)學(xué)恒等變形中的重要手段，在數(shù)學(xué)及其后續(xù)學(xué)習(xí)中具有重要的地位。因式分解實(shí)際上是乘法運(yùn)算的一個(gè)逆過程，因此，其對思維能力培養(yǎng)的要求比較高。本文立足于自身課堂實(shí)踐，以強(qiáng)化思維培養(yǎng)為主線，通過類比思維來學(xué)習(xí)因式分解，實(shí)現(xiàn)了較好的教學(xué)目的。

關(guān)鍵詞：思維主線；回顧；類比；拓展；反思

有人說，因式分解可以難倒數(shù)學(xué)家。的確如此，特別在因式分解過程中對于方法與結(jié)果都難以把握的情況下更是如此。如何化難為易，幫助學(xué)生掌握因式分解的方法呢？結(jié)合自身課堂實(shí)踐，筆者主要通過強(qiáng)化思維主線，在類比中學(xué)習(xí)因式分解，達(dá)到了較好的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

1.思考與回顧

通過復(fù)習(xí)與回顧乘法運(yùn)算，有助于學(xué)生明晰學(xué)習(xí)方向，實(shí)現(xiàn)思維的遷移與類比，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

1.1復(fù)習(xí)乘法公式，新知是建立在原有的舊的知識基礎(chǔ)之上的，因此，教學(xué)一開始我就復(fù)習(xí)整式乘法及其公式。通過提問，得出整式乘法是幾個(gè)整式的乘積。整式的乘法可分為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式三種形式。在此基礎(chǔ)上回顧乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，（a-b）2=a2-2ab+b2，（a+b）2=a2+2ab+b2學(xué)生回憶并回答，為本課的學(xué)習(xí)提供遷移或類比方法。

1.2創(chuàng)設(shè)課堂情境，接下來我和學(xué)生一起做一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，游戲規(guī)則是：

①大家說出一個(gè)大于1的正整數(shù)；②寫出它的立方減去它本身的代數(shù)式，如：43-4；③不通過計(jì)算，說出這個(gè)代數(shù)式能被哪些正整數(shù)整除。你能做到嗎？

啟發(fā)學(xué)生思考：游戲好玩嗎？游戲的關(guān)鍵是什么？你知道993-99能被100整除嗎？你是怎么做的？

1.3因數(shù)分解探究，通過993-99的特例探究，讓學(xué)生建立因數(shù)分解的初步概念，為后續(xù)因式分解學(xué)習(xí)類比思維奠定基礎(chǔ)。圍繞993-99能被100整除嗎？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：

993-99=99×992-99×1=99（992-1）=99×9800=98×99×100

所以，993-99能被100整除。

至此，我趁熱打鐵追問，你們能說出每一步變形的依據(jù)嗎？首先，大家發(fā)現(xiàn)兩個(gè)減數(shù)都有99，就想著可以提一個(gè)99出來，992-1是一個(gè)平方差公式。其次，判斷993-99能否被100整除時(shí)，運(yùn)用了平方差公式的逆過程。最后，我們變成幾個(gè)數(shù)的乘積，就可以看出能被哪些數(shù)整除了。很好的總結(jié)了大家的思考過程與思路。接下來，我進(jìn)一步要求學(xué)生探究：993-99還能被哪些正整數(shù)整除？生1回答，很顯然可以被98，99，100整除呀！生2說：我覺得還應(yīng)該是被2，49，98，3，9，99，11，4，25，100整除。我肯定了他們的想法。并且對生2提出了表揚(yáng)與鼓勵(lì)。這樣，通過數(shù)學(xué)游戲，激起學(xué)生探究的欲望，并且體會到把數(shù)式化成幾個(gè)數(shù)的積的形式是解決這類問題的關(guān)鍵，從而為引出因式分解的概念奠定基礎(chǔ)。

2.類比出新知

實(shí)踐探究交流新知。上面，我們把993-99化成了幾個(gè)數(shù)的乘積的形式，從而知道了它能夠被哪些整數(shù)整除。那么，你能嘗試把a(bǔ)3-a化成幾個(gè)整式的乘積的形式嗎？通過與同伴交流得出：

然后，總結(jié)得出：像這樣把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫因式分解.我們這一章僅限于在有理數(shù)范圍內(nèi)、整式范疇內(nèi)的因式分解。

請同學(xué)們觀察這些等式：a3-a=a（a+1）（a-1），ma+mb+mc=m（a+b+c），x2+2x+1=（x+1）2。

同樣可以發(fā)現(xiàn)：等式的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是幾個(gè)整式的積的形式，水到渠成的強(qiáng)化了因式分解的概念。

最后，通過對公式ma+mb+mc=m（a+b+c）利用三個(gè)長方形

拼圖前后面積不變的方式，豐富學(xué)生對因式分解的理解，形象地說明因式分解是整式的恒等變形。這有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀思維，對學(xué)生的思維發(fā)展具有實(shí)際價(jià)值。

3.拓展提升

通過兩種變形過程的強(qiáng)化訓(xùn)練，讓學(xué)生在探究的基礎(chǔ)上得出：整式乘法和因式分解是一個(gè)互逆運(yùn)算；因式分解是否正確可以用整式乘法來檢驗(yàn)。基礎(chǔ)訓(xùn)練方面，我通過四個(gè)乘法運(yùn)算后，馬上利用這四個(gè)運(yùn)算過程要求學(xué)生把結(jié)果進(jìn)行因式分解。只要對因式分解與乘法運(yùn)算互逆關(guān)系明確的同學(xué)，都可以秒殺結(jié)果，強(qiáng)化了對它們互逆關(guān)系的認(rèn)識。然后，我通過以下三個(gè)問題拓展提升學(xué)生的思維。

3.1構(gòu)造長方形的面積求和，解釋a2+2ab=a（a+2b）。

這道題題目形式新穎、直觀，學(xué)生進(jìn)行交流.動(dòng)手畫，讓有疑問的同學(xué)，在小組中交流。本題以拼圖前后面積不變的方式，進(jìn)一步豐富學(xué)生對因式分解的理解，形象地說明因式分解是整式的恒等變形，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀思維，對學(xué)生的思維發(fā)展具有實(shí)際價(jià)值。關(guān)注的是代數(shù)思維與幾何思維的互相促進(jìn)，以幾何直觀來解釋因式分解的意義，從另一個(gè)角度理解因式分解。

3.2多項(xiàng)式x2-4x+m可以分解為（x+3）（x-7），則m= 。

進(jìn)一步強(qiáng)化逆向思維，學(xué)生可以通過右邊的乘法運(yùn)算迅速得出m=-21。

3.3分解因式x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了a的值，分解結(jié)果是（x+6）（x-1），乙看錯(cuò)了b的值，分解結(jié)果為（x-2）（x+1），求a，b的值。

通過這些練習(xí)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生思維，明確：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫因式分解。掌握：整式乘法和因式分解是一個(gè)互逆運(yùn)算，因式分解是否正確可以用整式乘法來檢驗(yàn)。通過練習(xí)進(jìn)一步提升了學(xué)生應(yīng)用知識的能力，拓展了其思維能力。

4、教學(xué)反思

4.1授課流程反思，引導(dǎo)學(xué)生明確解決問題的關(guān)鍵是把一個(gè)數(shù)式化成幾個(gè)數(shù)乘積的形式，從而為下面類比993-99的因數(shù)分解引出a3-a的因式分解做好鋪墊。因數(shù)分解是學(xué)生小學(xué)就熟悉的，因式分解則是要學(xué)習(xí)的新知。通過類比，學(xué)生明確了學(xué)習(xí)方向，實(shí)現(xiàn)了化未知為已知的目的。

4.2講授效果反思，本節(jié)課我主要以學(xué)生的思維進(jìn)程發(fā)展為主線，采用逐步滲透，螺旋式類比方法。在概念引入時(shí)，我將學(xué)生對因式分解的記憶退到了次要的位置，把因式分解作為培養(yǎng)學(xué)生逆向思維、全面思考、靈活解決矛盾的載體。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生通過因數(shù)分解類比出因式分解，對學(xué)生類比的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行培養(yǎng)，到概念強(qiáng)化階段，又以整式的乘法與因式分解的對比，對學(xué)生的逆向思維能力進(jìn)行培養(yǎng)，也使得學(xué)生對于因式分解概念的引入不至于茫然。本節(jié)課亮點(diǎn)主要體現(xiàn)在從一開始一連串的知識性問題引入，到后來環(huán)節(jié)中多次提出思考性的問題，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生做進(jìn)一步的猜想、探究，這種循序漸進(jìn)的思維進(jìn)程有助于學(xué)生理解接受新知識。

總之，教學(xué)的著眼點(diǎn)，不是熟練技能，而是發(fā)展思維，使學(xué)生在學(xué)習(xí)的情感態(tài)度與價(jià)值觀上發(fā)生深刻的變化。