二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計的“三個出發(fā)點”

江蘇省泰州市民興市實驗中學(xué) 程 兵

課堂教學(xué)設(shè)計是為了實現(xiàn)課時教學(xué)目標(biāo)對課堂教學(xué)過程和行為的規(guī)劃，新時代數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的設(shè)計要堅持立德樹人的方向、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；設(shè)計的目的要幫助學(xué)生掌握課時教學(xué)內(nèi)容、達成學(xué)習(xí)目標(biāo)。理想的課堂教學(xué)設(shè)計既能夠提高學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)，又能夠讓學(xué)生掌握知識、減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，提高課堂教學(xué)的質(zhì)量。以二次函數(shù)y=ax2+bx+c為例，課堂教學(xué)的設(shè)計應(yīng)該堅持“三個出發(fā)點”。

一、建構(gòu)二次函數(shù)知識為基礎(chǔ)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)極其重要的內(nèi)容，連接著高中函數(shù)的學(xué)習(xí)，承上啟下，二次函數(shù)是描述實際生活中變量之間關(guān)系，尤其是解決單變量最優(yōu)化問題的重要數(shù)學(xué)模型。我們要幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)的概念、原理、運用，培養(yǎng)學(xué)生借助二次函數(shù)的模型解決實際問題，學(xué)以致用。

1.二次函數(shù)的教學(xué)設(shè)計思路

由個別到一般，由一般到特殊，即固定參數(shù)值探究到參數(shù)分類，即y=2x2、y=-2x2到y(tǒng)=ax2；由簡單到復(fù)雜，由復(fù)雜到簡單，即研究拋物線y=ax2到y(tǒng)=ax2+c再到y(tǒng)=a（x+b）2+c并分析三者之間的關(guān)系，再由y=ax2+bx+c探究參數(shù)及y與x之間變量的關(guān)系。注意“變化中的不變量”到“不變中的變化量”；注意合理利用函數(shù)的對稱性質(zhì)研究問題。學(xué)生通過自主繪制函數(shù)圖像，觀察比較圖像，合作交流分享探究的結(jié)果，建立數(shù)形結(jié)合的思想。理解y=ax2+bx+c的概念、原理、變量關(guān)系的基礎(chǔ)上運用于生產(chǎn)、生活實踐，解決單變量最優(yōu)化問題，解決實際生活中最大值和最小值。

2.設(shè)計二次函數(shù)的教學(xué)過程

數(shù)學(xué)發(fā)生和發(fā)展的過程與學(xué)生探究知識認(rèn)知過程相結(jié)合，一是提出問題、明確學(xué)習(xí)目標(biāo)、引導(dǎo)學(xué)生探究。二是參數(shù)取值、作圖分析，同一坐標(biāo)系中比較y=ax2、y=ax2+c、y=ax2+bx+c圖像；選取不同的a、b、c參數(shù)值，在同一坐標(biāo)系建立函數(shù)圖像，并分析與y=ax2的關(guān)系，要求學(xué)生緊緊抓住對稱軸、頂點、開口方向、增減變化進行觀察、分析、歸納。探究具體數(shù)學(xué)情境問題的解決，鞏固知識。

二、建立二次函數(shù)模型為手段

設(shè)計數(shù)學(xué)模型或者設(shè)計學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型可以幫助學(xué)生克服理解二次函數(shù)的邏輯思維、空間想象能力的不足。讓學(xué)生借助圖像的變化來探究二次函數(shù)的概念及性質(zhì)。如拋物線y=3x2+4 和拋物線y=3x2-4，如何由拋物線y=3x2平移而來；二次函數(shù)y=3(x-4)2與拋物線y=3(x+4)2，如何由拋物線y=3x2 平移而來。探討二次函數(shù)y=3x2,y=3(x-4)2,y=3(x-4)2+2 的圖像的平移關(guān)系,確定它們的圖像的三大特征，并判斷增減情況。

由個別到一般。建立函數(shù)y=ax2、y=ax2+b、y=a(x+c)2+m的圖像模型，分析這三個函數(shù)圖像模型的相同點與不同點，在其基礎(chǔ)上能夠根據(jù)圖像判斷二次函數(shù)的解析式。比較函數(shù)y=ax2與y=a(x+c)2 +m的圖像，探究兩個圖像之間的聯(lián)系，二次項系數(shù)相同，則函數(shù)圖像相同，頂點坐標(biāo)不同，圖像位置不同。理解“括號內(nèi)加減左右移”“括號外加減上下移”圖像。建立y=2x2和y=-2x2的函數(shù)模型，定點都是原點，拋物線相同，開口方向相反，對稱軸都是y軸。進一步要求學(xué)生觀察、分析拋物線的特征，來理解二次函數(shù)的增減性、極值等性質(zhì)；利用圖像來判別二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c、Δ 以及由系數(shù)組成的代數(shù)式的符號等。在遇到比較復(fù)雜的代數(shù)式的符號判斷時，可采用特殊值法處理。模型的平移和翻轉(zhuǎn)，將書本上抽象的知識，直觀動態(tài)地展示給學(xué)生，為學(xué)生探究二次函數(shù)的概念和性質(zhì)發(fā)揮了體驗的作用。

三、理解運用二次函數(shù)為核心

借助模型進行數(shù)學(xué)運用對于提高課堂教學(xué)質(zhì)量、幫助學(xué)生理解運用數(shù)學(xué)知識有重要的意義。改變了教師講授者、學(xué)生被動接受者的角色，設(shè)計學(xué)生數(shù)學(xué)建模的教學(xué)情境，能夠以學(xué)生為主體、問題為中心、探究為手段，有效調(diào)動學(xué)生數(shù)學(xué)潛能，讓學(xué)生成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人。

1.設(shè)計引導(dǎo)學(xué)生思考的情境

教學(xué)情境是教學(xué)設(shè)計的重要內(nèi)容，二次函數(shù)教學(xué)設(shè)計應(yīng)該設(shè)計情境，提出假設(shè)，建立模型，運用二次函數(shù)的概念、原理解決實際問題。如直線 經(jīng)過點A（4，0）和點B（0，4），且與二次函數(shù)y= 的圖像在第一象限內(nèi)相交于點P，若△AOP的面積為，求二次函數(shù)的解析式。

2.設(shè)計學(xué)生理解知識的情境

單變量最優(yōu)化問題是二次函數(shù)的重要運用，有助于學(xué)生加深二次函數(shù)原理的理解：要修一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m 處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管應(yīng)多長？這個問題的解決，需要建立豎直安裝的水管，設(shè)為y軸，與水管垂直的為x軸，池中心為原點直角坐標(biāo)系，借助二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，利用二次函數(shù)的知識，求出水管的長度。

3.設(shè)計學(xué)生綜合知識的情境

如成本投入與盈利的關(guān)系問題，企業(yè)需要最大化盈利，可以設(shè)計建立二次函數(shù)模型，探索最佳的盈利方案：某企業(yè)如果單獨投資A產(chǎn)品，投入資本是x萬元，能夠獲得利潤yA萬元，成本與獲利是正比例函數(shù)關(guān)系yA=kx，假設(shè)投入資本5 萬元，能夠獲得利潤2 萬元。如果單獨投資B產(chǎn)品，投入資本是x萬元，能夠獲得利潤yB萬元，成本與獲利是二次函數(shù)關(guān)系yB=ax2+bx，假設(shè)投入資本2 萬元，能夠獲得利潤2.4 萬元；假設(shè)投入資本4 萬元，能夠獲得利潤3.2 萬元。這個企業(yè)用于投資A、B兩種產(chǎn)品的資本只有10 萬元，怎樣投資才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？學(xué)生在解讀情境的基礎(chǔ)上建立正比例函數(shù)和二次函數(shù)模型，探索二次函數(shù)和正比例函數(shù)的最大值，尋求最大利潤的方案。

凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢。教學(xué)設(shè)計是實現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的重要準(zhǔn)備，有的時候還需要對學(xué)生可能生成的問題進行預(yù)設(shè)。當(dāng)然真正的課堂教學(xué)還需要依據(jù)教學(xué)的實際情況，作出相應(yīng)的調(diào)整，要立足課堂，立足學(xué)生學(xué)情，設(shè)計激發(fā)學(xué)生思考的真實情境、有效情境，為學(xué)生素養(yǎng)的形成、未來的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。