由遞推關(guān)系式確定數(shù)列的階

岳素芳

在一些問題中，數(shù)列的表達(dá)式不是具體顯式給出的，而是通過遞推關(guān)系式給出的，也就是遞推數(shù)列。當(dāng)初值給定時(shí)，通過遞推關(guān)系式，利用單調(diào)性，通常可以求出數(shù)列的極限。極限為零的數(shù)列稱之為無窮小數(shù)列。但是如何確定它們趨于0的速度，這就要對數(shù)列進(jìn)行更加細(xì)致的刻畫。綜合法是很多證明所采用的方法，優(yōu)點(diǎn)是過程簡潔。但是這種方法通常要對數(shù)列有個(gè)大體的預(yù)判，甚至要知道結(jié)果才行。這樣很多問題的解答顯得很突然，很難被讀者接受與掌握，而分析的方法因過程清晰明了，容易被接受。

{n-α}(α＞0)是最簡單常用的無窮小數(shù)列，規(guī)定指數(shù)α為它的階。許多遞推公式所確定的數(shù)列為無窮小數(shù)列。而很多時(shí)候僅僅知道它是無窮小是不夠的，需要對它收斂到零的速度給出一個(gè)大體的界定，這就需要對an給出一個(gè)更細(xì)致的刻畫。本文針對兩種遞推類型給出數(shù)列{an}階的界定。

1 相關(guān)定義

(2)階數(shù)α越大，表明an收斂于零的速度越快；

(3)若c=0，則稱an為n-α的高階無窮小數(shù)列。與無窮小數(shù)列對應(yīng)的是無窮大數(shù)列，類似于無窮小數(shù)列的階，可以定義無窮大數(shù)列的階。

2 形如an+1=f(an)所確定的數(shù)列

若函數(shù) f(x)在x=0的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)可以展開為帶有皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式：

則可假設(shè){}an的階為α，即

其中c與α為待定常數(shù)。當(dāng)n充分大時(shí)有

而由（1）式可得

這樣，比較（4）式和（5）式，可以確定c與 α。

例1 設(shè) 0＜a1＜π ，an+1=sinan，n=1,2,… ，討論級數(shù)的斂散性。

此題在很多參考書上都有涉及[3-4]，但是所給出的方法讓人感覺不是太突兀就是太復(fù)雜。這里，我們利用分析的方法給予說明。

分析 首先，利用單調(diào)有界原理，容易判別數(shù)列{an}是收斂到0的。 設(shè){an}的階為 α，即（2）式成立。利用遞推關(guān)系an+1=sinan,n=1,2,…及泰勒公式得到

例2 設(shè) x1＞0,xn+1=xn(1-xn)，n=1,2,…，證明級數(shù)發(fā)散。

而

3 形如an+1=f(n,an)所確定的數(shù)列

這類問題，因n亦是an的函數(shù)，故 f不能單獨(dú)看成an的函數(shù)而對an進(jìn)行泰勒展開。這時(shí)可以利用收斂級數(shù)與數(shù)列的關(guān)系來確定an的階。

定理[2-3]數(shù)列收斂的充分必要條件是級數(shù)收斂。

證明 由遞推關(guān)系式可知an是嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列，且an＞0。若α＞1，則由不等式

而由數(shù)列an收斂知∑(an+1-an)收斂，從而α＞1。由知，

于是令k→∞可得

注 類似的方法，可以將本例推廣到an為無窮大數(shù)列的情形，結(jié)論變?yōu)椋寒?dāng)α＜1時(shí)，

特別地，當(dāng)α=0時(shí)，這時(shí) f(n,an)可以僅作為an的函數(shù)，而易知{an}為無窮大數(shù)列，從而為無窮小數(shù)列。這樣可以利用第一種類型的方法來求由an+1=f(an)所確定的無窮大數(shù)列的階。具體過程如下。

一方面

另一方面，

4 結(jié)束語

針對不容易求出通項(xiàng)公式的兩種類型遞推關(guān)系式給出的數(shù)列{an}，要判定其大致收斂速度，可以通過它們與nα或n-α進(jìn)行比較，然后利用泰勒公式或者級數(shù)理論來推導(dǎo)出數(shù)列{an}的階。利用分析的方法，可以將問題刻畫得更加深入，并利于讀者接受。

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