彈性地基上矩形板彎矩計算表編制探討

周晨

（南京市市政設(shè)計研究院有限責(zé)任公司 210008）

引言

水池的底板一般是放置于地基上的，大型水池底板厚度相對于其平面尺寸較小，在計算內(nèi)力時有必要考慮底板與土的共同作用，工程計算時常采用Winkler模型考慮地基與底板的共同作用。

在矩形水池分塊簡化計算時，采用普通的彈性板計算表［1］是不能考慮底板與地基共同作用的。本文試圖編制Winkler地基上矩形板內(nèi)力計算表，以便在水池簡化計算時考慮Winkler地基模型。

1 表格適用條件設(shè)定

與彈性地基上板的彎矩相關(guān)的因素較多，包括支座條件、地基參數(shù)、板的平面尺寸、板厚、板的荷載、板的彈性模量、板的泊松比等。對于Winkler地基模型，地基參數(shù)是基床系數(shù)。彈性地基上的有限長的板的內(nèi)力是外荷載和地基反力共同作用的結(jié)果。支座約束不是必須的，但不同的邊界條件有不同的內(nèi)力。

一定邊界條件下的、有限邊長的、Winkler地基上的矩形板彈性力學(xué)解是比較復(fù)雜的，采取有限元法計算是比較簡便的一種方法。

本文設(shè)定的邊界條件為：板周邊有著均勻豎向變形，而轉(zhuǎn)動方向包括了是否允許自由轉(zhuǎn)動兩種情況，板面總反力等于邊緣力的總和，如圖1所示。以上假定條件在通用的有限元軟件中沒有對應(yīng)的功能，本文提出了采用基于有限元迭代法的計算方法，避免了文獻［2］中采用的在板周邊人為添加大剛度豎向彈簧邊界單元的方法。本文采用的計算方法符合實際需求，同時還可以拓展用于其他多種地基模型上板的計算。

圖1 基本設(shè)定示意Fig.1 Basic assumptions

2 內(nèi)力計算

2.1 基本假定

1.板的計算模型

本文板采用的是彈性薄板，板放置于彈性地基上，板邊受到一定約束，板長、寬方向為X軸、Y軸，板厚度方向為Z軸，板受到的邊緣力與地基反力方向都平行于Z軸。

2.地基反力

地基反力分布服從Winkler模型如下：

其中：k為基床系數(shù)（kN／m3）；ps為地基上任一點所受壓力強度，與地基反力大小相等、方向相反（kN／m2）；Δ為對應(yīng)點的沉降（m）。

3.邊界條件

本文設(shè)定板放置于地基上，在豎向壓力作用下板四邊有著相同的豎向變形，沒有水平位移。板的四邊分為允許沿邊線為軸轉(zhuǎn)動，以及不允許沿邊線為軸轉(zhuǎn)動兩種情況，這兩種邊界條件類似于彈性板的簡支和固定邊界，在本文中也把其分別叫做簡支和固定。該邊界條件不限制結(jié)構(gòu)整體豎向變形，符合彈性地基理論要求。本文設(shè)定的這種邊界條件，適用于周邊有較高的壁板，且整體變形比較平均的水池底板分塊簡化計算。當(dāng)壁板相對于底板較薄時可以近似認(rèn)為底板邊緣是簡支的，當(dāng)?shù)装迨强缍认嘟倪B續(xù)板時可以近似認(rèn)為板的邊緣是固定的。

4.荷載

板的荷載是沿周邊施加到板的法向上的，板面受法向的地基反力，與周邊的荷載保持平衡。

在板面反力分布服從Winkler假定，邊界變形服從等位移假定時，板周邊荷載不一定均勻分布。表格編制時把周邊的總荷載作為已知條件，考慮使用習(xí)慣，將這個總荷載除以板的面積作為彎矩計算參數(shù)。這個參數(shù)也可以理解為板面的平均地基反力，或名義均布反力。

2.2 計算方法

內(nèi)力計算采用有限元法如下：把板分成n個結(jié)構(gòu)單元，其中第i個單元的面積是Ai，地基反力壓力強度為pi，地基反力在第i個結(jié)構(gòu)單元引起的相對于板邊的豎向變形為si，si也叫作板的局部變形，板的四邊有均勻的變形s（見圖4）。

定義p是名義均布反力，L是板的長度，W是板的寬度，根據(jù)p的定義及力的平衡條件有：

取地基上第i個單元豎向位移為Δi有：

按照Winkler地基模型且反力向上為正時有：變

換式（2）、式（3）后得到：

?。?/p>

其中：［δ］為柔度矩陣；δij為沉降系數(shù)。

式（3）改寫為向量形式得：

式（1）、式（2）、式（9）聯(lián)立方程，方程以矩陣形式表達如式（10）所示：

其中，基床系數(shù)k、總反力pLW是已知量，局部變形si在初次計算時需假定一組初始值，在后續(xù)迭代計算時是已知量。邊界的均勻變形s和各單元的反力pi是未知量。該方程組是線性方程組，方程個數(shù)與未知數(shù)相同，一般情況下，方程組有唯一解。解方程可求得各單元的反力pi。已知反力后，采用彈性有限元法可以求出新一輪變形和關(guān)鍵點的彎矩，繼續(xù)迭代，一般情況下彎矩趨于收斂。

圖2為板的局部變形示意，圖3為地基反力示意，反力方向向上。

板相對于邊緣的變形和相應(yīng)的內(nèi)力采用通用有限元軟件計算，采用具有彎曲及薄膜特性的四邊形彈性殼單元［3］，單元每個頂點有三個方向的旋轉(zhuǎn)和位移共六個自由度，考慮分析簡化，把板單元上的分布力折算到單元節(jié)點上，該點的集中力fi＝Aipi，取這一點的法向變形作為這個單元的變形si。單元長度、寬度均為板的長度的1／100。主要流程控制及線性方程組求解采用通用數(shù)學(xué)軟件MATLAB［4］。初始變形采用名義均布反力作用下不允許周邊豎向變形的相應(yīng)邊界條件下板的彈性變形。彎矩收斂的條件是前后兩次迭代計算所得的彎矩差小于0.01%。

圖2 板變形Fig.2 Deformation of the plate

2.3 計算過程

計算過程如下：

（1）步驟1：計算周邊受常規(guī)約束的板在均布荷載條件下的變形作為變形的初值（圖4a）；

（2）步驟2：根據(jù)地基變形（圖4b）與反力（圖4c）關(guān)系的假定，考慮荷載平衡條件以及邊界條件解方程確定荷載的分布；

（3）步驟3：采用新的荷載分布按照周邊約束的板進行計算，得到新的變形（圖4d）；

（4）步驟4：比較每次計算得到的變形對應(yīng)的彎矩與前次的差值，如果差值足夠小，可以認(rèn)為結(jié)果滿足要求；若不滿足，重復(fù)步驟2、3，最終所得的彎矩（圖4e）作為計算結(jié)果。

圖3 地基反力Fig.3 Subgrade reaction

2.4 關(guān)于其他地基模型的討論

上述計算方法也適用于其他地基模型上板的計算。改變地基柔度矩陣［δ］，就可以計算相應(yīng)地基條件上的板的內(nèi)力。式（11）是彈性半空間地基模型的地基柔度矩陣沉降系數(shù)δij的表達式［5］。

圖4 迭代過程關(guān)鍵簡圖Fig.4 Key diagram of iterative process

其中：E0為土的彈性模量；μs為土的泊松比；xi、yi為單元中心點的坐標(biāo)；ai、bi為單元的邊長。

同時，式（8）中pi的定義需要改為單元上的力，式（1）也要相應(yīng)調(diào)整。

3 表格的組織

3.1 支座條件

對于不同支座條件需要采用不同的表格。常用的支座條件有四邊簡支、一邊固定三邊簡支、鄰邊固定鄰邊簡支、對邊固定對邊簡支、三邊固定一邊簡支、四邊固定。

3.2 彈性特征值

定義板的彈性特征值［6］：

其中：Eh為板的彈性模量（kPa）；J為截面慣性矩（m4）；b為板的寬度，取1m；μ為板的泊松比，取0.2。

理論［6］和試算均顯示，在其他條件不變的前提下，對于每種板厚、板的彈性模量及基床系數(shù)的組合，如果彈性特征值S相同，本文討論的板的內(nèi)力就相同。因此把彈性特征值S作為表格中的一個項目，在表格制作時對于每個S值選擇一種組合進行計算。

3.3 荷載

Winkler模型的地基反力和變形滿足線性條件，根據(jù)疊加原理，在適用范圍內(nèi)，荷載和彎矩具有線性關(guān)系，因此荷載不需要作為表格項目，只需要在計算公式中考慮。

3.4 板的長寬比

表格中還需要考慮矩形板不同的長寬比，因此板的長寬比應(yīng)作為表格的一項。

3.5 板的尺寸

按照量綱分析，單位寬度彎矩M的量綱應(yīng)該與單位面積的荷載q與邊長L的平方的乘積相同。一般彈性板計算表采用式M＝mqL2計算板的彎矩，在長寬比確定的條件下，這里的m是一個與板的長度無關(guān)的常數(shù)。然而，對于Winkler地基上的板，在支座條件、彈性特征值、板的長寬比確定的條件下，參數(shù)m和邊長的關(guān)系比較復(fù)雜。

圖5為鄰邊固定鄰邊簡支，彈性特征值為3m，長寬比為0.75的矩形板的跨中X方向單位荷載作用下的彎矩系數(shù)（mx）與邊長（Lx）的關(guān)系。圖5有兩個反彎點，顯然不是二次曲線關(guān)系。因此在表格其他項目確定的條件下，表中還必須列出不同邊長與彎矩的關(guān)系。

在確定表格樣式時，比較了兩個方案。方案一是試圖找到彎矩與邊長之間的經(jīng)驗公式。形如mx＝aebLxLcx的表達式，當(dāng)系數(shù)a＝-0.01207、b＝-0.1039、c＝2.507時，可以很好地擬合圖5的曲線。但表格的不同位置有著不同的三個系數(shù)，表格比較復(fù)雜，量綱混亂，物理意義不明確。方案二是把不同長度下的彎矩系數(shù)都羅列出，使用時通過內(nèi)插計算出相應(yīng)的系數(shù)。方案一比較適于軟件表達，方案二比較直觀，本文給出的表格示列是按照方案二編制的。

圖5 邊長與彎矩系數(shù)的關(guān)系Fig.5 The relationship between the length and themoment coefficient

周邊加載條件下彈性地基上的板，當(dāng)板的尺寸達到一定長度時，在板中部會出現(xiàn)0反力區(qū)，本表編制時，對每一種條件下板的尺寸上限進行了搜索，搜索條件是在迭代過程中板反力不出現(xiàn)0或改變方向的情況。另外迭代100次不收斂也認(rèn)為超出了表的編制范圍。本文所列表格中板長度的最大值，就是在對應(yīng)條件下搜索得到的該方向最大邊長尺寸。

4 表格編制和示例

4.1 表格形式

按照上述討論，編制出了Winkler地基模型四邊均勻沉降矩形板彎矩計算表。表格按不同邊界條件共分為6張表格。每張表包含彈性特征值S從1m到6m共6種情況；按板的長寬比從0.25到3列出長寬比（對于對稱性的支座條件只需要列出長寬比0.25到1的情況）；每種長寬比列出等差遞減的5種長度的板的彎矩系數(shù)。

表格局部示列如表1、表2，相應(yīng)的簡圖如圖6、圖7。表中參數(shù)：Lx、Ly為板尺寸（m）。

表1 W inkler地基模型四邊均勻沉降矩形板彎矩計算表（四邊簡支）Tab.1 Table of bendingmoment of four-side uniform settlement rectangular plate of winklermodel（four sides simple supported）

表2 W inkler地基模型四邊均勻沉降矩形板彎矩計算表（鄰邊簡支鄰邊固定）Tab.2 Table of bendingmoment of four-side uniform settlement rectangular plate of winklermodel（two adjacent sides simple supported and other two fixed）

圖6 四邊簡支板簡圖Fig.6 Plate with four sides

圖7 鄰邊簡支鄰邊固定板簡圖Fig.7 Plates with two adjacent sides simple supported and other two fixed

板彎矩計算公式：Mx＝mxq式中：Mx為板Lx方向跨中計算彎矩最大值（kN·m／m，彎矩方向為纖維受拉、受壓方向，下邊受拉為正）；q為平均反力（kN／m2）。

其他位置彎矩My、M0x、M0y，以此類推，下標(biāo)對應(yīng)即可。

4.2 算例

已知條件如下：支撐條件：鄰邊簡支鄰邊固定；混凝土板的彈性模量：3.0×107kPa；混凝土泊松比：0.2；板厚：538mm；基床系數(shù)：20000kN／m3；板長：10.4m；板寬：7.8m；平均凈反力50kN／m2。計算簡圖如圖8所示。

圖8 算例計算簡圖Fig.8 Calculation diagram of examples

參數(shù)計算如下：

查表2得系數(shù)如下：mx＝-1.455、my＝-2.335、m0x＝4.179、m0y＝4.907。

計算得Winkler地基模型上板相應(yīng)位置最大彎矩如下：

按照手冊［3］普通彈性板表2.2.3-4計算，得相同支座條件均布荷載下板的相應(yīng)位置最大彎矩如下：

按照式（11）的沉降系數(shù)表達式，取土的彈性模量為10.0MPa，土的泊松比為0.4，其余條件同本例，計算得半空間地基模型相應(yīng)位置結(jié)果如下：

顯然，底板考慮地基與土共同作用后，彎矩相對于按普通彈性理論計算的結(jié)果有所衰減。

5 結(jié)語

1.Winkler模型對土的假定以及對板剛度的假定與實際情況都有一定的誤差，基床系數(shù)的取值也有很大的經(jīng)驗成分。但如果地基的可壓縮土層較薄，與基礎(chǔ)的最大水平尺寸相比為一個很薄的墊層，那就可以按Winkler假定來進行計算。在工程實際中，即使地基的可壓縮土層較厚，也常常采用W inkler假定，因為計算比較簡便，且相對剛性底板假定更符合實際情況。

2.本文的基本假定與實際水池底板受力狀況具有近似性，計算過程中把分布力簡化到節(jié)點上也有一定的系統(tǒng)誤差，然而表格反應(yīng)出的板與地基共同作用對底板彎矩的衰減規(guī)律是正確的。在基床系數(shù)合理取值，且扣除地下水影響的前提下，是能滿足一般工程需要的。

3.在本文的假定條件下，邊緣豎向力在板中引起的內(nèi)力是否可以與邊緣彎矩在板中引起的內(nèi)力線性疊加，有待進一步研究。實際應(yīng)用中，當(dāng)水池矩形底板同時承受邊緣豎向力和彎矩時，采用普通彈性板邊緣彎矩在板中產(chǎn)生的彎矩與按本文計算表格得出的底板相應(yīng)彎矩疊加，對于一般水池底板而言是偏安全的。

4.本文采用的基于通用有限元程序的迭代法具有概念清楚、使用方便等優(yōu)點，通過調(diào)整柔度矩陣，可以適用于多種地基模型的計算。

5.本文討論了在計算目標(biāo)內(nèi)力與邊長之間相關(guān)性不明確的情況下，采用經(jīng)驗公式法及羅列法組織計算用表。在表格組織形式方面還有改進的余地，比如可以用其他的經(jīng)驗公式或用神經(jīng)網(wǎng)路技術(shù)模擬內(nèi)力與邊長的關(guān)系。

［1］沈世杰，等.給水排水工程結(jié)構(gòu)設(shè)計手冊［M］.第2版.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2007

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