善用類比方法 構(gòu)建整體框架

卓斌

此次評(píng)優(yōu)課活動(dòng)中，13位優(yōu)秀選手共同執(zhí)教了“分式”單元教學(xué)課。這種課型作為省級(jí)比賽課題是第一次，充分體現(xiàn)了主辦者的大膽創(chuàng)意與精心設(shè)計(jì)。為什么要開設(shè)“單元教學(xué)課”呢？省教研室副主任董林偉先生認(rèn)為：一是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。人類學(xué)習(xí)的一般規(guī)律為：先進(jìn)行“前建構(gòu)”，再到局部的深入研究，然后形成整體認(rèn)識(shí)，最后通過(guò)反思形成“后建構(gòu)”。二是這種課型關(guān)注學(xué)生的核心素養(yǎng)的形成與關(guān)鍵學(xué)科能力的培養(yǎng)，把隱藏在顯性數(shù)學(xué)知識(shí)背后的隱性知識(shí)挖掘、抽取出來(lái)。譬如，這節(jié)課要著力解決好三個(gè)核心問題：1.為什么要學(xué)習(xí)分式？2. 學(xué)習(xí)分式的哪些內(nèi)容？3.我們?nèi)绾螌W(xué)習(xí)分式內(nèi)容？

創(chuàng)新帶來(lái)了活力與動(dòng)力，更帶來(lái)了別樣的精彩與創(chuàng)意。所有的參賽教師都能夠關(guān)注“分式”概念的教學(xué)，注重分式知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、形成的過(guò)程性設(shè)計(jì)，讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)分式知識(shí)的必要性與迫切性；都能夠注重?cái)?shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)，揭示分式概念的本質(zhì)與內(nèi)涵，體現(xiàn)分式定義的合理性與科學(xué)性；都能夠注重?cái)?shù)學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革，讓學(xué)生成為課堂學(xué)習(xí)的主角；都能夠注重多媒體技術(shù)的輔助作用，讓課堂充滿時(shí)代氣息，實(shí)現(xiàn)了現(xiàn)代教育技術(shù)手段與數(shù)學(xué)課程的有機(jī)整合；都能夠注重學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成，達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，對(duì)新課改的深入實(shí)施發(fā)揮了良好的示范引領(lǐng)作用。具體的亮點(diǎn)與特色體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

1. 注重創(chuàng)設(shè)問題情境，從生活實(shí)際或數(shù)學(xué)內(nèi)部提出問題，體現(xiàn)學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性。

分式概念的產(chǎn)生大致有兩條途徑：一是從生活實(shí)際出發(fā)，抽取出一定量的數(shù)學(xué)式子，然后觀察這種式子的共同特征，再抽取其本質(zhì)屬性，進(jìn)而給出“分式”的數(shù)學(xué)定義。

案例1.列式表示下列問題中的數(shù)量：

（1）如果我市人口總數(shù)為a人，綠地面積為b平方米， 那么該市人均擁有綠地______________平方米。

（2）有兩塊水稻田，一塊面積為a 公頃，產(chǎn)水稻m千克；另一塊面積為b 公頃，產(chǎn)水稻n千克， 這兩塊水稻田平均每公頃產(chǎn)水稻______________千克。

（3）某市到鹽城220千米，一輛客車從該市開往鹽城速度為x千米/小時(shí)，需要______________小時(shí)；一輛小轎車也從該市開往鹽城，速度比客車每小時(shí)快10千米，則小轎車到達(dá)目的地需要______________小時(shí)。

在學(xué)生列出代數(shù)式[ba]，[m+na+b]，[220x]，[220x+10]之后，再引導(dǎo)學(xué)生分析這些式子是否熟悉，它們與以往學(xué)習(xí)過(guò)的分?jǐn)?shù)有什么區(qū)別，從而體現(xiàn)研究這一類問題的必要性，充分展示了為什么要學(xué)習(xí)“分式”。

案例2. 開門見山地提出問題：兩個(gè)整數(shù)相除，結(jié)果有哪些形式？?jī)蓚€(gè)整式相除，結(jié)果又有哪些形式？

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：任意兩個(gè)整數(shù)相除不一定是整數(shù)，也可能得到分?jǐn)?shù)。并舉出正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)等這樣的運(yùn)算結(jié)果。兩個(gè)整式相除，有可能得到類似于[ba]，[m+na+b]，[220x]，[220x+10]的一些式子。

基于此，分式概念產(chǎn)生的另一種途徑就是從整式四則運(yùn)算的封閉性出發(fā)。整式是分式產(chǎn)生的另一個(gè)生長(zhǎng)點(diǎn)，整式對(duì)于加法、減法、乘法具有封閉性，但是兩個(gè)整式相除運(yùn)算時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一類數(shù)學(xué)式子不在整式范疇內(nèi)，很值得研究，從而由數(shù)學(xué)內(nèi)部運(yùn)算的封閉性提出了研究分式的必要性。

2. 注重抽取分式概念的基本要素，讓學(xué)生經(jīng)歷分式概念的建構(gòu)過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力。

在給出幾個(gè)分式之后，如何自然合理地、獨(dú)立自主地建構(gòu)分式的概念，成為必須面對(duì)的一個(gè)難題。其中較好的處理方式之一就是列表對(duì)比。

案例3. 請(qǐng)觀察分?jǐn)?shù)與新式子之間的相同點(diǎn)是什么，分子與分母的不同點(diǎn)有哪些，并完成下表。

通過(guò)列表不難發(fā)現(xiàn)，“新式子”具有以下三個(gè)特征：一是具有分?jǐn)?shù)的形式；二是分母中含有字母；三是分子中可以是整數(shù)，也可以含有字母。從而學(xué)生基本上能夠自主地給出“分式”的定義：

一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么代數(shù)式[BA]叫作分式。

3. 注重溫故知新，借助類比的方法，構(gòu)建分式內(nèi)容的整體框架。

單元教學(xué)課的“重頭戲”就是引領(lǐng)學(xué)生建構(gòu)這一章的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容。解決這一個(gè)問題的關(guān)鍵點(diǎn)就是找到新知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)與培養(yǎng)基，大多數(shù)選手不約而同地想到“分?jǐn)?shù)”。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)階段學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的哪些內(nèi)容，基本邏輯順序是什么，最終得到“分?jǐn)?shù)”一章的內(nèi)容框架為：定義——基本性質(zhì)（約分、通分）——四則運(yùn)算（加法、減法、乘法、除法）——應(yīng)用（解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題）。

借助合情推理中的類比方法，從而得到“分式”一章可能的學(xué)習(xí)內(nèi)容有：定義——基本性質(zhì)（約分、通分）——四則運(yùn)算（加法、減法、乘法、除法）——應(yīng)用（解分式方程）。

4. 注重設(shè)計(jì)各類活動(dòng)，拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，展示分式內(nèi)容的學(xué)習(xí)成效。

在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)游戲，動(dòng)手操作，歸納概括等方式，展示數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)，以及新授內(nèi)容的學(xué)習(xí)成果。

案例4. 按照要求拼一拼，想一想。材料為：全等的長(zhǎng)方形紙片若干張。操作方法如下：

（1）1張長(zhǎng)方形紙片的面積為bm2，一邊長(zhǎng)為am，則另一邊長(zhǎng)為__________________ m；

（2）2張長(zhǎng)方形紙片的面積為2bm2，一邊長(zhǎng)為2am，則另一邊長(zhǎng)為_________________m；

（3）3張長(zhǎng)方形紙片的面積為3bm2，一邊長(zhǎng)為3am，則另一邊長(zhǎng)為_________________m；

（4） n張長(zhǎng)方形紙片的面積為nbm2，一邊長(zhǎng)為nam，則另一邊長(zhǎng)為_________________m。

你發(fā)現(xiàn)了什么？通過(guò)手腦并用，學(xué)思結(jié)合，學(xué)生大都能夠發(fā)現(xiàn)“另一邊長(zhǎng)”保持不變，即[ba=2b2a=3b3a=nbna]，進(jìn)而給出分式的基本性質(zhì)：分式的分子、分母同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)，分式的值不變。

案例5. 數(shù)學(xué)游戲：小組同學(xué)到組長(zhǎng)處，從口袋中任意抽取兩張卡片，并將抽到的兩張卡片組成分式（分?jǐn)?shù)線可直接使用，不需抽?。＝又?，選出兩個(gè)分式，在小黑板上進(jìn)行加、減、乘、除中的任意一種運(yùn)算，小組內(nèi)交流運(yùn)算法則。

通過(guò)一系列數(shù)學(xué)游戲，學(xué)生掌握了分式的概念，設(shè)計(jì)了分式的各種運(yùn)算，并且借助小組的力量，討論了分式四則運(yùn)算法則。課堂氣氛活躍、熱烈，生成了很多原生態(tài)的成果。

5.注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，依托類比與轉(zhuǎn)化，解決了新知識(shí)的學(xué)習(xí)方法問題。

13節(jié)課的共性優(yōu)點(diǎn)就是，都能夠把類比與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法貫穿于研究“分式”內(nèi)容的始終。有的用分?jǐn)?shù)與分式進(jìn)行類比，有的用整式與分式進(jìn)行類比，把代數(shù)對(duì)象的研究經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了合理的遷移，取得了良好的效果。

案例6. 對(duì)于方程[100x=160x+3]，這是一個(gè)什么方程呢？這個(gè)方程你會(huì)怎么解？

大多數(shù)學(xué)生通過(guò)回憶七年級(jí)學(xué)習(xí)的“一元一次方程”這章內(nèi)容，能夠大膽地為這個(gè)方程命名“分式方程”。至于如何解方程，有的學(xué)生提出了“根據(jù)等式性質(zhì)，去掉分母，轉(zhuǎn)化為一元一次方程”的構(gòu)想，既合情合理，又具有創(chuàng)意，展現(xiàn)了活學(xué)活用的本領(lǐng)。類似的情景，在分式的通分與約分、分式的四則運(yùn)算中都有生動(dòng)的體現(xiàn)，可謂是順理成章，水到渠成。

6. 注重反思與總結(jié)，從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程與活動(dòng)中撈足油水，積累了豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

“編簍編筐，重在收口”。每位選手都十分重視反思與總結(jié)環(huán)節(jié)。有的教師帶領(lǐng)學(xué)生歸納了分式概念的學(xué)習(xí)框架：為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念，學(xué)習(xí)了分式的哪些內(nèi)容，采用了什么方法來(lái)學(xué)習(xí)，有的教師幫助學(xué)生梳理了按照什么樣的思路研究分式這一章知識(shí)；有的教師讓學(xué)生談一談這一節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲及困惑。

當(dāng)然，課堂教學(xué)永遠(yuǎn)是一門遺憾的藝術(shù)。譬如，有個(gè)別教師在情境設(shè)計(jì)方面不夠合理，或者不夠貼近學(xué)生的生活常識(shí)，或者選取的實(shí)例缺少代表性與普遍性。有個(gè)別教師在借班上課的情況下，不能自然地順應(yīng)學(xué)生的思路展開教學(xué)，忽視學(xué)生本身的認(rèn)知需求，更多地按照預(yù)設(shè)的程序進(jìn)行教學(xué)，師生之間互動(dòng)不夠順暢等。

結(jié)合這次課堂教學(xué)觀摩活動(dòng)，給予青年教師三點(diǎn)建議：一是數(shù)學(xué)教學(xué)首先要理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)要理解教材與課程標(biāo)準(zhǔn)，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)核心概念的內(nèi)涵與外延。數(shù)學(xué)是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也。二是數(shù)學(xué)教學(xué)要理解學(xué)生。理解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，以此找到學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)，進(jìn)而找到生長(zhǎng)點(diǎn)與發(fā)展點(diǎn)。充分預(yù)測(cè)學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)可能遇到的障礙。三是數(shù)學(xué)教學(xué)要理解教學(xué)。要站在學(xué)生的立場(chǎng)思考問題，更為重要的是你的學(xué)生是如何思考問題的，要努力改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。這才是數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì)所在，精髓所在！

（作者單位：江蘇省宿遷市中小學(xué)教學(xué)研究室）