參數(shù)曲面多邊形區(qū)域上自由變形的多項式伸縮因子方法

陳素根，劉兵兵

自由變形技術(shù)是幾何造型、計算機圖形學(xué)、計算機動畫及科學(xué)數(shù)據(jù)可視化等領(lǐng)域獲取形狀復(fù)雜、形態(tài)多樣的幾何形體的重要手段之一，得到廣泛關(guān)注與研究，在實踐中廣泛應(yīng)用。然而，尋求新的、有效且直觀的變形方法依然是計算機圖形學(xué)等領(lǐng)域的研究熱點之一。幾何形體變形的本質(zhì)是所在空間自身到自身的一個映射，通過映射改變形體的幾何形狀。1984年，Barr首先提出了整體與局部的變形方法[1]，之后，Sederberg等提出了自由變形(FFD)方法[2]，馮結(jié)青等提出了參數(shù)曲面控制的變形方法[3]，但上述方法在預(yù)定或調(diào)節(jié)變形范圍、控制變形方向、確保變形區(qū)域邊界處的連續(xù)性等方面尚不夠理想。近年來，基于伸縮因子的自由變形方法得到了深入研究[4-7]，該方法在一定程度上提高了控制精度、操作簡單而且適用于任何形式的曲線曲面，但構(gòu)造的伸縮因子主要基于三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)，構(gòu)造基于多項式函數(shù)的伸縮因子方法也引起了關(guān)注[8-11]，但這些方法都是定義在圓形區(qū)域或四邊形區(qū)域上的。張莉等[12-13]研究了矩形區(qū)域和凸多邊形區(qū)域上的參數(shù)曲面自由變形算法。然而，任意凸多邊形區(qū)域上基于多項式伸縮因子方法的自由曲面變形研究還不多見，本文構(gòu)造一種新的定義在凸多邊形區(qū)域上的基于多項式的伸縮因子函數(shù)。該伸縮因子具有已有伸縮因子的優(yōu)點，且可以在任意凸多邊形區(qū)域上變形，使曲面變形效果更加豐富，為自由曲面變形提供了一種新方法。

1 伸縮因子的定義及其性質(zhì)

1.1 基本伸縮函數(shù)的定義

設(shè)Pi(ui,vi)(i=1,2,…,n)是R2平面上不共線的n個點，以P1,P2,…,Pn為頂點的凸多邊形D，且按逆時針方向排列構(gòu)成回路，由幾何知識易知，其內(nèi)部區(qū)域的面積：

對于R2平面上任意點P(u,v)，若記三角形PP1P2的面積為 S1，三角形 PP2P3的面積為S2，…，三角形PPn-1Pn的面積為Sn-1，三角形PPnP1的面積為 Sn，則

令 Xi=Si/S,i=1,2,…,n ，則 (X1,X2,…,Xn)稱為P關(guān)于多邊形D的面積坐標(biāo)，顯然

定義1 設(shè)P0(u0,v0)是R2平面上凸多邊形D中P1,P2,…,Pn內(nèi)一定點，P0關(guān)于凸多邊形D的面積坐標(biāo)為 (X10,X20,…,Xn0)，記 t=X1·X2·…·Xn,t0=X10·X20·…·Xn0，作 R2上的函數(shù)：

則稱 f(u,v)為R2平面內(nèi)凸多邊形區(qū)域D上的基本伸縮函數(shù)，其中，n∈N+為光滑指數(shù)，D為支撐區(qū)域，其邊界為?D。圖1～圖3分別給出了三邊形、四邊形和五邊形區(qū)域上基本伸縮函數(shù)圖形，圖4給出了三邊形區(qū)域上鳥巢消失的伸縮函數(shù)圖形。

圖1 三邊形區(qū)域基本伸縮函

圖2 四邊形區(qū)域基本伸縮函數(shù)

圖3 五邊形區(qū)域基本伸縮函數(shù)

圖4 三邊形區(qū)域鳥巢消失時的基本伸縮函數(shù)

定義 2 令 E(u,v)=E(u,v,u0,v0,n,h)=1+h·f(u,v)，則稱E(u,v)為R2平面內(nèi)凸多邊形區(qū)域D上的帶形狀參數(shù)n,h的多項式伸縮因子，n∈N+為光滑指數(shù)，h為伸縮參數(shù)，D為支撐區(qū)域，其邊界為?D。

1.2 伸縮因子的性質(zhì)

易知伸縮因子E(u,v)具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1E(u,v)|?D=1；

性質(zhì)2單峰值性：在P0(u0,v0)取得極值；

2 空間參數(shù)曲面的變形與控制

2.1 變形的數(shù)學(xué)模型

設(shè) p(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))為定義在參數(shù)(u,v)平面中區(qū)域 Ω 上的C(r)類曲面 (r≥1)，Eij(u,v)=E(u,v,u0,v0,n,hij),(i,j=1,2,3)為具有相同支撐區(qū)域和光滑指數(shù)的伸縮因子，光滑指數(shù)(n≤r+1),D?Ω ，變形中心O'=(x0,y0,z0)，令

為支撐區(qū)域D上的伸縮矩陣，則變形后的曲面pd(u,v)與變形前的曲面p(u,v)可表示為

更一般的情形，設(shè)第s(s=1,2,…,k)次變形以O(shè)'s為中心，其伸縮因子為Es，伸縮矩陣為Ts，則變形后的曲面pd(u,v)與變形前的曲面p(u,v)滿足如下遞推關(guān)系：

2.2 變形的幾何意義

令T=(dij)3×3,e1,e2,e3為線性無關(guān)的單位向量，記 p(u,v)-O'=p1e1+p2e2+p3e3，則（1）式可表示為

由此可知（1）式所定義的變形幾何意義：在支撐區(qū)域內(nèi)，在原曲面上的每一點p(u,v)處，對向量 p(u,v)-O'在仿射坐標(biāo)系[O',e1,e2,e3]下的坐標(biāo)(p1,p2,p3)T作仿射變換，變換矩陣就是伸縮矩陣T。

2.3 變形的交互控制

在變形過程中，通過調(diào)控變形中心、支撐區(qū)域、光滑指數(shù)和伸縮參數(shù)，可以靈活地控制變形曲面的形狀：

（1）改變O'，可控制曲面的相對變形中心；

（2）改變D，可控制曲面的支撐區(qū)域形狀；

（3）改變P0，可控制曲面的峰值點位置；

（4）改變光滑指數(shù)n，可控制變形曲面在邊界處的光滑性；

（5）改變伸縮參數(shù)hij(i,j=1,2,3)，可以控制曲面的伸縮方向和調(diào)整各方向的伸縮幅度，如取h11=h≠0,hij=0(i,j=1,2,3)且 i,j不同時為1，可以控制曲面沿X軸的凹凸變形；改變h11的符號，可以控制曲面沿X軸的正向或負(fù)向變形，改變 ||h11的大小，可以控制曲面沿X軸變形的幅度；改變h12,h13的大小，可以控制曲面沿X軸的剪切效果變形，類似可以得到控制曲面沿Y軸、Z軸的剪切效果變形。

3 應(yīng)用實例

以拋物面 p(u,v)=(u,v,16-u2-v2)為例，分別演示本文方法的實際變形效果及變形控制參數(shù)改變時對曲面形狀的調(diào)控作用。簡單起見，本文實驗選取相同的定義區(qū)域Ω=[-4,4]×[-4,4]，相同的變形中心O'=(0,0,-16)。圖5給出了變形的原始拋物面，圖6～圖14給出了變形效果。圖6～圖7為三邊形區(qū)域的變形效果圖，圖6中三邊形區(qū)域頂點為 P1(-2,-2)，P2(2,-2)，P3(0,2)，單峰值點P0(0,0)，光滑指數(shù)n=3，伸縮參數(shù)h33=1，其余伸縮參數(shù)hij=0；圖7改變圖6中峰值點位置P0(0,-2/3)，其余參數(shù)不變，顯示了峰值點對變形的控制效果。圖8～圖10為四邊形區(qū)域的變形效果圖，四邊形區(qū)域的頂點為 P1(-2,0)，P2(0,-2)，P3(2,0)，P4(0,2)，單峰值點 P0(0.5，0.5)，光滑指數(shù)n=3。圖8中伸縮參數(shù)h33=1，其余伸縮參數(shù)hij=0；圖9中伸縮參數(shù)h33=1，h13=0.05，其余伸縮參數(shù)hij=0；圖10中伸縮參數(shù)h33=1，h31=10，其余伸縮參數(shù)hij=0，這三張圖顯示了伸縮參數(shù)對變形的控制效果。圖11給出了五邊形區(qū)域的變形效果圖，五邊形區(qū)域頂點為P1(-2,1)，P2(-1,-2)，P3(1,-2)，P4(2,1)，P5(0,3)，單峰值點 P0(0,0)，光滑指數(shù)n=1，伸縮參數(shù)h33=-0.5，其余伸縮參數(shù)hij=0，該圖顯示了伸縮參數(shù)為負(fù)時的沿Z軸下凸變形效果。圖12為互不相交的兩多邊形區(qū)域的復(fù)合變形效果圖，三邊形區(qū)域頂點為 P1(-3,-3)，P2(-1,-3)，P3(-2,-1)，單峰值點P0(-2,-2)，光滑指數(shù)n=2，伸縮參數(shù)h33=h13=1，其余伸縮參數(shù)hij=0，四邊形區(qū)域頂點為 P1(1,1)，P2(3,1)，P3(3,3)，P4(1,3)，單峰值點P0(2,2)，光滑指數(shù)n=2，伸縮參數(shù)h33=1，其余伸縮參數(shù)hij=0。

圖5 原始拋物面

圖6 三邊形區(qū)域變形效果

圖7 峰值點位置對三邊形區(qū)域變形的控制

圖8 四邊形區(qū)域變形效果

圖9 伸縮參數(shù)對四邊形區(qū)域變形的控制（X軸方向）

圖10 伸縮參數(shù)對四邊形區(qū)域變形的控制（Z軸方向）

圖11 五邊形區(qū)域沿Z軸下凸變形效果

圖12互不相交區(qū)域的復(fù)合變形

圖13 ～圖14為三個多邊形區(qū)域的疊加變形效果圖。圖13中變形支區(qū)間分別為三邊形、四邊形和五邊形區(qū)域，單峰值點P0(0,0)，光滑指數(shù)n=2，三邊形頂點為 P1(-0.5,-0.5)，P2(0.5,-0.5)，P3(0,1)，伸縮參數(shù)h33=0.2，其余伸縮參數(shù)hij=0；四邊形頂 點 為 P1(-1.5,-1.5)，P2(1.5,-1.5)，P3(1.5,1.5)，P4(-1.5,1.5)，伸縮參數(shù) h33=0.5，其余伸縮參數(shù)hij=0；五 邊 形 頂 點 為 P1(-4,0)，P2(-3,-4)，P3(3,-4)，P4(4,0)，P3(0,4)，伸縮參數(shù) h33=1，其余伸縮參數(shù)hij=0；圖14是對圖13變形效果的進一步控制，分別改變了三邊形和四邊形區(qū)域上的部分伸縮因子。

圖13 不同區(qū)域的疊加變形效果

圖14 伸縮參數(shù)對不同區(qū)域的疊加變形的控制

4 結(jié)束語

本文提出的任意凸多邊形區(qū)域上基于多項式的伸縮因子具有已有伸縮因子的特性：能精確控制變形范圍，變形模型簡單、易于操作；控制參數(shù)具有明顯的幾何意義；對于任何參數(shù)曲面均適用，具有普遍性。與現(xiàn)有方法比較，本文方法具有以下優(yōu)點：

(1)可實現(xiàn)任意凸多邊形區(qū)域上的自由變形，變形區(qū)域不再僅為圓域或四邊形區(qū)域；

(2)伸縮因子的構(gòu)造是基于多項式的，避免了三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)，計算更簡單；

(3)伸縮參數(shù)可實現(xiàn)沿坐標(biāo)軸的剪切及對疊加變形的進一步控制，變形效果更豐富。

為了使得變形效果更加多樣化、變形方法更加實用化，下一步將研究基于多項式伸縮因子的曲面周期變形以及結(jié)合幾何變換的平移和旋轉(zhuǎn)功能實現(xiàn)曲線曲面自由變形。

參考文獻：

[1]BARR A H.Global and local deformation of solid primitives[J].Computer Graphics,1984,18(3)：21-30.

[2]SEDERBERG T W,PARRY R.Free-form deformations of solid geometric models[J].Computer Graphics,1986,20(4)：151-160.

[3]FENG J Q,MA L Z,PENG Q S.A New free-form deformation through the control of parametric surfaces[J].omputer&Graphics,1996,20(4)：531-539.

[4]WANG X P,YE Z L,HU X M.Shape modification and deformation of parametric surfaces[J].Computer Aided Drafting Design and Manufacture,2002,12(1)：1-7.

[5]WANG X P,LIU S L,ZHANG L Y.Construction surface features through deformation[J].International Journal of Image and Graphics,2010,10(1)：41-56.

[6]宋來忠，彭剛，楊文穎,等.用于參數(shù)曲線自由變形的新的伸縮因子[J].工程圖學(xué)學(xué)報,2009,30(3)：87-93.

[7]宋來忠，彭剛，楊文穎.具有區(qū)間峰值的曲面伸縮因子及其實驗[J].計算機工程與應(yīng)用,2009,45(7)：187-190.

[8]宋來忠，彭剛，沈艷軍.參數(shù)曲面多邊形區(qū)域上變形的伸縮因子及其實驗[J].計算機工程與應(yīng)用,2011,47(12)：192-195.

[9]陸友太，周來水，王志國，等.基于多項式伸縮因子的參數(shù)曲面自由變形[J].中國機械工程,2012,23(5)：609-613.

[10]陸友太，周來水，王志國，等.基于脊曲線控制的參數(shù)曲面周期變形[J].中國機械工程,2012,23(15)：1860-1864.

[11]李軍成.基于伸縮因子的代數(shù)曲線曲面變形方法[J].計算機工程與科學(xué),2016,38(6)：1225-1230.

[12]張莉,余慧芳,檀結(jié)慶.凸多邊形域上的參數(shù)曲面自由變形[J].計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報,2015,27(5)：892-899.

[13]張莉,葛先玉,檀結(jié)慶.矩形域上的參數(shù)曲面自由變形算法[J].計算機研究與發(fā)展,2016,53(5)：1118-1127.