基于魯棒優(yōu)化模型的農(nóng)產(chǎn)品供銷問題研究*

李麗麗，王 斌

(山西農(nóng)業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，山西 太谷 030801)

0 引言

在將農(nóng)產(chǎn)品運(yùn)往市場(chǎng)之前，我們往往無法預(yù)測(cè)到市場(chǎng)的需求情況。當(dāng)對(duì)需求地的供應(yīng)量大于需求地的需求量時(shí)，這種供大于求的市場(chǎng)局面導(dǎo)致的結(jié)果將是農(nóng)產(chǎn)品滯銷，價(jià)格下跌，又由于農(nóng)產(chǎn)品的保質(zhì)期一般都比較短，從而對(duì)銷售者而言勢(shì)必造成一定的損失。但是另一方面，若對(duì)需求地的供應(yīng)量小于需求地的需求量時(shí)，雖然能夠短期內(nèi)將農(nóng)產(chǎn)品銷售出去，但也會(huì)由于小的供應(yīng)量使得銷售者不能獲得最大效益。因此，對(duì)銷售者而言如何決定運(yùn)往需求地的運(yùn)量是亟待解決的問題。曲亞萍[1]為克服疏散交通管理中需求信息的不確定性，運(yùn)用魯棒優(yōu)化的思想將原來的確定型模型轉(zhuǎn)化為不同不確定需求情況下的魯棒對(duì)應(yīng)模型；劉?；踇2]針對(duì)農(nóng)業(yè)資源運(yùn)輸中以及農(nóng)產(chǎn)品的收購和集中銷售點(diǎn)問題的魯棒性問題為研究背景，根據(jù)農(nóng)業(yè)資源中的運(yùn)輸條件的各種影響因素建立混合魯棒優(yōu)化模型。

在將農(nóng)產(chǎn)品運(yùn)往市場(chǎng)之前，我們往往無法預(yù)測(cè)到市場(chǎng)的需求情況。而且歷史數(shù)據(jù)通常極其有限無法明確其準(zhǔn)確的概率分布。因此，采用一種優(yōu)化方法，納入需求信息缺失的特征且無需考慮需求的具體分布。基于此，提出了一種不確定環(huán)境下的建模策略[3,5-9]。它將魯棒思想用于隨機(jī)優(yōu)化的模型中[4]，在只知道概率分布所滿足的一些條件下，比如一階矩信息、二階矩信息以及支撐集合信息等，尋求所有滿足條件的分布中使目標(biāo)函數(shù)最差的可能分布，并在最差的分布下找尋最優(yōu)解的一種方法。

1 問題描述及農(nóng)產(chǎn)品運(yùn)輸?shù)聂敯裟Ｐ?/h2>

1) 假設(shè)農(nóng)產(chǎn)品的保質(zhì)期都非常短且不易貯存；

2) 考慮一種類型的農(nóng)產(chǎn)品運(yùn)往多個(gè)銷售地；

3) 假設(shè)運(yùn)輸途中沒有農(nóng)產(chǎn)品的損耗。

相關(guān)符號(hào)為：

1.1 參數(shù)

n：銷售地的個(gè)數(shù)；

c=(c1,c2,…,cn):ci運(yùn)往銷售地i單位農(nóng)產(chǎn)品的成本；

Mi：運(yùn)往銷售地i農(nóng)產(chǎn)品的成本預(yù)算；

λi：運(yùn)輸量超過銷售地i市場(chǎng)的需求量時(shí)單位農(nóng)產(chǎn)品的持有成本；

h1：對(duì)銷售者而言，運(yùn)量滿足銷售地需求的單位收益效用系數(shù)；

h2：對(duì)銷售者而言，運(yùn)量未滿足需求的單位損失效用系數(shù)；

wk：由于市場(chǎng)的變化及環(huán)境等外界因素變化的可能情況，k=1,2,...,v；

xi(wk)：情景wk下銷售地i農(nóng)產(chǎn)品的需求量。

1.2 決策變量

r=(r1,r2,…,rn)：對(duì)各銷售地農(nóng)產(chǎn)品的運(yùn)量，其中ri表示運(yùn)往銷售地i農(nóng)產(chǎn)品的運(yùn)量。

我們用一個(gè)分段線性函數(shù)來刻畫需求地農(nóng)產(chǎn)品資源需求的效用函數(shù)[1]：

在農(nóng)產(chǎn)品供應(yīng)中，若農(nóng)產(chǎn)品資源供應(yīng)量大于需求量可能對(duì)銷售者造成無法補(bǔ)救的損失，而且根據(jù)Tversky& Kahneman的前景理論，本文認(rèn)為h1

2 需求信息缺失下的魯棒資源配置模型

銷售者對(duì)銷地所需農(nóng)產(chǎn)品的需求量很難做出準(zhǔn)確的估計(jì)，但根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，資源需求量x為滿足如下條件的概率分布：

Γ(μ,σ2)={F∶EF[x]=μ,EF[x2]=μ2+σ2}.(2)

其中，μ為需求分布的均值，μ2+σ2為需求分布的方差。銷售者要基于以上的有限信息進(jìn)行決策，為了克服由于需求分布信息缺失所造成的困難，我們以最小化最差分布下的總成本為目標(biāo)，構(gòu)建魯棒資源配置模型。

(3)

模型等價(jià)于

(4)

3 模型求解

maxf(ri)=maxF∈Γ(μ,δ2)EF[U(ri,xi(wk))]-ciri
s.t.ciri≤Mi
ri≥0

(5)

等價(jià)于下面的形式

min-f(ri)=maxF∈Γ(μ,δ2)EF[Q(ri,xi(wk))]+ciri
s.t.ciri≤Mi
ri≥0

(6)

首先，分析模型內(nèi)部的極大化問題maxF∈Γ(μ,δ2)EF[Q(ri,xi(wk))]，受Scarf(1958)[10]利用對(duì)偶方法求解模型的啟發(fā)，我們將上述極大化問題視為原問題。

(7)

則它的對(duì)偶問題為

(8)

令1(xi(wk))=y1+xi(wk)y2+xi(wk)2y3，Q(r)=maxF∈Γ(μ,δ2)EF[Q(ri,xi(wk))]，F(xiàn)*(xi(wk))為原問題的最優(yōu)解，(y1,y2,y3)為對(duì)偶問題的最優(yōu)解。若強(qiáng)對(duì)偶定理成立，則原問題與對(duì)偶問題的最優(yōu)解滿足互補(bǔ)松弛條件：

(9)

(10)

原問題的最優(yōu)解dF*(xi(wk))擁有非零概率。換言之，原問題的最優(yōu)解應(yīng)在l(x)和Q(r,x)的公共點(diǎn)處取得，并且知道l(x)和Q(r,x)至多有2個(gè)公共點(diǎn)。

基于上述分析，我們?cè)谙旅娴亩ɡ碇薪o出最差分布下應(yīng)急決策者資源的最優(yōu)儲(chǔ)備量的閉式表達(dá)式。

定理[2]：

(ii)若：

(11)

運(yùn)往銷售地i的最優(yōu)運(yùn)輸量為：

(12)

(iii)若：

(13)

證明：令p1=p(x1),p2=p(x2)，則問題化為：

(14)

情形1：假設(shè)l(x),Q(r,x)相切，兩個(gè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x2，且0

l(x1)=Q(r,x1)
l′(x1)=Q′(r,x1)
l(x2)=Q(r,x2)
l′(x2)=Q(r,x2)

(15)

根據(jù)等式組(12)，易于求出x1+x2=2r；且x1,x2應(yīng)滿足可行性條件：

(16)

同時(shí)對(duì)偶問題的可行解為

(17)

Q1(r)=Q(r,x1)p1+Q(r,x2)p2=

y1+μy2+(μ2+σ2)y3=

(h1+h2+λ)+rλ+h2μ.

(18)

因此原問題與對(duì)偶問題的強(qiáng)對(duì)偶性成立。

情形2：假設(shè)l(x),Q(r,x)相切與一點(diǎn)，相交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1=0，即(0,rλ)，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x2。有下面的等式成立

(19)

根據(jù)上面等式求出對(duì)偶問題的最優(yōu)解

(20)

x1,x2應(yīng)滿足原問題的約束條件，從而求得

(21)

綜上，兩點(diǎn)分布F(x):(xi,pi),i=1,2是滿足互補(bǔ)松弛條件的原問題的可行解，(y1,y2,y3)是滿足互補(bǔ)松弛條件的對(duì)偶問題的可行解。同樣，容易驗(yàn)證原問題和對(duì)偶問題的最優(yōu)目標(biāo)值等同：

(22)

因此，原問題與對(duì)偶問題的強(qiáng)對(duì)偶性質(zhì)成立。

綜上兩種情形，最差分布下第二階段的成本與效用損失之和最大為：

(23)

(24)

下面，我們證明f(r)=Q(r)-cr在區(qū)間[0,+∞)上的可微性。

因?yàn)镼(r)是由兩種分布情形下的函數(shù)分段組合而成，而這兩個(gè)函數(shù)顯然都是可微的，所以我們只需要證明在兩種情形的連接點(diǎn)處也是連續(xù)可微的。

(25)

其一階導(dǎo)數(shù)

(26)

進(jìn)而，其二階導(dǎo)數(shù)為：

(27)

(28)

5 結(jié)束語

由于市場(chǎng)對(duì)農(nóng)產(chǎn)品的需求量往往受外界環(huán)境的影響，我們對(duì)農(nóng)產(chǎn)品的需求量很難做到準(zhǔn)確的把握，如果農(nóng)產(chǎn)品銷售者盲目的決定運(yùn)往需求地的運(yùn)量將會(huì)使其造成一定的損失，從而得不到最大利潤(rùn)。本文通過建立魯棒優(yōu)化模型得到了在不同市場(chǎng)情況下運(yùn)往銷售地的最佳運(yùn)量，從而對(duì)農(nóng)產(chǎn)品銷售者而言可以獲得最大利潤(rùn)。這將對(duì)農(nóng)產(chǎn)品的經(jīng)營(yíng)者如何經(jīng)營(yíng)提供了理論基礎(chǔ)。

[1] 曲亞萍.突發(fā)事件下應(yīng)急資源管理的魯棒決策研究[D].重慶：重慶大學(xué),2014.

[2] 劉?；?基于魯棒優(yōu)化模型的農(nóng)業(yè)資源配置研究[D].舟山：浙江海洋學(xué)院,2014.

[3] 黃為.基于魯棒優(yōu)化的應(yīng)急資源配置研究[D].西安：西安電子科技大學(xué),2012.

[4] 徐家旺,黃小原.魯棒優(yōu)化研究的新進(jìn)展[J].中國(guó)企業(yè)運(yùn)籌學(xué),2007(1):14-20.

[5] 朱麗,李春發(fā).成本控制下考慮多商品物流配送線路安排的魯棒優(yōu)化模型[J],天津理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012(3)：76-79.

[6] 張玲,王晶,黃鈞.不確定需求下應(yīng)急資源配置的魯棒優(yōu)化方法[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2010,30(10):1283-1292.

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[10] Scarf H. A min-max Solution of an Inventory Problem [J]. In: Arrow K, Karlin S, Scarf H (eds),Studies in the Mathematical Theory of Inventory and Production.California: Stanford University Press,1958:201-209.