《因數(shù)和倍數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

楊傳岡（特級(jí)教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級(jí)下冊(cè)第30、31頁(yè)。

【課前思考】

因數(shù)和倍數(shù)是數(shù)論的基礎(chǔ)性概念，在小學(xué)階段有過(guò)一些變革和調(diào)整，如蘇教版教科書有一段時(shí)間曾前移至四年級(jí)，現(xiàn)后移編排在五年級(jí)下學(xué)期，充分尊重了學(xué)生的理解能力和已有知識(shí)結(jié)構(gòu)。教過(guò)這部分內(nèi)容的教師或許都有這樣的感受：學(xué)習(xí)內(nèi)容較為抽象，知識(shí)點(diǎn)零碎，課堂容量較大，學(xué)生很難迅速理解和熟練掌握。

《因數(shù)和倍數(shù)》一課的整體設(shè)想是：關(guān)注概念生成，讓學(xué)生感悟知識(shí)來(lái)源；關(guān)注范例教學(xué)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)概念形成過(guò)程；關(guān)注思想滲透，讓學(xué)生領(lǐng)悟概念本質(zhì)；關(guān)注開(kāi)放練習(xí)，讓學(xué)生融會(huì)貫通知識(shí)體系；關(guān)注文化拓展，讓學(xué)生明晰知識(shí)效用。

具體來(lái)說(shuō)，深入領(lǐng)會(huì)編者意圖，以教科書為藍(lán)本，充分遵循知識(shí)的產(chǎn)生和形成過(guò)程，通過(guò)學(xué)生預(yù)學(xué)交流，了解評(píng)判學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，重點(diǎn)選擇學(xué)疑之處、學(xué)難之處；依托活動(dòng)導(dǎo)學(xué)，通過(guò)生生互學(xué)、師生共學(xué)，著力從學(xué)生學(xué)困之處尋找突破口，幫助學(xué)生調(diào)取已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化概念的理解和建構(gòu)。全課圍繞因數(shù)和倍數(shù)的找法及特征，以數(shù)學(xué)思考為主線，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為腳手架，引導(dǎo)學(xué)生想思、會(huì)思、能思、愛(ài)思，思成。從學(xué)生的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)出發(fā)，既不拔高也不降低，注重教學(xué)目標(biāo)的多元化、學(xué)習(xí)方式的多樣化、學(xué)習(xí)元素的開(kāi)放化、學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的及時(shí)化，以活動(dòng)模塊分散難點(diǎn)，強(qiáng)化因數(shù)倍數(shù)相互依存的本質(zhì)屬性，以開(kāi)放的視角直面知識(shí)體系建構(gòu)，突破因數(shù)和倍數(shù)概念理解的難點(diǎn)。另外，在學(xué)習(xí)價(jià)值的目標(biāo)取向上不局限于學(xué)生獲得一般的數(shù)學(xué)知識(shí)和形成一定的技能。而是精心選擇學(xué)習(xí)素材，在供給學(xué)生鮮活學(xué)習(xí)素材之前鋪墊包袱，揭示時(shí)帶給學(xué)生更多的驚喜，讓學(xué)生在親身經(jīng)歷中感悟、領(lǐng)略數(shù)論基礎(chǔ)的內(nèi)在規(guī)律及文化魅力，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激活學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，在學(xué)習(xí)過(guò)程中體悟數(shù)學(xué)基本思想，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升解決問(wèn)題的能力。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

一、課前活動(dòng)，直面難點(diǎn)

師：同學(xué)們喜歡玩腦筋急轉(zhuǎn)彎嗎？有三個(gè)人，其中有兩個(gè)爸爸，兩個(gè)兒子，你能說(shuō)出他們之間的身份關(guān)系嗎？

（引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)清三個(gè)人的關(guān)系，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)：誰(shuí)是誰(shuí)的爸爸，誰(shuí)是誰(shuí)的兒子）

【設(shè)計(jì)意圖：課前活動(dòng)設(shè)計(jì)的主要目的有兩個(gè)：一是通過(guò)有趣的腦筋急轉(zhuǎn)彎活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛，拉近師生之間的距離，打消學(xué)生的畏懼心理；二是為學(xué)生順利理解因數(shù)和倍數(shù)的相互依存關(guān)系埋下伏筆?！?/p>

二、預(yù)習(xí)反饋，了解學(xué)情

師：本節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容是《因數(shù)和倍數(shù)》，課前老師布置了預(yù)習(xí)任務(wù)。通過(guò)預(yù)習(xí)，你有哪些收獲？還有哪些困惑？

（梳理：因數(shù)和倍數(shù)不是一種數(shù)，而是數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系；怎樣找一個(gè)數(shù)的因數(shù)；怎樣找一個(gè)數(shù)的倍數(shù)；因數(shù)和倍數(shù)個(gè)數(shù)的特點(diǎn)……）

師：相信通過(guò)今天的共同探索、交流學(xué)習(xí)，你一定能破除困惑，建立正確的認(rèn)識(shí)。

【設(shè)計(jì)意圖：在有限的課堂學(xué)習(xí)時(shí)間內(nèi)，如何才能緊扣學(xué)生思維的脈搏同頻共振？如何才能和學(xué)生一起經(jīng)歷思維的起伏跌宕？這些都離不開(kāi)教師恰如其分地了解學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，并據(jù)此確定學(xué)習(xí)流程，調(diào)適學(xué)習(xí)進(jìn)度、時(shí)間分配、學(xué)習(xí)形式等，從而有效提升學(xué)習(xí)效益。正所謂知己知彼方能百戰(zhàn)不殆?！?/p>

三、拼圖引入，建立概念

1.思維拼圖。

師：讓我們一起先來(lái)做個(gè)熱身運(yùn)動(dòng)吧。你能快速說(shuō)出由12個(gè)邊長(zhǎng)是1厘米的正方形可以拼成怎樣的長(zhǎng)方形嗎？想到幾種可以說(shuō)幾種。

2.統(tǒng)一拼法。

師：我們一起來(lái)整理一下：長(zhǎng) 12，寬 1；長(zhǎng) 1，寬 12（課件呈現(xiàn)具體拼法），這是兩種拼法嗎？（不是）它們旋轉(zhuǎn)后是一樣的（課件呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程），數(shù)學(xué)上認(rèn)為是一種拼法。寫成算式為12×1=12。還有什么不同拼法？怎樣用算式表示？

（根據(jù)學(xué)生補(bǔ)充，課件呈現(xiàn)另兩種拼法及算式）

3.感知概念。

（1）概念揭示。

剛才三種不同的擺法，相應(yīng)地可以用三道不同的乘法算式表示。以3×4=12為例，數(shù)學(xué)上說(shuō)3是12的因數(shù)，4也是12的因數(shù)；12是3的倍數(shù)，12也是4的倍數(shù)。（課件演示）

明確：研究因數(shù)與倍數(shù)時(shí)，所說(shuō)的數(shù)一般指——（課件出示：非0自然數(shù)）

（2）強(qiáng)化練習(xí)。

這兩道算式 2×6=12，1×12=12，你能也試著說(shuō)一說(shuō)誰(shuí)是誰(shuí)的因數(shù)，誰(shuí)是誰(shuí)的倍數(shù)嗎？

4.內(nèi)化概念。

下面每個(gè)方框里的兩個(gè)數(shù)，哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)？哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的倍數(shù)？

（教師捕捉學(xué)生發(fā)言中的表述漏洞，引導(dǎo)學(xué)生明晰因數(shù)、倍數(shù)是兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，這兩個(gè)數(shù)都是非0自然數(shù)）

5.12的因數(shù)。

師：除了這三道算式，你還能找到兩個(gè)自然數(shù)相乘的積是12嗎？（課件出示 4×3=12，2×6=12，1×12=12）

師：不能了，所以12的因數(shù)有？

教師示范、指導(dǎo)一個(gè)數(shù)因數(shù)的寫法，如 12 的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12。（一對(duì)一對(duì)地找，按照從小到大的順序排列，每相鄰兩個(gè)數(shù)之間用逗號(hào)隔開(kāi)，注意保持合適的間距）

小結(jié)：在非0自然數(shù)范圍內(nèi)，因數(shù)的背后總能找到與之相對(duì)應(yīng)的乘法算式或除法算式。

四、活動(dòng)探索，研究因數(shù)

1.找36的因數(shù)。

活動(dòng)要求：

1.想一想：你打算用什么方法找全36的因數(shù)？

2.議一議：怎樣找才能做到不重復(fù)、不遺漏？

3.寫一寫：把找到的36的因數(shù)按順序記錄下來(lái)。

4.說(shuō)一說(shuō)：把自己找36的因數(shù)的過(guò)程在小組里說(shuō)一說(shuō)。

2.交流建構(gòu)。

（展示學(xué)生活動(dòng)單，師生活動(dòng)交流學(xué)習(xí)成果）

尋找方法：有序思考，根據(jù)乘法或除法算式一對(duì)一對(duì)尋找。

在臨床思維能力、操作能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力方面，SBMEPBL組的贊成比例明顯高于PBL組（P＜0.05）；在提高自學(xué)能力、學(xué)習(xí)興趣方面，SBME-PBL組和PBL組兩組的贊成比例差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P＞0.05）。詳見(jiàn)表3。

尋找原則：不重復(fù)，不遺漏。

方法保障：有序思考。

特例指導(dǎo)：處理類似6×6=36，只算一個(gè)6為36的因數(shù)。

書寫指導(dǎo)：寫36的因數(shù)時(shí)，可以先在草稿上試著寫好，再按照從小到大的順序謄寫；如果能控制數(shù)與數(shù)之間的距離，可以直接書寫，每相鄰兩個(gè)數(shù)之間用逗號(hào)隔開(kāi)。

集合圖表示：

數(shù)形結(jié)合表示：

師：按照一對(duì)一對(duì)的方法，從小到大尋找一個(gè)數(shù)的因數(shù)，到什么時(shí)候就可以結(jié)束呢？讓我們一起來(lái)看。（屏幕出示：在數(shù)軸圖上從 1，36；2，18；3，12；4，9；6，6 逐對(duì)顯示，帶領(lǐng)學(xué)生感知使用這種找法尋找因數(shù)時(shí)兩個(gè)因數(shù)之間的距離越來(lái)越小，從而明確找到因數(shù)6時(shí)不再找下去）

3.及時(shí)練習(xí)。

（學(xué)生分別寫出6、11的因數(shù)，并交流）

師：你是怎樣找到？找全了嗎？

4.探索規(guī)律。

12 的因數(shù)有：1，2，3，4，6，12。

36 的因數(shù)有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。

6 的因數(shù)有：1，2，3，6。

11 的因數(shù)有：1，11。

（1）觀察思考。

觀察這些例子，獨(dú)立思考這些數(shù)的因數(shù)有什么特點(diǎn)？如果有困難，可以小組里商量。

（2）交流發(fā)現(xiàn)。

（不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生匯報(bào)發(fā)現(xiàn)）

教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，引導(dǎo)他們從一個(gè)數(shù)最小的因數(shù)、最大的因數(shù)、因數(shù)的個(gè)數(shù)等緯度展開(kāi)交流、討論，形成共識(shí)，使學(xué)生理解為什么因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的。

（3）歸納（課件出示）：一個(gè)數(shù)的因數(shù)最小是1，最大是它本身，一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的。

【設(shè)計(jì)意圖：如果說(shuō)學(xué)生借助于形的直觀去認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么對(duì)于任意數(shù)的因數(shù)就需要學(xué)生通過(guò)較為抽象的乘法（或除法）算式來(lái)探尋其一般方法。借助概念形成部分的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生通過(guò)合作學(xué)習(xí)順利發(fā)現(xiàn)找一個(gè)數(shù)因數(shù)的一般方法后，教師再借助集合圖、數(shù)軸圖等數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)一步幫助學(xué)生釋疑解惑，促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，進(jìn)而通過(guò)猜想、實(shí)驗(yàn)、觀察、驗(yàn)證比較等提煉總結(jié)出一個(gè)數(shù)因數(shù)的特征?！?/p>

五、活動(dòng)探索，研究倍數(shù)

1.找3的倍數(shù)。

活動(dòng)要求：

1.想一想：你打算用什么方法找3的倍數(shù)？

2.寫一寫：把找到的3的倍數(shù)按順序記錄下來(lái)。

3.議一議：3的倍數(shù)能說(shuō)完、寫全嗎？可以用什么符號(hào)來(lái)表示？

4.說(shuō)一說(shuō)：把自己找3的倍數(shù)的方法在小組里說(shuō)一說(shuō)。

2.交流建構(gòu)。

（展示學(xué)生活動(dòng)單，師生交流學(xué)習(xí)成果）

尋找方法：有序思考，根據(jù)乘法或除法算式一個(gè)一個(gè)地找，3×1=3，3×2=6……以此類推，會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)這樣的算式，所以一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無(wú)限個(gè)。

尋找原則：不重復(fù)，不遺漏。

方法保障：有序思考。

書寫指導(dǎo)：寫3的倍數(shù)時(shí)，可以按照從1倍開(kāi)始逐一寫出，一般寫出5個(gè)后，就在后面添上“……”，每相鄰兩個(gè)數(shù)之間仍然用逗號(hào)隔開(kāi)。

集合圖表示：

數(shù)形結(jié)合表示：

師：在數(shù)軸上能找到3的倍數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)嗎？這樣的點(diǎn)有多少個(gè)？

（根據(jù)學(xué)生口答，從 3，6，9，12……逐一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)呈現(xiàn)）

3.及時(shí)練習(xí)。

（1）說(shuō)出并寫出2的倍數(shù)。

（2）說(shuō)出并寫出5的倍數(shù)。

4.探索規(guī)律

3 的倍數(shù)有：3，6，9，12，15……

2 的倍數(shù)有：2，4，6，8，10……

5 的倍數(shù)有：5，10，15，20，25……

（1）觀察思考。

觀察這些例子，獨(dú)立思考這些數(shù)的倍數(shù)有什么特點(diǎn)？如果有困難，可以小組里商量。

（2）交流發(fā)現(xiàn)。

（不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生匯報(bào)發(fā)現(xiàn)）

教師根據(jù)學(xué)生發(fā)言，引導(dǎo)他們從一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)、最大的倍數(shù)、倍數(shù)的個(gè)數(shù)等緯度展開(kāi)交流、討論，形成共識(shí)。

（3）不完全歸納。

師：是不是任意一個(gè)非零自然數(shù)的倍數(shù)都有這樣的特點(diǎn)呢？自己任意找一個(gè)自然數(shù)，找一找，說(shuō)一說(shuō)，和同桌交流一下。

（4）形成結(jié)論。

屏幕出示：一個(gè)數(shù)的倍數(shù)最小是本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)是無(wú)限的。

【設(shè)計(jì)意圖：比起一個(gè)數(shù)的因數(shù)，學(xué)生對(duì)倍數(shù)有較為直覺(jué)的認(rèn)知，他們有二年級(jí)學(xué)過(guò)一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，教師也在引導(dǎo)學(xué)生用乘法（或除法）算式強(qiáng)化概念的本質(zhì)認(rèn)知。這樣按從小到大的順序探索一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，師生在充分互動(dòng)合作中經(jīng)歷了一個(gè)數(shù)的倍數(shù)有無(wú)限個(gè)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，并借助集合圖、數(shù)軸圖等方式幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)概念的理解和掌握，使他們?cè)诓孪搿?shí)驗(yàn)、觀察、驗(yàn)證、比較中提煉總結(jié)出一個(gè)數(shù)倍數(shù)的特征?！?/p>

六、全課總結(jié)，梳理脈絡(luò)

通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

【設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)有助于學(xué)生把所學(xué)知識(shí)初步形成脈絡(luò)分明、層次清楚的結(jié)構(gòu)圖，幫助學(xué)生抓住知識(shí)本質(zhì)，為學(xué)生內(nèi)化新知奠定基礎(chǔ)?！?/p>

七、多樣練習(xí)，效度達(dá)成

1.猜猜這個(gè)數(shù)是幾？（題目逐一出現(xiàn)，搶答）

1.一個(gè)數(shù)最小的倍數(shù)是60，這個(gè)數(shù)是多少？

2.一個(gè)數(shù)最大的因數(shù)是90，這個(gè)數(shù)是多少？

3.一個(gè)數(shù)的最小倍數(shù)和最大因數(shù)都是100，這個(gè)數(shù)是多少？

4.一個(gè)數(shù)的最小因數(shù)是1，這個(gè)數(shù)是多少？

2.猜猜誰(shuí)的因數(shù)個(gè)數(shù)多？

60、90、100 這幾個(gè)數(shù)，哪個(gè)數(shù)的因數(shù)最多？

生：100的因數(shù)多。（預(yù)測(cè)）

（釋疑，引入60進(jìn)制的緣由）

【設(shè)計(jì)意圖：知識(shí)是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，學(xué)習(xí)就是幫助學(xué)生建立網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)“猜猜這個(gè)數(shù)是幾”這個(gè)游戲活動(dòng)，植入開(kāi)放元素，將答案不唯一的習(xí)題引入到概念教學(xué)中，在學(xué)生異口同聲回答是“1”后陷入5秒左右的集體靜默中，學(xué)生充分關(guān)聯(lián)新學(xué)知識(shí)的相互聯(lián)系發(fā)現(xiàn)問(wèn)題答案的不唯一，溝通因數(shù)和倍數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系的自我建構(gòu)和完善。第二次猜想將學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情推到制高點(diǎn)，他們猜想受挫后，教師適時(shí)推出60進(jìn)制的緣由猶如久旱甘霖，讓學(xué)生恍然大悟，又有所不甘，期待課后的深度探尋驗(yàn)證。這樣不僅能有效激發(fā)學(xué)生的探究欲望，還能令課堂教學(xué)渾然一體，更有數(shù)學(xué)味?！?/p>