考慮凍土雙向凍脹與襯砌板凍縮的大型渠道凍脹力學(xué)模型

肖 旻，王正中,3※，劉銓鴻，王 羿，葛建銳，王興威

（1. 西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，楊凌 712100；2. 西北農(nóng)林科技大學(xué)旱區(qū)寒區(qū)水工程安全研究中心，楊凌 712100；3. 中國科學(xué)院寒區(qū)旱區(qū)環(huán)境與工程研究所凍土工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，蘭州 730000）

0 引 言

近年來，大型渠道在中國北方灌區(qū)續(xù)建配套、節(jié)水改造工程和長距離跨流域調(diào)水工程中得到廣泛應(yīng)用，然而渠道在冬季極易遭受凍脹破壞[1]。眾多學(xué)者對渠道凍脹破壞機(jī)理進(jìn)行了研究。如王正中等對梯形與弧底梯形渠道[2-3]、申向東等對預(yù)制板梯形渠道[4]，宋玲等[5]對冬季輸水的渠道分別提出凍脹力學(xué)模型，但均未考慮凍土雙向凍脹與襯砌板凍縮應(yīng)力的影響。凍土雙向凍脹是指土體在凍結(jié)過程中除沿溫度梯度方向存在凍脹以外（法向凍脹），垂直溫度梯度方向也會發(fā)生凍脹（切向凍脹）[6-8]。對大型渠道而言，由于渠坡較長，切向凍脹不可忽視。Michalowski等[9-10]基于孔隙率模型用體積應(yīng)變張量表征凍土凍脹縱橫向差異，體現(xiàn)凍土的雙向凍脹；王正中等[11]對擴(kuò)大墻基的凍脹力學(xué)分析考慮了凍土雙向凍脹的影響；Feng等[12-13]考慮寒區(qū)隧道襯砌與圍巖接觸界面層上法向和切向的凍脹作用導(dǎo)出凍脹應(yīng)力和應(yīng)變的解析解；蔡海兵等[14-15]通過引入凍脹變形特征系數(shù)表征凍土的雙向凍脹差異，并對凍結(jié)期隧道的地層位移進(jìn)行計(jì)算；Amanuma等[16]通過三軸土體凍脹試驗(yàn)對垂直溫度梯度方向的側(cè)壓進(jìn)行研究，指出對凍土縱橫 2個方向上的凍脹進(jìn)行綜合分析對工程凍脹破壞分析具有重要意義。此外，有研究表明[17-20]，大型混凝土板結(jié)構(gòu)中由于溫度變化引起的材料脹縮受地基約束而產(chǎn)生的應(yīng)力是不可忽略的，因此，大型渠道襯砌的凍縮應(yīng)力也是必須考慮的。

該文把大型渠道襯砌板在負(fù)溫條件下的凍脹破壞視為凍土凍脹與襯砌板凍縮共同作用的結(jié)果，結(jié)合Winkler假設(shè)，考慮凍土凍脹變形的雙向凍脹差異，提出開放系統(tǒng)梯形渠道襯砌板法向凍脹力和切向凍脹力分布的計(jì)算方法?；诖?，本文針對開放系統(tǒng)大型現(xiàn)澆混凝土襯砌渠道，綜合考慮凍土雙向凍脹和襯砌板凍縮的影響建立渠道凍脹力學(xué)模型。

1 開放系統(tǒng)大型梯形襯砌渠道的凍脹特征

開放系統(tǒng)渠道是指因地下水位較淺使基土凍結(jié)過程中存在明顯水分補(bǔ)給的襯砌渠道[21-22]。與一般渠道相比，旱寒區(qū)開放系統(tǒng)大型渠道具有以下凍脹特征：

1）對開放系統(tǒng)渠道，地下水補(bǔ)給是影響土體凍脹強(qiáng)度的主導(dǎo)因素。即使渠道基土初始含水率較低時凍脹也依然嚴(yán)重，且越靠近渠坡下部，凍脹強(qiáng)度受地下水的影響越大，分布越不均勻；越靠近渠坡上部，凍脹強(qiáng)度受地下水的影響越小，基土凍脹強(qiáng)度較小且趨于均勻分布。

2）寒區(qū)工程結(jié)構(gòu)受切向凍脹力作用的實(shí)質(zhì)是凍土凍脹受側(cè)向約束產(chǎn)生反作用力[23]。中小型渠道由于渠坡較短，凍土在平行坡板方向上凍脹變形的累積效應(yīng)較弱，因此在已有研究中較少考慮。但大型渠道渠坡較長，切向凍脹沿平行襯砌板方向的累積效應(yīng)不可忽略。需要指出的是，凍土與襯砌板界面層上的凍土切向凍脹受上覆土體和襯砌板的雙重約束，其中被襯砌板約束的凍脹才實(shí)際產(chǎn)生切向凍脹力，因此在計(jì)算襯砌板所承受的切向凍脹力時應(yīng)按其受上覆土體自重進(jìn)行折減。

3）開放系統(tǒng)渠道基土凍結(jié)過程中存在明顯的沿溫度梯度方向的水分遷移。加之季節(jié)凍土區(qū)冬季漫長，基土凍結(jié)緩慢，更有利于層狀冰的形成（圖1）[23-26]，其凍脹變形表現(xiàn)為正交各向異性即雙向凍脹差異[8-11,14-15,27]。因此，開放系統(tǒng)渠道凍脹破壞研究須考慮凍土在 2個正交方向上凍脹強(qiáng)度的差異。渠道斷面呈槽形，渠基凍土溫度場即等溫線分布也呈槽形，且在凍深范圍內(nèi)各條等溫線之間可以近似地認(rèn)為互相平行且平行于襯砌板[28-29]。

圖1 渠基凍土的層狀冰構(gòu)造Fig.1 Structure of ice interlayer in canal foundation frozen soil

4）對大型渠道而言，除外荷載引起的截面應(yīng)力外，襯砌板的凍縮應(yīng)力也不可忽略。此處凍縮應(yīng)力是指負(fù)溫下襯砌板凍縮受渠基土切向約束產(chǎn)生的溫度應(yīng)力[17-20]。

5）大型渠道斷面尺寸及渠深大，在非南北走向時陰、陽坡差異明顯，凍脹力學(xué)分析必須對陰、陽坡加以區(qū)分。

2 力學(xué)模型的基本假設(shè)和計(jì)算簡圖

2.1 基本約定和假設(shè)

結(jié)合已有研究成果和工程經(jīng)驗(yàn)[2-5]，作如下假設(shè)：1）渠道縱向尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸，對渠道襯砌的凍脹力學(xué)分析簡化為二維平面應(yīng)變問題。

2）由于冬季漫長，渠道基土凍結(jié)速率緩慢，襯砌結(jié)構(gòu)的凍脹破壞過程視為準(zhǔn)靜態(tài)過程，破壞前處于平衡狀態(tài)，破壞時則處于極限平衡狀態(tài)。

3）把渠基凍土視為服從 Winkler假設(shè)的彈性地基[30-32]，即襯砌上各點(diǎn)所承受的凍脹力大小僅由各點(diǎn)對應(yīng)處渠基凍土局部的凍脹特征決定，從而在特定地區(qū)特定氣象、土質(zhì)條件下，可以認(rèn)為襯砌板各點(diǎn)對應(yīng)處渠基凍土的凍脹強(qiáng)度由該點(diǎn)至地下水位的距離確定。

4）渠道坡板上的切向凍結(jié)力沿坡板呈線性分布，在坡頂處為0，坡腳處達(dá)到最大值[2-4]。

5）僅考慮上覆土體重力導(dǎo)致的沿平行襯砌板方向切向凍脹力的折減，暫不考慮上覆土體凍脹導(dǎo)致下部土體壓實(shí)引起的進(jìn)一步折減，這是偏安全的。

2.2 計(jì)算簡圖

根據(jù)工程力學(xué)方法對渠道襯砌結(jié)構(gòu)進(jìn)行凍脹力學(xué)分析，計(jì)算簡圖見圖2。圖2a為大型梯形渠道斷面示意圖。圖2b為坡板受力計(jì)算簡圖，圖中A點(diǎn)為坡頂，B點(diǎn)為坡腳，q(x)為分布在坡板底部的法向凍脹力，方向?yàn)榇怪卑逑蛲?；?x)為分布在坡板底部的切向凍脹力，方向?yàn)樽云履_沿渠坡指向渠頂；τ(x)為分布在坡板底部的切向凍結(jié)力，方向?yàn)樽郧斞厍轮赶蚱履_。圖2c為底板受力計(jì)算簡圖，qe為分布在底板底部的法向凍脹力，方向?yàn)榇怪卑逑蛲?。陰、陽坡坡板?jì)算簡圖均由圖2b表示。變量下標(biāo)i為m時為陰坡，為s時為陽坡，為e時為渠底。

圖2 大型梯形襯砌渠道斷面示意圖與受力計(jì)算簡圖Fig.2 Diagrammatic drawing of section and force situation of large-sized concrete lining trapezoidal canal

對坡板（圖2b）與底板（圖2c）分別建立坐標(biāo)系，坡板中以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，平行坡面指向坡腳處為x軸方向，垂直坡板向外為y軸方向；底板中以O(shè)′點(diǎn)為原點(diǎn)，平行底板向右為x軸方向，垂直底板向上為y軸方向。

3 襯砌板法向凍脹力和切向凍脹力的計(jì)算

3.1 法向凍脹力的計(jì)算

中國北部如新疆、甘肅等大多數(shù)省區(qū)的相關(guān)部門都設(shè)置大型凍脹試驗(yàn)場觀測地下水位對各類土質(zhì)基土凍脹強(qiáng)度的影響[23]。大量文獻(xiàn)和試驗(yàn)研究表明[22-23,28,33-36]，凍土凍脹強(qiáng)度（即凍脹率）與地下水位呈如下負(fù)指數(shù)關(guān)系

式中 ηn為凍土垂直襯砌板方向（即平行溫度梯度方向）的法向凍脹強(qiáng)度，%；z為計(jì)算點(diǎn)與地下水位間的距離，m；a、b為與當(dāng)?shù)貧庀?、土質(zhì)等影響因素有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，可由當(dāng)?shù)卦囼?yàn)數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合獲取。

前已述及，對開放系統(tǒng)渠道而言，特定地區(qū)特定氣象、土質(zhì)條件下，地下水遷移和補(bǔ)給強(qiáng)度是引起襯砌各點(diǎn)凍土凍脹強(qiáng)度差異的主導(dǎo)因素?；诖耍墒剑?）可得襯砌各點(diǎn)對應(yīng)基土凍脹強(qiáng)度公式如下

式中x為襯砌板各點(diǎn)的坐標(biāo)（坐標(biāo)系見圖2），m；ηn(x)為襯砌各點(diǎn)對應(yīng)處凍土的法向凍脹強(qiáng)度，%；z(x)為襯砌各點(diǎn)至地下水位的距離，m。

由式（2）可知襯砌各點(diǎn)對應(yīng)基土凍脹強(qiáng)度與至地下水位的距離呈負(fù)指數(shù)分布，該分布前段變化快而后段趨于均勻變化且數(shù)值較小。從而受地下水影響較大的渠坡中下部對應(yīng)函數(shù)前段變化快的部分[22-23,28,33-36]；受地下水影響很小的渠坡上部則正好對應(yīng)后段數(shù)值較小但趨于均勻變化的部分?？梢姛o論地下水影響較大的區(qū)域還是地下水影響很小的區(qū)域，式（2）都能很好地進(jìn)行描述。由假設(shè)3）及木下誠一提出的凍脹力與凍脹率的線性關(guān)系[22-23,37-38]，襯砌各點(diǎn)法向凍脹力由式（3）計(jì)算。

式中q(x)為襯砌各點(diǎn)法向凍脹力，kPa；Ef為凍土彈性模量，kPa。對坡板而言有如下幾何關(guān)系

式中z0為渠頂至地下水位的距離，m。對底板而言，板上各點(diǎn)至地下水位的距離z(x)為常數(shù)。

3.2 切向凍脹力的計(jì)算

土凍結(jié)時平行和垂直溫度梯度方向的凍脹強(qiáng)度存在差異，在氣象、土質(zhì)等因素確定時兩者存在一定的函數(shù)關(guān)系。Michalowski等[9-10]應(yīng)用孔隙率模型用增長張量按比例分配權(quán)重對凍土縱橫向凍脹率差異進(jìn)行描述；黃繼輝等[13]通過引入圍巖縱橫向凍脹不均勻系數(shù)表示兩者的比例關(guān)系；Kanie等[39]對Fujinomori黏土的相關(guān)測試也發(fā)現(xiàn)同組土樣縱橫向凍脹率有相同比值。參考上述研究，假定凍土與襯砌板接觸界面層上平行和垂直襯砌板方向上的凍土凍脹強(qiáng)度存在如下比例關(guān)系

式中ηt(x)為凍土平行襯砌板方向（即垂直溫度梯度方向）的切向凍脹強(qiáng)度，%；υ為比例系數(shù)，可對特定地區(qū)的特定土質(zhì)進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)獲取。如王正中、沙際德等[11,40]對蘭州黃土的試驗(yàn)結(jié)果表明，該地區(qū)該土質(zhì)條件下式（5）定義的比例系數(shù)υ可取為0.422。

加拿大學(xué)者Penner依據(jù)Linell-Kaplar公式[41]導(dǎo)出了一種計(jì)算外壓力荷載作用下凍土凍脹強(qiáng)度的計(jì)算方法[23,36-37,42-43]，該公式可以反映上覆土體重力荷載作用導(dǎo)致凍土凍脹強(qiáng)度的折減。公式如下

式中 η為外壓力荷載 p作用下的凍土凍脹強(qiáng)度，%；η0為無外荷載時凍土的自由凍脹強(qiáng)度，%；c為與當(dāng)?shù)貧庀?、土質(zhì)條件有關(guān)的經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。其中e-cp可視為外壓力作用下凍土凍脹強(qiáng)度的折減系數(shù)。

為簡化分析，認(rèn)為折減后渠基凍土剩余的凍脹強(qiáng)度全部由襯砌板約束并產(chǎn)生切向凍脹力，這是偏安全的。由此再結(jié)合式（5）、式（6），則襯砌板上各點(diǎn)受到的切向凍脹力可以由下式計(jì)算

式中γ為土體容重，kN/m3。

4 考慮凍土雙向凍脹的渠道凍脹力學(xué)模型

4.1 模型方程組的建立與求解

在凍脹力作用下，包括陰、陽坡板受到的法向凍結(jié)力 Nam、Nas和切向凍結(jié)力 τm(x)、τs(x)；陰坡與底板間垂直于坡板的相互作用力 Nbm及平行于坡板的相互作用力Ncm；陽坡與底板間垂直于坡板的相互作用力 Nbs及平行于坡板的相互作用力Ncs。模型共有8個未知量需要求解。

Ncm、Ncs主要由底板對坡板的頂托力產(chǎn)生，常表現(xiàn)為軸向壓力。為便于分析，取預(yù)設(shè)方向?yàn)樨?fù)值，但其余荷載仍取預(yù)設(shè)方向?yàn)檎?。分別由陰、陽坡板和底板的靜力平衡條件可得模型方程組如下

以上各式中l(wèi)1和b1分別為渠道坡板的長度和厚度，m；l2為渠道底板的長度，m；qe為渠道底板受到的法向凍脹力，kPa；θ為渠道坡板的傾角，（°）。聯(lián)立以上8個方程可以對前述的8個未知量進(jìn)行求解。

式中 τm(l1)、τs(l1)為坡板最大切向凍結(jié)力，kPa。由式（14）～式（21）可求出前述8個未知量，從而模型得解。

4.2 襯砌板內(nèi)力計(jì)算

1）以陰坡為例，導(dǎo)出渠道坡板內(nèi)力計(jì)算公式渠道坡板各截面的軸力計(jì)算公式

考慮到 h=l1·sinθ并結(jié)合式（16）可知渠道坡板兩端彎矩Mm(0)=Mm(l1)=0，這與已有研究結(jié)果一致[2-3]。

2）渠道底板的內(nèi)力計(jì)算公式

渠道底板各截面軸向內(nèi)力為壓力，而混凝土材料的抗壓能力較強(qiáng)，襯砌板通常不會因壓應(yīng)力過大而發(fā)生破壞[2-5]，故可不予驗(yàn)算?，F(xiàn)僅對渠道底板各截面彎矩進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算公式如下

式中xemax為渠底最大彎矩截面的坐標(biāo)，m。

以上為考慮陰、陽坡差異的一般模型，理論上在非南北走向時均應(yīng)考慮陰、陽坡差異，而對南北走向的特殊情形可以不區(qū)分陰、陽坡。當(dāng)采用不區(qū)分陰坡和陽坡的對稱模型時，由式（14）可得下式

代入式（25）可得渠底最大彎矩截面為xemax=0.5l2，符合已有研究結(jié)果[2-3]及工程實(shí)際。

5 襯砌板凍縮的溫度應(yīng)力計(jì)算及抗裂驗(yàn)算

5.1 襯砌板凍縮的溫度應(yīng)力計(jì)算

負(fù)溫下襯砌板凍縮變形受到凍土切向約束并阻止其變形，會在板內(nèi)產(chǎn)生溫度應(yīng)力[17-20]。以陰坡為例，把負(fù)溫下發(fā)生凍縮的襯砌板視為受一維切向約束的均勻收縮矩形梁，求解其溫度應(yīng)力分布。此處僅考慮溫降導(dǎo)致襯砌板凍縮引起的溫度應(yīng)力，即計(jì)算凍縮應(yīng)力時不考慮其他荷載的影響。由于對稱性，坡板中間截面位移為零[17-18]，兩側(cè)向中間截面收縮，凍土作用在襯砌板底面的切向約束反力應(yīng)沿底面指向兩端。由于渠道襯砌為薄板結(jié)構(gòu)，可認(rèn)為負(fù)溫條件下襯砌板均勻收縮，從而各截面凍縮應(yīng)力可近似取均勻分布。圖3為坡板凍縮的計(jì)算簡圖。全局坐標(biāo)系見圖2b，并如圖3所示建立局部坐標(biāo)系。

圖3 渠道坡板凍縮的計(jì)算簡圖Fig.3 Calculating diagram of frozen shrinkage stress of canal slope plate

考慮如圖3右側(cè)所示的長度為dx′的微元體，由水平方向上的靜力平衡可得平衡微分方程如下

式中 σt(x′)為襯砌板各截面凍縮應(yīng)力，kPa；τ′(x′)為凍土作用在襯砌板底面的切向約束反力，kPa。

襯砌板各截面同時受襯砌板凍縮和凍土的約束作用時還應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件

式中熱膨脹系數(shù)為αc，1/℃；各截面實(shí)際水平位移為u(x′)，m；被凍土約束的位移為uσ(x′)，m；ΔT表示溫差，℃。

對式（28）兩邊同時求導(dǎo)兩次，并考慮到應(yīng)力、應(yīng)變和位移的關(guān)系：σt(x′)=Ec·(duσ(x′)/dx′)，其中 Ec為混凝土彈性模量，MPa。則由假設(shè) 3），基土為服從 Winkler假設(shè)的彈性地基，各點(diǎn)切向約束力 τ′(x′)與相應(yīng)點(diǎn)實(shí)際水平位移 u(x′)成正比，即：τ′(x′)=kx·u(x′)，kx為各點(diǎn)發(fā)生單位水平位移時切向約束力大小[17,30-32]。結(jié)合式（27）、式（29）可得

求解式（30）可得其通解的形式如下

式中c1、c2為待定常數(shù)；sinh、cosh為雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)。該式應(yīng)滿足邊界條件：當(dāng) x′=0時，u(0)=0；當(dāng)x′= -l1/2 時，σt(-l1/2)=0。由此可解出 c1、c2，從而 u(x′)得解，再由應(yīng)力、應(yīng)變和位移間的關(guān)系可得陰坡坡板的凍縮應(yīng)力分布如下

通過坐標(biāo)變換把上式由如圖 3所示的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為如圖2b所示的整體坐標(biāo)系，如下

式中l(wèi)1為渠道坡板長，m。式（33）中的負(fù)號表示溫差為負(fù)即襯砌板凍縮時溫度應(yīng)力為拉力。

5.2 抗裂驗(yàn)算

渠道襯砌板在凍脹作用下為壓彎構(gòu)件，故僅須對襯砌板危險(xiǎn)截面的上表面應(yīng)力進(jìn)行驗(yàn)算即可[2-3]。由小變形假設(shè)即迭加原理，可認(rèn)為襯砌板各截面上表面應(yīng)力為以下三者作用效果的迭加：截面軸力、截面彎矩及襯砌板凍縮的溫度應(yīng)力，即

式中 σimax(x)為襯砌板各截面的最大拉應(yīng)力，即上表面拉應(yīng)力，kPa；σiN(x)為由截面軸力引起的各截面上表面應(yīng)力，kPa；σiM(x)為由截面彎矩引起的各截面上表面應(yīng)力，kPa；σit(x)為凍縮應(yīng)力，kPa。

冬季寒區(qū)襯砌渠道的結(jié)構(gòu)破壞通常表現(xiàn)為截面最大拉應(yīng)力超過允許應(yīng)力而導(dǎo)致襯砌板拉裂或折斷，因此有必要對危險(xiǎn)截面進(jìn)行抗裂驗(yàn)算，計(jì)算公式如下

式中 ximax為危險(xiǎn)截面的坐標(biāo)，m；σmax(ximax)為危險(xiǎn)截面的最大拉應(yīng)力，MPa；M(ximax)為危險(xiǎn)截面的彎矩，kN·m；N(ximax)為危險(xiǎn)截面的軸力（通常為負(fù)），kPa；；σit(ximax)為危險(xiǎn)截面的凍縮應(yīng)力，MPa；[σ]為允許應(yīng)力，MPa；bj為板厚，m。j為1或2時分別表示渠道坡板或底板。

6 工程算例

以甘肅省白銀市靖會灌區(qū)某混凝土襯砌梯形渠道為例，該地區(qū)屬溫帶干旱半干旱氣候，越冬期日均最低氣溫約為-16 ℃。采用C25混凝土襯砌，板厚為0.12 m，地下水位（至渠頂）約為6 m，土質(zhì)為粉質(zhì)壤土(即蘭州黃土)。渠道陰坡、渠底和陽坡凍土層最低溫度分別為-13.21、-9.56和-7.53 ℃。渠道斷面尺寸見圖4?，F(xiàn)對該渠道襯砌結(jié)構(gòu)進(jìn)行凍脹力學(xué)分析。

圖4 原型渠道斷面示意圖Fig.4 Sketch map of cross-section of prototype canal

條件具備時，各式經(jīng)驗(yàn)系數(shù)應(yīng)由當(dāng)?shù)噩F(xiàn)場試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲取，本文主要通過參考文獻(xiàn)取值。相關(guān)參數(shù)和經(jīng)驗(yàn)系數(shù)見表1[3,23,28,33-36,44]，其中各凍土層彈性模量均按冬季最低溫度取值，這是偏安全的。坡角θ為45°。

表1 相關(guān)參數(shù)與經(jīng)驗(yàn)系數(shù)Table 1 Parameters and empirical coefficients

1）模型求解及截面內(nèi)力的計(jì)算

把式（16）～式（21）依次代入可使各未知量均寫為τm(l1)和τs(l1)的函數(shù)，把結(jié)果代入式（14）～式（15）聯(lián)立求解可得：τm(l1)=52.393 kPa，τs(l1)=49.646 kPa。把τm(l1)、τs(l1)逐次回代到式（16）～式（21）中，則陰、陽坡和渠底襯砌板各自承受的所有外力均可解出。

以渠道陰坡為例，由式（22）可得陰坡坡板各截面的軸力分布

2）襯砌板截面最大拉應(yīng)力分布及抗裂驗(yàn)算

對渠道襯砌板凍脹破壞的分析應(yīng)先確定危險(xiǎn)截面的位置。為此，須先對襯砌板各截面最大拉應(yīng)力分布進(jìn)行計(jì)算。仍以陰坡坡板為例，由襯砌板各截面內(nèi)力計(jì)算結(jié)果可分別計(jì)算軸力引起的截面上表面應(yīng)力 σmN和彎矩引起的截面上表面應(yīng)力 σmM沿坡板的分布。又由式（34）可得各截面凍縮溫度應(yīng)力σmt沿坡板分布如式（39）所示。

圖5為應(yīng)力σmN、σmM及σmt沿陰坡坡板分布圖。

圖5 應(yīng)力σmN、σmM及σmt沿陰坡坡板的分布圖Fig.5 Distribution of cross-section stress σmN、σmM and σmt

由圖5可知，軸力引起的襯砌板上表面應(yīng)力σiN為壓應(yīng)力（負(fù)值），其分布規(guī)律為自坡頂?shù)狡履_逐漸增大；彎矩引起的襯砌板上表面應(yīng)力 σiM為拉應(yīng)力（正值），其分布規(guī)律為在坡板兩端為零，最大值約在距坡腳 1/3板長處，與文獻(xiàn)[2-3]已有研究結(jié)果相符；凍縮應(yīng)力σmt為拉應(yīng)力（正值），其分布規(guī)律為自坡頂?shù)狡履_先增大后減小，最大值在坡板中部，與文獻(xiàn)[17-18]研究結(jié)果一致，即在溫度應(yīng)力單獨(dú)作用時存在“一再從中部開裂”的現(xiàn)象。綜上所述，由迭加原理可得襯砌板各截面上表面應(yīng)力即最大拉應(yīng)力的分布規(guī)律如下式所示

式（40）的極值點(diǎn)即為危險(xiǎn)截面的位置?，F(xiàn)用二分法求解，預(yù)定精度取0.005，二分7次得x=270.634 cm，相應(yīng)的最大拉應(yīng)力為σmmax(270.634)=2.134 MPa。

3）對比分析

圖 6為陰坡坡板各截面軸力及最大拉應(yīng)力分布圖。圖6a為考慮雙向凍脹與僅考慮法向凍脹的2種情形下陰坡坡板各截面的軸力分布圖。由圖6a可知，由于切向凍脹力的作用使坡板各截面產(chǎn)生拉力，從而考慮雙向凍脹與僅考慮法向凍脹相比，軸向壓力的量值明顯減小。由式（35）可知軸向壓力越大則最大截面拉應(yīng)力的計(jì)算值越小，即若不考慮切向凍脹力的影響將過高估計(jì)軸向壓力對拉應(yīng)力的削減，造成安全隱患。此外，考慮雙向凍脹時軸力分布存在明顯的拐點(diǎn)，這是因?yàn)榍邢騼雒浟εc切向凍結(jié)力作用效果相反且沿渠坡變化規(guī)律不同。由式（7）可知，切向凍脹力沿渠坡從渠頂至坡腳呈指數(shù)規(guī)律增大（即開始增大緩慢而隨后變得很快）；由基本假設(shè)4），切向凍結(jié)力沿渠坡從渠頂至坡腳線性增大（即保持恒定速率增大）。綜上可知，在坡板中上部，切向凍結(jié)力線性增大而切向凍脹力變化緩慢，此時切向凍結(jié)力占主導(dǎo)作用，使軸力的量值增大；而坡板中下部即靠近坡腳處，切向凍脹力由于指數(shù)規(guī)律快速增大而切向凍結(jié)力仍按恒定速率增大，此時切向凍脹力占主導(dǎo)作用，使軸力的量值轉(zhuǎn)而減小，從而產(chǎn)生拐點(diǎn)。由此可見，渠基凍土雙向凍脹對截面軸力乃至最大截面拉應(yīng)力有明顯影響。

圖6 陰坡坡板各截面軸力及最大拉應(yīng)力分布圖Fig.6 Distribution of section axial force and maximum tension stress on canal shady-slope lining plate

圖6b為考慮雙向凍脹及凍縮應(yīng)力與僅考慮法向凍脹且不考慮凍縮應(yīng)力的 2種情形下陰坡坡板各截面最大拉應(yīng)力分布圖。由圖6b可知，2種情形下坡板各截面最大拉應(yīng)力分布趨勢大致相同，且坡腳均為壓應(yīng)力（負(fù)值），這主要由底板對坡板的頂托力導(dǎo)致。當(dāng)考慮雙向凍脹及凍縮應(yīng)力影響時，截面最大拉應(yīng)力極大值為2.134 MPa；當(dāng)僅考慮法向凍脹且不考慮凍縮應(yīng)力影響時，截面最大拉應(yīng)力極大值僅為1.494 MPa，較前者小約30%。由此可見，若僅考慮法向凍脹且不考慮凍縮應(yīng)力的影響將導(dǎo)致計(jì)算值明顯偏小，在大型梯形渠道抗凍脹設(shè)計(jì)中建議綜合考慮渠基凍土雙向凍脹和襯砌板凍縮應(yīng)力的影響。

7 結(jié)論與討論

1）把負(fù)溫下大型渠道襯砌板的凍脹破壞視為由凍土凍脹與襯砌板凍縮共同作用的結(jié)果，結(jié)合Winkler彈性地基假設(shè)，考慮凍土雙向凍脹差異，提出一種開放系統(tǒng)梯形渠道襯砌板法向凍脹力和切向凍脹力分布的計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上建立考慮雙向凍脹與襯砌板凍縮的大型渠道凍脹力學(xué)模型。

2）把負(fù)溫下發(fā)生凍縮變形的渠道襯砌板視為受一維切向約束的均勻收縮矩形梁，推導(dǎo)了襯砌板凍縮應(yīng)力表達(dá)式，并由迭加原理提出大型渠道襯砌的抗裂驗(yàn)算方法。

3）結(jié)合工程算例應(yīng)用本文模型分析了襯砌板各截面內(nèi)力和凍縮應(yīng)力的分布規(guī)律，得到了各截面最大拉應(yīng)力分布規(guī)律及危險(xiǎn)截面位置。

4）對考慮雙向凍脹和凍縮應(yīng)力及僅考慮法向凍脹的兩種情形進(jìn)行了分析，結(jié)果表明：前者截面最大拉應(yīng)力極大值為2.134 MPa，而后者的相應(yīng)值僅為1.494 MPa，較前者小約 30%。因此，若僅考慮法向凍脹將導(dǎo)致計(jì)算值明顯偏小，在大型梯形渠道抗凍脹設(shè)計(jì)中建議綜合考慮凍土雙向凍脹和襯砌板凍縮應(yīng)力的影響。

本文基于小變形假設(shè)把凍脹力的作用效果與襯砌板凍縮的作用效果分別計(jì)算，再應(yīng)用迭加原理迭加，暫未考慮襯砌板凍縮受基土約束產(chǎn)生的約束力與切向凍脹力的相互影響?？紤]兩者耦合作用的模型有待進(jìn)一步研究。

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