巧用零載法輔助幾何構(gòu)造分析

孫麗麗

平面體系幾何構(gòu)造分析一般會作為結(jié)構(gòu)力學(xué)的開篇來講解，通過這學(xué)習(xí)，學(xué)生建立對體系幾何組成的認(rèn)識，為靜定結(jié)構(gòu)及超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力及位移計算打下基礎(chǔ)。平面體系幾何構(gòu)造分析一般通過鉸接三角形規(guī)律及零載法來實現(xiàn)，一方面基本組成規(guī)律從內(nèi)容上講淺顯易懂，但是對于初學(xué)者來說，如何快速準(zhǔn)確地選取剛片，并不容易；另一方面，零載法僅限于處理計算自由度等于零的體系，且需要經(jīng)過復(fù)雜的力學(xué)計算，操作性不強。對于一些復(fù)雜題目，若只用簡單的規(guī)則進(jìn)行分析，那么對初學(xué)者選取剛片的能力就提出了很高的要求，但實際上一般初學(xué)者很難做到。有學(xué)者就剛片的靈活選取提出了有效的解決方法，如利用鉸結(jié)三角形代換幾何不變的局部，利用鉸接三角形代換桿件[1]；將剛片做等效變換，約束等效置換等[2]。本文利用零載法，證明了三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎(chǔ)相連），在幾何構(gòu)造分析中可以等效為一個剛片，從而解決了復(fù)雜體系的剛片選取問題。

1 經(jīng)典結(jié)構(gòu)力學(xué)幾何構(gòu)造分析剛片法

鉸接三角形規(guī)律提出了剛片的基本選取原則，即一般選取鉸接三角形桿系為剛片，然后按照基本規(guī)律，確定其余剛片和約束的用途分配。如圖1所示體系為幾何不變體系且無多余約束，一般采用圖2所示的剛片選取方式，兩個鉸接三角形分別為剛片I和II，基礎(chǔ)為剛片III，3個剛片通過3個鉸結(jié)點連接。

然而鉸接三角形規(guī)律指導(dǎo)下的剛片選取方法有一定的局限性。對于圖1所示體系，保持內(nèi)部桿件連接方式不變，僅僅交換體系中左邊支座和下邊支座的位置，得到圖3所示體系，則圖2的剛片選取方法不再適用。圖3的特點為體系與基礎(chǔ)聯(lián)系（約束）多于3個且體系內(nèi)部桿件連接中有多個鉸接三角形剛片，經(jīng)典的幾何構(gòu)造分析解法一般不把與基礎(chǔ)以固定鉸形式相連的鉸接三角形視為剛片，即在圖4中桿件DF為剛片I，鉸接三角形BCE為剛片II，基礎(chǔ)為剛片III，讀者可以自行找到三個鉸結(jié)點的位置，故圖3所示體系為幾何不變體系且無多余約束。形如圖3這類問題的剛片選取方法具有一定的適用性。如圖5體系，先去掉二元體后，可以嘗試?yán)脠D3的剛片選取方法確定體系的幾何構(gòu)造。但是對于有些題目，如圖3所示剛片選取方法并不適用。

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

2 零載法

零載法指出，對于計算自由度W=0的體系，如果是幾何不變的，則在荷載為零的情況下，它的全部桿件內(nèi)力應(yīng)為零；反之，它的某些桿件內(nèi)力可不為零[3]。如圖6所示體系，計算自由度（結(jié)點法）W=2×10-20=0，符合零載法應(yīng)用條件。體系簡化后如圖7，首先假設(shè)AD桿的軸力為X，由結(jié)點法求出各桿軸力，標(biāo)注如圖7，可見結(jié)構(gòu)有自內(nèi)力，故圖6體系為幾何可變體系。

零載法的局限性：其一，要求體系計算自由度等于零；其二，需要計算出荷載為零的情況下，桿件全部內(nèi)力為零，計算復(fù)雜，稍有不慎，導(dǎo)致內(nèi)力計算錯誤，會對幾何組成性質(zhì)做出錯誤的判斷。

圖6

圖7

3 問題新解

基于平面幾何構(gòu)造分析中經(jīng)典鉸接三角形規(guī)律及零載法存在的問題，下面證明如圖8所示三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎(chǔ)相連），在幾何構(gòu)造分析中等效為一個剛片，從而為平面幾何構(gòu)造分析中剛片的選取提供一個新的求解思路，是鉸接三角形規(guī)律及零載法的重要補充。

為滿足零載法關(guān)于體系計算自由度W=0的要求，將圖8所示桿件體系作為一個整體與基礎(chǔ)通過三根桿相連，形成圖9所示體系，體系計算自由度W=2×3-6=0，容易證明圖9所示體系在零荷載情況下無自內(nèi)力，故圖9所示體系為幾何不變體系。對這一結(jié)論也可以利用兩剛片法則解讀為基礎(chǔ)為一個剛片，圖9所示陰影部分為一個剛片（即一個桿件），兩個剛片通過鉸桿相連。

基于零載法證明的結(jié)論，為幾何構(gòu)造分析剛片選取提供了新思路。對于圖5所示體系，利用三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎(chǔ)相連）可以視為剛片的結(jié)論，如圖10所示選取剛片，去掉二元體后，鉸D處的三桿鉸結(jié)點相當(dāng)于一個剛片（即一根桿），即剛片I和剛片II通過鉸桿相連，再和基礎(chǔ)通過鉸桿相連接。

圖8

圖9

圖10

在文獻(xiàn)[1]中提出了用鉸接三角形代換桿件的方法解決圖11（a）所示體系的幾何構(gòu)造分析，將體系化簡為圖11（b），剛片選取如圖11（b），讀者可以嘗試自行找到3個鉸結(jié)點的位置，該體系為幾何不變體系，且無多余約束。如果利用三桿鉸接體系可以視為一個剛片的結(jié)論，對于圖11（a）采用如圖12所示選取剛片，即依然選擇鉸接三角形為剛片I和II，圖12中陰影部分相當(dāng)于一根桿件，則利用兩剛片法則將剛片I和剛片II通過鉸桿連接，再和基礎(chǔ)連接，同樣可以得出幾何不變體系且無多余約束的結(jié)論?？梢?，利用三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎(chǔ)相連）可以視為一個剛片的結(jié)論，剛片的選取更為簡單直接，可以延續(xù)選取鉸接三角形為剛片，對于初學(xué)者來說，掌握起來更容易，減少了剛片選取中過多的變換原則，使題目的分析更加簡單易懂。讀者可以嘗試用上述方法分析圖13的幾何組成性質(zhì)。

對于圖14所示體系[4]，體系本身屬于復(fù)雜桁架，幾何構(gòu)造分析難度較大，利用零載法的結(jié)論，將鉸結(jié)點A處的兩根水平桿（AB和AC）和A處支桿看成一個剛片（即一根桿），則鉸接三角形BCD為一個剛片，向兩側(cè)依次增加二元體，即可形成擴大剛片，再和基礎(chǔ)通過鉸桿相連，所以為幾何不變體系，無多余約束。

圖11 （a）

圖11 （b）

圖12

圖13

4 結(jié)束語

幾何構(gòu)造分析中剛片的選取具有極大的靈活性，一般初學(xué)者較難掌握。對于一些不能用簡單的鉸接三角形規(guī)律來選取剛片的體系，通過零載法證明的三桿鉸接體系（其中一根桿件為支桿與基礎(chǔ)相連），在幾何構(gòu)造分析中可以視為一個剛片（即一根桿件），使得鉸接三角形桿系在幾何構(gòu)造分析中可以繼續(xù)作為剛片使用，保持了剛片選取方法的一慣性，為初學(xué)者熟練掌握剛片的選取提供了重要幫助，也為復(fù)雜體系的剛片選取提供了有效解決方法，是平面幾何構(gòu)造分析中等效變換法的有效補充。

參考文獻(xiàn)：

[1]于蘇民.鉸結(jié)三角形代換法作平面桿系幾何組成分析[J].力學(xué)與實踐,2005,27(2)：72-73.

[2]樊友景,樊大為.幾何構(gòu)造分析中的等效變換[J].力學(xué)與實踐,2012,34(2)：77-78.

[3]龍馭球,包世華,袁駟.結(jié)構(gòu)力學(xué)2,專題教程[M].北京：高等教育出版社,2012：4-5.

[4]龍馭球,包世華,袁駟.結(jié)構(gòu)力學(xué)1,基礎(chǔ)教程[M].北京：高等教育出版社,2012：45.