推動(dòng)手推車的力學(xué)分析

劉凝 劉喜軍

[摘 要] 推與拉是一種常見的力學(xué)現(xiàn)象，在日常生活中人們也經(jīng)常遇到。從早期的人力車、畜力車到爬陡坡用的雙頭機(jī)車，人們對(duì)推與拉哪個(gè)更省力都有親身的體驗(yàn)。有趣的是，在教育的不同階段，關(guān)于推與拉省力的問(wèn)題有著不同的解釋。在《推動(dòng)手推車的力學(xué)分析》中，試圖把理論分析與日常經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，得出一個(gè)較為合理的解釋。通過(guò)力學(xué)中的整體法，《推動(dòng)手推車的力學(xué)分析》提出了在日常生活中“推比較省力”的觀點(diǎn)。通過(guò)建立模型，進(jìn)一步提出了在設(shè)定條件下“拉與推所用力相等”的觀點(diǎn)?！袄容^省力”的觀點(diǎn)，是初等教育背景下易得出的結(jié)論。“無(wú)法判斷”拉與推哪種方法省力，是一個(gè)高等教育之上的問(wèn)題，《推動(dòng)手推車的力學(xué)分析》并不能找出實(shí)例，沒有得出結(jié)論。

[關(guān) 鍵 詞] 摩擦力；力學(xué)模型；連接體

[中圖分類號(hào)] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2018）13-0137-03

一、引言

2011年3月，筆者參加了“2011年第二十一屆全國(guó)初中應(yīng)用物理競(jìng)賽”。第一題是單項(xiàng)選擇題，其中第2小題為工人師傅用手推手運(yùn)送純凈水的圖片（圖1），對(duì)這兩種方法中哪種方法比較省力的判斷，下列說(shuō)法中正確的是（ ）

A.圖甲的方法比較省力

B.圖乙的方法比較省力

C.圖甲和圖乙兩種方法所用力的大小相等

D.無(wú)法判斷

筆者選擇了B，而競(jìng)賽后公布的標(biāo)準(zhǔn)答案是A。當(dāng)時(shí)，參加完競(jìng)賽考試，回家后討論了拉與推的問(wèn)題；現(xiàn)在，筆者于大學(xué)四年級(jí)寒假期間，對(duì)拉與推的問(wèn)題做了盡可能系統(tǒng)的分析，形成了更為全面的初步結(jié)論。

二、基于克服摩擦力的“拉的方法省力”

形成拉的方法省力的認(rèn)識(shí)，肇始于對(duì)摩擦力的克服，需要有一個(gè)向上的分力。從向上分力有助于克服摩擦力的判斷，得出拉的方法省力的結(jié)論。（圖2）

三、基于克服阻力矩的“推的方法省力”

在使手推車運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題上，不是需要克服摩擦力，無(wú)論靜摩擦力，還是動(dòng)摩擦力；而是需要克服滾動(dòng)摩擦，即需要克服滾動(dòng)形成的阻力，克服阻礙手推車小輪滾動(dòng)的力矩。使手推車運(yùn)動(dòng)的力大小，由阻力矩決定，不是由靜摩擦力或動(dòng)摩擦力決定。

同時(shí)，省力是對(duì)人而言，在使手推車運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，工人師傅付出的力的大小決定省力與否。在施加力于手推車之上時(shí)，存在重力問(wèn)題。或者是手推車的重力由人承擔(dān)，這相當(dāng)于拉的方法；或者是人的重力由手推車承擔(dān)，這相當(dāng)于推的方法。判斷拉的方法是否省力，需要比較手推車與人這兩個(gè)相連的系統(tǒng)，看哪一個(gè)需要克服阻力的力更小。

一般認(rèn)為，人的行走相當(dāng)于多邊形的滾動(dòng)，步幅的一半相當(dāng)于阻力矩。從工人師傅用手推車運(yùn)送純凈水的情景看，手推車是運(yùn)動(dòng)在起伏較小的水泥（或?yàn)r青）路面上。手推車的阻力矩小于相當(dāng)于步幅一半的人的阻力矩。得出手推車運(yùn)動(dòng)需要克服阻力的力更小，得出人的重力由手推車承擔(dān)更省力，得出推的方法更省力。反之，得出人需要克服阻力的力更大，得出手推車的重力由人承擔(dān)更費(fèi)力，得出拉的方法更費(fèi)力。

極端情況為，拉著手推車運(yùn)動(dòng)，向上角度增大，直到完全提起手推車，這相當(dāng)于扛著手推車運(yùn)動(dòng)。推著手推車的極端情況為向下角度增大，直到完全壓在手推車上，這相當(dāng)于坐在手推車上腳蹬著地運(yùn)動(dòng)。

四、基于重心無(wú)起伏模型的“拉與推所用力相等”

在理想狀態(tài)下，建立拉與推所用力相等的模型。

設(shè)路面無(wú)起伏，或者說(shuō)起伏趨于無(wú)窮小。

對(duì)手推車，設(shè)定阻力矩為零，或者說(shuō)趨于無(wú)窮小。得出重心運(yùn)動(dòng)軌跡與路面平行，得出手推車可以無(wú)阻力地運(yùn)動(dòng)。

對(duì)人的行走模型，具體如下：

（一）多邊形模型

一般認(rèn)為，人的行走相當(dāng)于多邊形的滾動(dòng)。腿部被設(shè)定為單一剛桿。得出步幅的一半相當(dāng)于阻力矩，阻力矩不為零，并較大。

（二）兩截剛桿腿部模型

行走的多邊形模型，其重心起伏較大，與實(shí)際行走情況差距較大，阻力矩太大。模擬實(shí)際行走，設(shè)置腿部為兩截剛桿。以此平緩多邊形模型的重心起伏，達(dá)到降低阻力矩的目的。

此兩截剛桿腿部模型（設(shè)兩截長(zhǎng)度相等）的行走流程設(shè)定為：（1）起步。兩大腿平行，與重力夾角30°；左小腿與大腿成直線，右小腿與左小腿夾角60°。重心在右腿上。（2）重心移動(dòng)。重心向前移動(dòng)，腿部改變夾角。直到左大腿與重力夾角30°，小腿與重力夾角30°；右腿成直線，與重力夾角30°。重心在左腿上。（3）邁步。右小腿向前邁步，與左小腿夾角60°。重心仍在左腿上。與起步對(duì)稱。（4）重心移動(dòng)。同（2），其中左腿變?yōu)橛彝?。?）邁步。同（3），其中右腿變?yōu)樽笸取?/p>

至此，經(jīng)（2）重心移動(dòng)—（3）邁步—（4）重心移動(dòng)—（5）邁步，形成一個(gè)行走周期。接著可以繼續(xù)此周期。（1）起步與邁步對(duì)接；行走終止可中止于一個(gè)周期的任何一個(gè)環(huán)節(jié)，最后還原為起步狀態(tài)。

該兩截剛桿腿部模型的局限性，一是在重心移動(dòng)環(huán)節(jié)，沒有設(shè)定“腿部改變夾角”的角度，無(wú)法避免重心起伏；二是在邁步環(huán)節(jié)，因?yàn)槭呛?jiǎn)化模型，沒有模擬人下肢的腳踝，邁步中表現(xiàn)為繞髖關(guān)節(jié)向外劃弧后著地（圖3）。

（三）連桿機(jī)構(gòu)模型及拉與推手推車所用力相等

為克服兩截剛桿腿部模型的局限性，建立連桿機(jī)構(gòu)模型。

1.連桿機(jī)構(gòu)模型的建立

兩腿分別使用一套波舍利直線運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)（Peaucellier-Lipkin linkage），或者霍肯直線運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)（Hoeckens Linkage）。一腿的兩個(gè)端點(diǎn)固定在軀干上，另一腿對(duì)稱固定；軌跡為直線的點(diǎn)視為腳（圖4）。

2.連桿機(jī)構(gòu)模型的行走設(shè)定及效果

兩腿交替行走，假設(shè)重心橫向移動(dòng)為零，最大步幅是以軌跡為直線的點(diǎn)的極限，步幅可以是極限內(nèi)的任意長(zhǎng)度，不限定每一步幅長(zhǎng)度。

在以上設(shè)定下，連桿機(jī)構(gòu)模型重心運(yùn)動(dòng)軌跡與路面平行，得出連桿機(jī)構(gòu)模型的阻力矩為零，得出連桿機(jī)構(gòu)模型可以無(wú)阻力地運(yùn)動(dòng)。

3.連桿機(jī)構(gòu)模型推手推車的運(yùn)動(dòng)狀況分析

（1）連桿機(jī)構(gòu)模型增設(shè)手臂，推手推車時(shí)，設(shè)為單一剛桿，手掌摩擦力無(wú)窮大，單一剛桿可以從任意角度過(guò)手推車質(zhì)心施力；拉手推車時(shí)，設(shè)為繩，繩可以從任意角度過(guò)手推車質(zhì)心施力；無(wú)論推還是拉，連桿機(jī)構(gòu)模型的手臂均具有單一剛桿及繩兩個(gè)功能。（2）設(shè)手推車質(zhì)量為m；連桿機(jī)構(gòu)模型質(zhì)量為M，自由落體加速度為g。對(duì)手推車所施的力為F，連桿機(jī)構(gòu)模型腳部靜摩擦力的反作用力為Ffoot，視為腳發(fā)力。手推車重力為Fgm，連桿機(jī)構(gòu)模型重力為FgM。（3）對(duì)施力角度，建立平面直角坐標(biāo)系XOY，設(shè)O為手推車質(zhì)心，以X軸正向?yàn)?度，計(jì)算推車夾角θ。

在以上設(shè)的情況下，連桿機(jī)構(gòu)模型推手推車的運(yùn)動(dòng)狀況為：

Ffoot=Fcosθ （1.1）

Fcosθ=（M+m）a （1.2）

Ffoot==（M+m）a （1.3）

（1.1）表明腳部發(fā)力，與連桿機(jī)構(gòu)模型推力Fcosθ相等。（1.2）表明M及m由連桿機(jī)構(gòu)模型、手推車分別的承擔(dān)力為多少，不影響運(yùn)動(dòng)狀況；M與m之和作為確定值，共同影響影響運(yùn)動(dòng)狀況。（1.3）表明腳部發(fā)力Ffoot，決定M+m的加速度a。

所以，發(fā)力大小及方向由Ffoot決定，F(xiàn)及θ只是傳導(dǎo)機(jī)構(gòu)，不改變Ffoot發(fā)力的大小及方向；Ffoot影響M+m的運(yùn)動(dòng)狀況，決定a的大小。

4.連桿機(jī)構(gòu)模型推手推車的省力狀況說(shuō)明

省力與否，決定于一定的Ffoot之下a的大小。前面已經(jīng)有結(jié)論Ffoot=（M+m）a，一定的Ffoot產(chǎn)生確定的a，二者成正比。F及θ只是傳導(dǎo)機(jī)構(gòu)，不改變Ffoot發(fā)力的大小及方向，與省力與否無(wú)關(guān)。

區(qū)分推力角度不同的情況，具體說(shuō)明如下：

（1）在第一象限，推力指向手推車質(zhì)心O，與水平面呈一定角度θ（如30度）推車。部分M由手推車承擔(dān)。（2）θ順時(shí)針轉(zhuǎn)，直到X軸正向，推力指向手推車質(zhì)心O，以0度推車。Fcos0=（M+m）a，F(xiàn)=（M+m）a，a與F成正比，F(xiàn)對(duì)a的影響達(dá)到最大值，最省力。（3）θ逆時(shí)針轉(zhuǎn)，直到90度。相當(dāng)于坐。（4）θ逆時(shí)針轉(zhuǎn)，過(guò)0度，反方向運(yùn)動(dòng)。（5）θ順時(shí)針轉(zhuǎn)，過(guò)90度，相當(dāng)于拉。（6）θ順時(shí)針轉(zhuǎn)，過(guò)90度，直到180度。相當(dāng)于扛。（7）θ順時(shí)針轉(zhuǎn)，過(guò)180度，反方向運(yùn)動(dòng)。（8）θ順時(shí)針轉(zhuǎn)，繼續(xù)過(guò)180度，直到270度，反方向運(yùn)動(dòng)。同90度，但方向相反。（9）θ順時(shí)針轉(zhuǎn)，繼續(xù)過(guò)270度，與（4）相同。

以上為全方位（角度）360度。

以上推改為拉，二者的結(jié)果是一樣的。

俗話說(shuō)：“背著抱著一般沉?！北疚奶岢?，在設(shè)定條件下，連桿機(jī)構(gòu)模型拉與推手推車所用力相等，可推出一個(gè)匪夷所思的結(jié)論：“扛著坐著一般沉?！?/p>

實(shí)際中，列車在鐵軌上運(yùn)行，重心起伏較為平緩，機(jī)車施力于車輛，拉與推區(qū)別不大。

五、初步結(jié)論及未盡問(wèn)題

對(duì)第一種情況“拉的方法省力”，本文簡(jiǎn)單明確了基于克服摩擦力，形成“拉的方法省力”的結(jié)論。對(duì)于第二種情況“推的方法省力”，本文分層次提出了重點(diǎn)。首先明確了阻力矩決定手推車運(yùn)動(dòng)的力。之后提出是否省力，需要比較手推車與人兩個(gè)系統(tǒng)，看哪一個(gè)需要克服阻力的力更小。最后列舉極端情況，扛著手推車與坐著手推車作比較。對(duì)第三種情況“拉與推所用力相等”，本文作了較為詳細(xì)的分析。一方面說(shuō)明在理想狀態(tài)下，手推車可以無(wú)阻力地運(yùn)動(dòng)。另一方面，分析了人的行走模型，利用波舍利直線運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)（及霍肯直線運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)）建立了連桿機(jī)構(gòu)模型，得出在設(shè)定條件下，拉與推手推車所用力相等的結(jié)論。最后，同樣列舉極端情況，機(jī)車在鐵軌上拉與推車輛區(qū)別不大。對(duì)第四種情況“無(wú)法判斷”拉與推哪種方法省力，筆者還不能提出實(shí)例，沒有能夠給出結(jié)論。

個(gè)人能力有限，此研究還有很多需要改進(jìn)完善之處。如果將此問(wèn)題展開研究是十分復(fù)雜的，例如，動(dòng)摩擦如何向靜摩擦過(guò)渡，以及影響動(dòng)摩擦與靜摩擦的參數(shù)有何關(guān)系，并且人所施加的力對(duì)它們有何影響，雙足行走模型與現(xiàn)實(shí)的差別，加上腳踝后施力方式的改變，等等。

參考文獻(xiàn)：

[1]哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2009.

[2]李紅征.小型雙足機(jī)器人的行走研究[D].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2008.

[3]顧森.思考的樂趣[M].北京：人民郵電出版社，2012.