數(shù)量表征理論與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

趙 晨 吳夢(mèng)迪

表征是人們頭腦中再現(xiàn)事物和認(rèn)識(shí)事物的方式，數(shù)量表征就是數(shù)量概念在個(gè)體頭腦中的再現(xiàn)方式，即個(gè)體頭腦中以何種方式理解數(shù)量概念及其關(guān)系。數(shù)量表征的過(guò)程就是個(gè)體頭腦內(nèi)部對(duì)數(shù)量刺激的解釋、表達(dá)和操作的過(guò)程。

美國(guó)學(xué)者Siegler及其團(tuán)隊(duì)在研究中發(fā)現(xiàn)，兒童早期數(shù)量表征的表現(xiàn)與其后來(lái)的數(shù)學(xué)成就密切相關(guān)。因此，在小學(xué)階段甚至幼兒時(shí)期培養(yǎng)兒童數(shù)量表征能力顯得至關(guān)重要。這就要求小學(xué)數(shù)學(xué)教師充分了解兒童數(shù)量表征發(fā)展的特點(diǎn)，并在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中積極采取相應(yīng)方法促進(jìn)兒童數(shù)量表征的發(fā)展。

一、Siegler數(shù)量表征理論

Siegler是美國(guó)兒童數(shù)量認(rèn)知科學(xué)研究的代表性人物，其研究理論主要包含了心理數(shù)字線以及兒童數(shù)量表征的發(fā)展階段等。

1.心理數(shù)字線。

心理數(shù)字線，即心理數(shù)軸，它是用來(lái)描繪兒童數(shù)量表征發(fā)展過(guò)程的工具。在兒童數(shù)量表征的研究中，研究者們將兒童內(nèi)心看不見(jiàn)的心理數(shù)字線顯性化，轉(zhuǎn)化成可見(jiàn)的、可分析的真實(shí)數(shù)字線，并通過(guò)“數(shù)字線估計(jì)”任務(wù)，來(lái)了解兒童數(shù)量表征的發(fā)展情況。

在“數(shù)字線估計(jì)”任務(wù)中，研究者向兒童呈現(xiàn)一系列數(shù)字線，在數(shù)字線兩端分別標(biāo)注有恒定的數(shù)字（例如0和100），并要求兒童根據(jù)出示的另一數(shù)字（例如35）在數(shù)字線上標(biāo)注出對(duì)應(yīng)的位置（每條數(shù)字線標(biāo)注一個(gè)數(shù)字）。根據(jù)兒童在數(shù)字線上標(biāo)注的數(shù)字位置，研究者建立出兒童數(shù)量估計(jì)特點(diǎn)的模型，來(lái)描述兒童數(shù)量表征的發(fā)展特點(diǎn)。

研究發(fā)現(xiàn)，兒童的心理數(shù)字線是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、不斷變化的結(jié)構(gòu)，即隨著兒童數(shù)量表征的發(fā)展，兒童的心理數(shù)字線也在不斷調(diào)整，逐漸趨于精確。

2.數(shù)量表征階段。

兒童從出生到成熟，其數(shù)量表征的發(fā)展分為如下四個(gè)階段∶第一階段，形成越來(lái)越精確的非符號(hào)數(shù)量表征；第二階段，將非符號(hào)數(shù)量表征與符號(hào)數(shù)量表征聯(lián)系起來(lái)；第三階段，擴(kuò)展可精確表征的整數(shù)范圍（從精確表征小整數(shù)到精確表征大整數(shù)）；第四階段，精確表征整數(shù)以外的數(shù)，特別是分?jǐn)?shù)、小數(shù)和負(fù)數(shù)。從心理數(shù)字線角度看，即隨著兒童年齡的增長(zhǎng)，心理數(shù)字線慢慢向右延伸以表征更大的整數(shù)，向左延伸以表征負(fù)數(shù)，后又?jǐn)U展到對(duì)分?jǐn)?shù)和小數(shù)等的符號(hào)表征。小學(xué)階段兒童主要經(jīng)歷了后三個(gè)階段。

（1）從非符號(hào)數(shù)量表征到符號(hào)數(shù)量表征。

兒童的數(shù)量表征從形式上可分為非符號(hào)表征和符號(hào)表征兩種。比如，對(duì)于數(shù)量“3”的表征可以是非符號(hào)形式的，如三只兔子、三種聲音等；也可以是符號(hào)形式的，如阿拉伯?dāng)?shù)字“3”及其他各種形式的數(shù)詞“三”“three”等。

兒童在開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)字之前，就能夠以非符號(hào)的方式來(lái)表征數(shù)字的大小，該階段的表征不依賴(lài)于符號(hào)知識(shí)，是一種非符號(hào)表征。對(duì)該階段兒童數(shù)量表征的研究，主要是通過(guò)讓兒童識(shí)別點(diǎn)陣的方式。該階段兒童非符號(hào)數(shù)量表征的精確度隨著年齡的增長(zhǎng)不斷提高。比如6個(gè)月的嬰兒能分辨以2：1的比例呈現(xiàn)的點(diǎn)陣（如18個(gè)點(diǎn)和9個(gè)點(diǎn)）；而6歲兒童能區(qū)分6：5的點(diǎn)陣（如18個(gè)點(diǎn)和15個(gè)點(diǎn)）。

兒童的符號(hào)數(shù)量表征則是在其開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)字符號(hào)之后發(fā)展起來(lái)的，幼兒及小學(xué)低年級(jí)兒童處于掌握符號(hào)系統(tǒng)的初期階段。在初期階段，兒童對(duì)于整數(shù)數(shù)量的表征呈現(xiàn)出兩種表征形式，即對(duì)小數(shù)（1至3或4的自然數(shù)）的精確表征和對(duì)大數(shù)（大于3或4的自然數(shù)）的近似表征。

（2）從小數(shù)量精確表征擴(kuò)展到大數(shù)量精確表征。

在符號(hào)數(shù)量表征的發(fā)展中，兒童對(duì)于整數(shù)的精確表征范圍逐漸從小數(shù)量的精確表征擴(kuò)展到大數(shù)量的精確表征。換句話說(shuō)，兒童對(duì)于大數(shù)量（大于3或4的自然數(shù)）的表征逐漸由近似表征轉(zhuǎn)向精確表征。

兒童在符號(hào)數(shù)量表征中，對(duì)于小數(shù)量間的心理距離比大數(shù)量間的心理距離大得多。比如，在0~10的數(shù)字線上標(biāo)注數(shù)字時(shí)，3歲和4歲兒童估計(jì)的小數(shù)量間的距離就比大數(shù)量間的距離更大，如認(rèn)為數(shù)字“2”和“3”之間的距離比“7”和“8”之間的距離大，這種估計(jì)模式稱(chēng)為“對(duì)數(shù)模型”；而5歲和6歲的兒童則能均等地估計(jì)這兩對(duì)數(shù)字間的距離，這種估計(jì)模式稱(chēng)為“線性模型”。

研究發(fā)現(xiàn)，在0~100范圍內(nèi)，5歲和6歲兒童的估計(jì)模式呈對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，而7歲和8歲兒童呈線性增長(zhǎng)。在0~1000范圍內(nèi)，7歲和8歲兒童估計(jì)模式呈對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，而9歲和10歲兒童呈線性增長(zhǎng)。因此，兒童數(shù)量表征的精確程度受到兒童年齡的影響。隨著兒童年齡的增長(zhǎng)，兒童精確表征整數(shù)的范圍逐漸從小數(shù)量擴(kuò)展到大數(shù)量。

（3）從整數(shù)符號(hào)表征擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)符號(hào)表征。

兒童對(duì)數(shù)量的符號(hào)表征是從整數(shù)表征開(kāi)始的，隨著年齡和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)，表征范圍逐漸從整數(shù)表征擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)表征、小數(shù)表征。當(dāng)然，這與兒童數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)的順序也是一致的——先學(xué)習(xí)整數(shù)，再學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)等。

兒童的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征與整數(shù)數(shù)量表征之間有很多相似之處。隨著年齡的增長(zhǎng)，兒童的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征也是由對(duì)數(shù)表征向線性表征發(fā)展，并且精確性會(huì)逐漸增強(qiáng)。Siegler等發(fā)現(xiàn)，在0～1數(shù)字線估計(jì)任務(wù)上，初中低年級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)表征的準(zhǔn)確性顯著高于小學(xué)高年級(jí)學(xué)生，且前者表征的線性程度更好。這在一定程度上說(shuō)明，隨著兒童對(duì)數(shù)字符號(hào)學(xué)習(xí)及理解的不斷深入，兒童的分?jǐn)?shù)數(shù)量表征隨著年齡的增長(zhǎng)也在不斷發(fā)展。

但是，分?jǐn)?shù)與整數(shù)的符號(hào)表征發(fā)展之間依然存在明顯差異。首先，兒童分?jǐn)?shù)符號(hào)表征的發(fā)展比整數(shù)符號(hào)表征的發(fā)展要晚很多。另外，兒童的分?jǐn)?shù)表征在精確性上不及整數(shù)表征，很難達(dá)到精確表征水平。

二、數(shù)量表征理論對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

兒童數(shù)量表征的發(fā)展具有階段性，且早期兒童在數(shù)量表征上的表現(xiàn)與其之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)密切相關(guān)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)關(guān)注兒童的數(shù)量表征，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，促進(jìn)兒童數(shù)量表征的發(fā)展，這對(duì)于兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有重要的意義。

1.幫助兒童建立對(duì)大數(shù)的精確表征。

早期兒童可以形成對(duì)小數(shù)的精確表征和對(duì)大數(shù)的近似表征，而對(duì)于大數(shù)的精確表征往往存在諸多困難。在教學(xué)過(guò)程中，教師很難認(rèn)識(shí)到兒童表征數(shù)量的心理過(guò)程，這是不利于兒童數(shù)量表征的發(fā)展的。西方利用數(shù)字線估計(jì)任務(wù)來(lái)測(cè)量?jī)和瘮?shù)量表征的特點(diǎn)，則能夠?qū)和男睦頂?shù)字線顯性化。結(jié)合我國(guó)的教學(xué)實(shí)際，“數(shù)軸”是一個(gè)很好的表征工具和教學(xué)手段。

利用“數(shù)軸”，兒童能夠從數(shù)軸的方向上了解數(shù)的大小關(guān)系，右邊的數(shù)字比左邊的數(shù)字大；數(shù)軸的單位長(zhǎng)度表示每?jī)蓚€(gè)相鄰整數(shù)之間的距離都是相等的。教師利用數(shù)軸幫助兒童進(jìn)行對(duì)大數(shù)的表征，有利于兒童對(duì)數(shù)量大小的主觀感受及其數(shù)量表征由近似走向精確，比如，兒童會(huì)認(rèn)識(shí)到3513和3518之間的距離與1和6之間的距離是一樣大的。

然而，目前在我國(guó)教學(xué)實(shí)踐中，教師對(duì)數(shù)軸的使用還不夠充分，很多地區(qū)到五年級(jí)及以后才真正開(kāi)始引入數(shù)軸。因此，小學(xué)教師應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)數(shù)軸功能的開(kāi)發(fā)和使用，在小學(xué)低年級(jí)階段就可以利用數(shù)軸帶領(lǐng)兒童進(jìn)行相關(guān)大數(shù)的估計(jì)和表征。

此外，Siegler等人認(rèn)為“反饋”是促使兒童對(duì)大數(shù)量精確表征的重要因素。反饋對(duì)兒童的數(shù)量表征具有調(diào)節(jié)作用，經(jīng)過(guò)教師的反饋，兒童的數(shù)量表征水平會(huì)產(chǎn)生明顯轉(zhuǎn)變。而且不只是被反饋的幾個(gè)數(shù)字發(fā)生了轉(zhuǎn)變，反饋對(duì)于整個(gè)大范圍內(nèi)的數(shù)字表征都產(chǎn)生了顯著影響。

因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師需要在關(guān)注兒童數(shù)量表征的基礎(chǔ)上，充分利用數(shù)軸，幫助兒童建立對(duì)大數(shù)量的精確表征。并及時(shí)對(duì)兒童在數(shù)軸上的標(biāo)數(shù)活動(dòng)進(jìn)行反饋，糾正偏差錯(cuò)誤，給予解釋性和針對(duì)性指導(dǎo)，從而使得兒童的心理數(shù)字線不斷調(diào)整，逐步精確。

2.幫助兒童建立分?jǐn)?shù)符號(hào)表征。

分?jǐn)?shù)是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要部分，一般從三、四年級(jí)開(kāi)始正式學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)。然而，相對(duì)于整數(shù)表征，兒童對(duì)分?jǐn)?shù)的表征更為困難，很多兒童很難真正理解分?jǐn)?shù)所代表的數(shù)量意義。因此，幫助兒童建立對(duì)分?jǐn)?shù)的表征是當(dāng)前教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)教學(xué)強(qiáng)調(diào)整體與部分的關(guān)系以及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則，例如把一個(gè)圓平均分成四份，其中的一份就是它的四分之一。而Fuchs等開(kāi)發(fā)的四年級(jí)“挑戰(zhàn)分?jǐn)?shù)”課程研究發(fā)現(xiàn)，通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)大小的比較、排序，以及在數(shù)軸上標(biāo)識(shí)分?jǐn)?shù)等活動(dòng)，能更有效地促進(jìn)兒童分?jǐn)?shù)數(shù)量表征的發(fā)展。

因此，在分?jǐn)?shù)的教學(xué)中，小學(xué)教師仍然可以借助數(shù)軸幫助兒童建立對(duì)分?jǐn)?shù)的符號(hào)表征。通過(guò)在數(shù)軸上表示分?jǐn)?shù)，使兒童對(duì)分?jǐn)?shù)的概念、大小關(guān)系等有直觀的感受，并進(jìn)一步明確整數(shù)和分?jǐn)?shù)的聯(lián)系與區(qū)別。整數(shù)和分?jǐn)?shù)都能在數(shù)軸上表示，分?jǐn)?shù)既可以表示具體的數(shù)，又可以表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，整數(shù)也可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)等。

3.加強(qiáng)數(shù)量表征經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)量表征能力。

Siegler和MuYan于2008年進(jìn)行的跨文化研究發(fā)現(xiàn)，相較于美國(guó)兒童，中國(guó)兒童數(shù)字線估計(jì)的準(zhǔn)確性更高。其原因可能在于中國(guó)兒童的數(shù)字學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)較多。中國(guó)教師和家長(zhǎng)普遍重視兒童數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，在一年級(jí)時(shí)中國(guó)兒童就已有100以?xún)?nèi)數(shù)的表示、數(shù)的大小比較、數(shù)的運(yùn)算等較為豐富的數(shù)量學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這在一定程度上促進(jìn)了兒童數(shù)量表征能力的發(fā)展。不僅如此，我國(guó)學(xué)者陳英和等人也發(fā)現(xiàn)，兒童數(shù)數(shù)水平和數(shù)概念水平越高，反饋的促進(jìn)作用越大。可見(jiàn)，兒童數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是影響兒童數(shù)量表征的一個(gè)重要因素。

為了加強(qiáng)兒童數(shù)量表征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在小學(xué)階段尤其是低年級(jí)，教師可以結(jié)合兒童思維表征的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)卦谡n堂中以小組活動(dòng)形式開(kāi)展數(shù)字棋盤(pán)游戲并給予反饋。具有線性排列、連續(xù)編號(hào)的相同大小空間的棋盤(pán)游戲，可以提供兒童關(guān)于數(shù)量表征的動(dòng)覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)和視覺(jué)的感官經(jīng)驗(yàn)，加強(qiáng)兒童數(shù)字技能的練習(xí)，特別是計(jì)數(shù)和數(shù)字識(shí)別等。因此，線性棋盤(pán)游戲的有效利用，將對(duì)我國(guó)兒童早期數(shù)量表征能力的提升具有促進(jìn)作用。