基于窗函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的教學(xué)案例探討*

王再見，閔福蓉，丁緒星

(安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

0 引言

《數(shù)字信號處理》是開設(shè)較為廣泛的信息類工科學(xué)生專業(yè)基礎(chǔ)課程，其教學(xué)需要培養(yǎng)學(xué)生以下能力：1) 能夠針對復(fù)雜工程問題設(shè)計解決方案，設(shè)計滿足需求的特定單元或工藝流程；2) 能夠基于科學(xué)原理采用科學(xué)方法研究工程問題，設(shè)計實驗、分析與解釋數(shù)據(jù)，并通過信息處理得到合理有效的結(jié)論；3) 能夠基于工程相關(guān)背景知識進行合理分析。上述能力的培養(yǎng)面向“華盛頓協(xié)議”，也是培養(yǎng)具有國際就業(yè)市場競爭力的工科人才的基本要求，符合信息時代高校育人要求[1,2]。圍繞上述能力培養(yǎng)，針對《數(shù)字信號處理》相關(guān)課程教學(xué)，相關(guān)專家和學(xué)者從不同角度進行了探討[3-5]，一線教師更是用多種具體舉措大力推進教學(xué)改革[6,7]。但是目前本科課堂教學(xué)依然多為刷題訓(xùn)練式的應(yīng)試教育模式[8]。

針對上述情況，本文針對《數(shù)字信號處理》中窗函數(shù)知識點設(shè)計教學(xué)案例，由理論到操作加強學(xué)生對該知識點的理解和運用。

1 線性相位FIR濾波器的特點

線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種濾波器，其特點可以從三個方面研究，分別為線性相位特性，幅頻響應(yīng)特性和零點分布特點。FIR濾波器具有線性相位的條件是，其單位脈沖響應(yīng)序列是實數(shù)，且滿足偶對稱或奇對稱。幅頻特性的對稱性與系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)序列h(n)和N的對稱性有關(guān)。對應(yīng)四種情況：1) 當(dāng)h(n)偶對稱，N為奇數(shù)時，H(w)關(guān)于直線w=0,π,2π具有偶對稱的結(jié)構(gòu)；2)當(dāng)h(n)偶對稱，N為偶數(shù)時，H(w)關(guān)于直線w=π具有奇對稱的結(jié)構(gòu)；3)當(dāng)h(n)奇對稱，N為奇數(shù)時，H(w)在w=0,π,2π處皆為零，且關(guān)于這些點有奇對稱的結(jié)構(gòu)；4)當(dāng)h(n)奇對稱，N為偶數(shù)時，H(w)在w=0,2π處為零，且關(guān)于這些點奇對稱。系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂,極點全部在z=0處(因果系統(tǒng))。上述特性在實際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)具體要求適當(dāng)選擇，滿足濾波器設(shè)計要求，優(yōu)化濾波效果[9]。

2 窗函數(shù)法設(shè)計原理

窗函數(shù)法的基本原理是尋找函數(shù)H(ejw)去逼近所要求的理想的濾波器響應(yīng)函數(shù)Hd(ejw)。從單位取樣響應(yīng)序列上看，就是使所設(shè)計的濾波器的h(n)逼近理想單位取樣響應(yīng)序列hd(n)。通過截取序列的一段代替無限長序列本身的方法被形象的理解為，有限長序列h(n)好比是一個從窗口看到的無限長序列的一段。因此序列h(n)可以表示為序列hd(n)和一個‘窗函數(shù)’的乘積。窗函數(shù)的種類有矩形窗、三角窗、漢寧窗、哈明窗、布萊克曼窗、凱賽-貝賽爾窗等。表1為幾種窗函數(shù)對應(yīng)的基本參數(shù)。本文是通過設(shè)計漢寧窗來設(shè)計濾波器的。漢寧窗,適用于非周期性的連續(xù)信號。在窗函數(shù)的選擇時需要考慮三個矛盾：1) 肩峰的大??；2) 余振的強度；3) 過渡帶的寬窄。所以應(yīng)適當(dāng)增加窗口長N,減小主瓣寬度，使過渡帶變窄；而盡量使能量集中于主瓣，減少肩峰和余振，這樣會增加主瓣寬度，這是相互矛盾的。表1為幾種窗函數(shù)的基本參數(shù)[9]。

表1 六種窗函數(shù)的基本參數(shù)

窗函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的步驟如下[9]:

1) 根據(jù)濾波器類型要求確定帶求濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)；

2) 根據(jù)濾波器衰減及過渡帶等技術(shù)要求確定窗函數(shù)的形式w(n),并估計窗長度N；

3) 計算所設(shè)計的濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列h(n)；

4) 驗算所設(shè)計濾波器是否滿足所給定的技術(shù)指標(biāo)要求。

3 濾波器設(shè)計過程示例

3.1 語音信號的采集與頻譜分析

語音采集于一段高音質(zhì)的詩歌朗誦，并用相應(yīng)軟件進行剪切處理，截取一段合適長度，并將其保存為后綴是.Wav的形式。在matlab軟件平臺下利用audioread函數(shù)對語音信號進行采樣，可以得到聲音的數(shù)據(jù)變量x1,和采樣頻率fs，并將其放進matlab工作空間。實現(xiàn)程序如下：

[x1,fs]=audioread(' ls.wav' );

sound(x1,fs);

subplot(1,2,1);

figure(1);

plot(x1);

sigLength=length(x1);

Y = fft(x1,sigLength);

Pyy = Y.* conj(Y)/sigLength;

halflength=floor(sigLength/2);

f=fs*(0:halflength)/sigLength;

subplot(1,2,2);

plot(f,Pyy(1:halflength+1));

圖1為原始語音信號的波形和頻譜圖。

圖1 原始信號波形和頻譜圖

3.2 語音信號的加噪與頻譜分析

在原始信號上直接加上一個高頻余弦噪聲，定義噪聲函數(shù)為d,設(shè)計固定頻率為8 000 Hz,并對加噪后的語音進行分析，并畫出其信號時域和頻譜圖，與原始信號對比。具體程序如下：

[x1,fs]=audioread(' ls.wav' );

x1=x1(:,1);

f=fs*(0:511)/1024;

t=0:1/fs:(size(x1)-1)/fs;

d=[0.05*cos(2*pi*8000*t)];

d=d.';

x3=x1+d;

sound(x3,fs);

figure(2);

plot(x3);

圖2 加噪后信號波形圖和頻譜圖

由圖2可知，加過噪音的信號在頻率為8 000 Hz處出現(xiàn)幅度峰值，其時域波形出現(xiàn)高頻余弦噪音，影響原始信號波形。此時通過sound()函數(shù)回放語音，聲音發(fā)生的嚴(yán)重失真，聽不清，伴有嘈雜聲，影響信息傳遞。

3.3 程序調(diào)用與分析

在matlab函數(shù)窗口中輸入fdatool,執(zhí)行，即可出現(xiàn)濾波器設(shè)計界面，在這里我們可以選擇濾波器的各種參數(shù)，具體界面如圖3所示。

由于本課原始語音分析后，頻率范圍在0～6 500 Hz范圍內(nèi)，噪音固定頻率為8 000，在頻譜圖中表現(xiàn)為8 000 Hz處有一段高峰，因此我們選擇低通濾波器，即選擇lowpass按鈕，我們采用的是窗函數(shù)設(shè)計FIR數(shù)字濾波器，對應(yīng)的在濾波器設(shè)計界面中可以直接選擇FIR列表中的window,濾波器的階數(shù)在這里暫時選擇的是50階的，選擇漢寧窗，阻帶衰減不小于44D=dB,同時可以輸入對應(yīng)的采樣頻率，采樣平率fs=44100,設(shè)置截止頻率為fc=5 000 Hz,點擊Design Filter即可。具體界面如圖3。

圖3 濾波器設(shè)計界面示例

圖3為Matlab軟件設(shè)計濾波器打開的初始畫面，可根據(jù)要求自主設(shè)計參數(shù)，滿足技術(shù)指標(biāo)。如圖3所示，可以選擇濾波器類型，低通、高通、帶通、帶阻。同時可以選擇設(shè)計濾波器的具體方法，如IIR濾波器設(shè)計可以選擇巴特沃斯濾波器設(shè)計法，F(xiàn)IR濾波器設(shè)計則可以選擇窗函數(shù)法或者是頻率采樣法等，有很大的靈活性。

從圖4可知，本文中濾波器為低通濾波器，用窗函數(shù)法設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器，窗口類型是漢寧窗，采樣頻率值為44 100 Hz，低通濾波器的截止頻率為5 000 Hz，并且當(dāng)頻率為8 000 Hz左右時，衰減接近58 dB,因此可以認(rèn)為噪音被濾除，對應(yīng)頻譜圖上則應(yīng)無相應(yīng)高峰。

在設(shè)計完濾波器后可以得到濾波器參數(shù)，定義為HN1，并將其放于matlab的工作空間，以便調(diào)用。從頻譜圖5中我們還可以看出聲音的能量信號主要集中在低頻部分，說明高頻語音信號被濾出，濾波器達到既定要求。具體程序如下：

x3=filter(HN1,1,x2);

figure(3);

subplot(1,2,1);

plot(x3);

sigLength=length(x3);

Y = fft(x3,sigLength);

Pyy = Y.* conj(Y)/sigLength;

halflength=floor(sigLength/2);

f=fs*(0:halflength)/sigLength;

subplot(1,2,2);

plot(f,Pyy(1:halflength+1));

圖4 濾波器設(shè)計參數(shù)設(shè)置

圖5 濾波后語音信號波形和頻譜圖

從圖5看出噪音所在頻率范圍內(nèi)無峰值，說明語音經(jīng)過濾波后還原為原始語音，濾波器濾除了外加的高頻余弦噪音，同時也可以通過Matlab語句播放語音，從聽覺進一步驗證噪音是否濾除，原始語音是否不失真。通過與原始語音頻譜圖的對比得出，濾波器上雖然濾除了噪音，但是對原始語音也存在一定影響，因此目前為了更完善濾波效果，可在后續(xù)階段學(xué)習(xí)自適應(yīng)濾波法。

4 結(jié)束語

本文設(shè)計的課堂教學(xué)案例,通過對一段原始語音加噪，讓學(xué)生直觀分析頻譜特性，在介紹窗函數(shù)法及FIR濾波器原理的基礎(chǔ)上，基于計算機工具用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器濾除噪音，通過繪制濾波后時域和頻域圖形與原始波形圖比較，分析濾波效果，并通過matlab軟件的sound()函數(shù)讓學(xué)生聽濾波效果、對比濾波前后語音的清晰度和音質(zhì)。后續(xù)讓學(xué)生自行調(diào)節(jié)有關(guān)技術(shù)指標(biāo)，驗證參數(shù)調(diào)節(jié)會對濾波器產(chǎn)生的影響。通過圖形觀察、數(shù)據(jù)分析和工具調(diào)用，加深了學(xué)生對濾波原理的理解，提高了他們解決問題的能力，達到了預(yù)期教學(xué)效果。

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