經歷關鍵步驟理解關鍵意義
——《用字母表示數》教學實踐與反思

賈春波

【教學內容】

人教版五年級。

【教學實踐與反思】

一、不確定（未知）情況可用字母表示

1.表征對象從確定到不確定（如下圖）。

出示問題情境，學生嘗試表達，然后依次呈現出一些典型表征方式。

師：（提出關鍵問題）老師看了同學們的作業(yè)后，發(fā)現前兩幅圖大家表示一致：3和5，而第三幅存錢罐的表示卻不同，這是為什么？

生：前面的硬幣個數確定，是3和5；存錢罐里的是未知、不確定的。

師：看來同學們都認為前兩幅圖的硬幣個數是確定的，可用數表示；而存錢罐的硬幣個數無法確定，是未知的，所以大家的表示方法就各不相同。

2.聚焦未知表征的對比。

師：（提出關鍵問題）存錢罐里用“8”“未知”“x”這三種方法，你欣賞哪一種，為什么？

生：我喜歡第二種，“8”只表示了一種，而用文字寫的意思很明白。

生：我選第三種，“8”表示一種，但還有很多可能，用文字寫較麻煩，字母較為簡單。

生：我也選第三種，“8”是確定的，而存錢罐里的錢是未知的、不確定的，字母可以表示多種情況，又簡潔。

師：通過討論可知，確定的情況用數表示，不確定的情況可用字母表示。

【反思：用字母表示未知量，人教版教材沒這個環(huán)節(jié)，之所以安排，是因為歷史發(fā)生原理指出，學生應經歷“記數→未知→一類”這三個步驟。更為重要的是，從記數到未知的過渡，其關鍵是表示的對象發(fā)生變化，即從“確定”到“不確定”，隨之表示的意義也發(fā)生變化。確定情況用數來表示，學生已積累較為豐富的經驗，但對“不確定情況怎么表示？為什么用字母表示比較好？”等問題知之甚少。實踐中用兩個對比，讓學生思辨其內在原理。對比一：通過圈內確定的硬幣數與存錢罐內不確定的硬幣數對比。不確定情況下，再用“具體的數”表示，就有其不足之處，即具體數只能表示出一種具體情況，所以要選用其他的方法；對比二：“未知表征”形式的對比。通過比較發(fā)現，具體數、文字、字母三種典型的表征方式，每一種都有其優(yōu)缺點，其中字母因為簡潔、又具有不確定性，用來表示未知、不確定情況最為合理?！?/p>

二、字母表示一個集合中的任意情況

1.具體與抽象的對比。

師：剛才大家認為，存錢罐里的1元硬幣數是未知的、多種情況的，所以用字母來表示，x可以是0個，也能是1個、2個……，最多是200個。（指這個存錢罐最多放的1元硬幣數）那用1與x表示存錢罐里的硬幣數有什么不同呢？

生：1只能表示一種情況，x能表示存錢罐里所有可能硬幣數中的任意一種情況，如0~200中的任意一個數。

2.特殊與一般的對比（如下圖）。

師：4與a都可表示小紅的年齡，4與a有什么不同？

生：4只表示一年的年齡，a表示任何一年的年齡，也就是從出生到死亡的任何一個年齡。

師：4＋32與 a＋32 都可表示爸爸的年齡，這兩個又有什么區(qū)別？

生：4＋32只表示爸爸36歲一年的年齡，a＋32則可以表示32歲以上的任何一年年齡。

【反思：從字母表示數意義的“未知量”階段過渡到“一類量”階段，其主要的問題是表示“對象”的意義發(fā)生“質變”，即從特定量（特殊）到變量（一般）。數只能表示一個特定的情況，字母不僅能表示特定一種情況，還能表示一個集合中任意一個值的量。這是兩者的本質區(qū)別，也是字母表示數的優(yōu)勢所在，即能一般化的表示一類量。它是從算術思維過渡到代數思維“質”的飛躍的重要標志。在教學中，讓學生經歷兩次“具體數”與“字母”的對比思辨，從而理解字母是表示一個集合中的任意一個數。

實踐中，學生對字母表示未知量“x”意義的理解處在不同的水平層次。經過對比、思辨、交流等數學活動，促使學生對字母表示數的意義理解從低水平層次向高水平層次轉變，較為深刻的理解字母表示變量的意義，也進一步體會到字母表示數的優(yōu)越性。也為用字母式表示具體情境中的數量關系（變量），及辯論“4＋32”與“a＋32”的不同，鋪墊了理解的基礎?！?/p>

三、字母式既表示關系又表示數

1.重構“＝”意義，感悟“式”表示數（如下圖）。

師：這些算式中“＝”表示的是什么意思？

生：小紅年齡＋32等于爸爸的年齡。

師：左邊的1+32與右邊爸爸的年齡33是相等的。那“1+32”算式可以表示爸爸的歲數嗎？

生：可以表示，因為左右相等。

師：那你喜歡用1+32還是喜歡用33來表示爸爸的年齡呢？

生：我喜歡33，因為它很清晰。

生：1+32，能看出爸爸的年齡，還知道比小紅大32。

2.遷移比較，感悟“字母式”表示數（如下圖）。

師：看數學信息，知道了什么？

生：賈老師比小紅大28歲。

師：你是怎么知道的？

生：a＋28，是用小紅年齡a加28得到的。

師：這么說，a＋28不僅表示賈老師的年齡，還表示賈老師與小紅年齡間的大小關系。那剛才的a＋32又表示了什么呢？

生：a＋32不僅表示了爸爸的年齡，還可看出爸爸比小紅大32歲這個關系。

師：根據剛才的經驗，想一想“（a＋32）＋30”會是誰的年齡？

生：爺爺歲數，a＋32是爸爸年齡，爺爺比爸爸還要大30歲。

生：只要比爸爸（a＋32）大 30歲的人都有可能。

師：（a＋32）＋30表示了什么意思？

生：表示比爸爸大30歲的歲數，又表示比爸爸大30歲的關系。

【反思：能理解字母式既能表示關系（過程），又能表示對象（結果）是理解字母表示一類量意義的重要的標志。在代數中，如字母式a+32，既表示a與32相加這一個過程操作，又表示為對象、結構，即a+32的結果就是a+32。然而正是這種既表示過程又表示對象的“二重性”特征，給學生造成了主要的理解障礙。它之所以難，不僅僅是因為它本身具有的抽象性，還在于對它的建構，要抵制已有知識經驗的強烈負遷移。因為“式”（如 2＋32）算術中，具有操作性的、表示過程的，目的是求結果，學生潛意識中要把2＋32計算為34；而在代數運算中是結構性的，是形式變換，關注結構，注重關系，此時的“式”除了體現過程外，更多是關系結構的形式化。

為突破，先重構“＝”意義，鋪墊理解基礎。Booth提出“如果學生不能理解兩個集合（假定分別含有5個和8個）物件的總數可以寫成5+8，那么要他們理解a+b表示了兩個集合（分別含有a個和b個）物件的總數就更不可能了。”然要改造學生已有的經驗，要結合“＝”意義重構一起進行，因為“＝”在算術中，代表運算得到結果，是具有方向性、程序性的。而在代數中，“＝”代表一種等價關系，因此“＝”左右兩邊需有同樣的大小，沒有方向性，具有結構性。先認識到33與1＋32是等價的，都能表示爸爸的年齡，且1＋32還能看出與小紅的關系，有了這樣的理解基礎，遷移到a＋32表示爸爸的年齡就簡單多了。

為突破，再類比推理，思辨說理中加深理解。從a＋28中能得到什么信息？在解決中，學生需要拿“a＋28”與“a”進行比較。比較時，先是把a+28看成一個數，與a比較后得出大28歲，則把a＋28理解成了一種關系。然后自然類比到對“a＋32”和“（a＋32）＋30”的理解，在思辨、說理中加深了對字母式既表示關系又表示數的理解與建構。】