淺析函數(shù)概念發(fā)展的幾個階段

摘 要：自17世紀近代數(shù)學產生以來，函數(shù)概念一直處于數(shù)學的核心位置。它既是數(shù)學研究的對象，又是解決數(shù)學問題的基本思想方法。本文簡單介紹函數(shù)概念的產生、發(fā)展、完善、成熟四個階段。我們希望通過研究函數(shù)概念，幫助我們領悟數(shù)學概念對數(shù)學發(fā)展的推動作用，學會用函數(shù)思想去分析和解決實際問題。

關鍵詞：函數(shù)概念；歷史；發(fā)展；階段

一、函數(shù)概念產生的歷史背景

在公元17世紀之前，數(shù)學上占統(tǒng)治地位的是常量數(shù)學，其特點是用孤立、靜止的觀點去研究事物。從17世紀開始，自然科學開始大踏步地前進，天文、航海和科學技術的發(fā)展，向數(shù)學提出了一系列必須從運動變化和發(fā)展的觀點來研究事物的新問題。這些問題都需要探究兩個變量之間的關系，并根據(jù)這種關系對事物變化規(guī)律作出判斷。社會多方面的實踐需要人們對各種“運動”進行研究，函數(shù)概念正是從運動的研究中引出的一個數(shù)學概念。正是在這樣的歷史背景下，促使了函數(shù)概念的逐步形成和發(fā)展。

二、函數(shù)概念的形成與發(fā)展

從歷史角度看，函數(shù)概念發(fā)展可以劃分為四個階段：產生階段、發(fā)展階段、完善階段、成熟階段。主要包括：17世紀幾何觀念下的變量說，18世紀代數(shù)觀念下的解析式說，19世紀對應關系下的變量對應說，20世紀后集合論下的集合對應說。

（一）函數(shù)概念的產生階段

17世紀幾何觀念下的變量說。在17世紀早期，意大利物理學家及數(shù)學家伽俐略在《兩門新科學》中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關系這一概念。他提出：“兩個等體積圓柱體的面積之比，等于它們高度之比的平方根?！边@是早期關于變量或函數(shù)概念的描述，也可以說是函數(shù)概念的起源。

1637年法國數(shù)學家笛卡爾發(fā)現(xiàn)了量的變化與量之間的依賴關系，并在數(shù)學中引進了變量思想。他在《幾何學》一書中指出：所謂變量是指“不知的和未定的量”，同時引入了兩個變量之間的相依關系。這便是函數(shù)概念的幾何概念，也為函數(shù)概念的產生奠定了思想基礎。可惜的是笛卡爾沒有意識到要提煉函數(shù)概念。

1673年，萊布尼茲在《有關切線的逆方法即函數(shù)》中首次使用“function”（函數(shù)）表示任一個隨著曲線上的點變動的量，并指出：“曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線的長度、垂線的長度等，所有與曲線上的點有關的量稱為函數(shù)。”總之，17世紀出現(xiàn)了函數(shù)概念的一點端倪，但函數(shù)的一般定義仍沒有誕生。

（二）函數(shù)概念的發(fā)展階段

18世紀代數(shù)觀念下的解析式說。1718年，約翰·伯努利在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上，對函數(shù)概念進行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構成的量?！彼炎兞縳和常量構成的式子都叫做x的函數(shù)，并強調函數(shù)要用公式來表示。

1748年，瑞士數(shù)學家歐拉在其著名的《無窮分析引論》一書中把函數(shù)定義為：“一個變量的函數(shù)是由該變量的一些數(shù)或常量與任何一種方式構成的解析表達式?！卑炎兞颗c常量以及由它們的加、減、乘、除、乘方、開方和三角、指數(shù)、對數(shù)等運算構成的式子，均稱為函數(shù)。1755年，他又給出了“依賴性”的函數(shù)定義：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù)?！睔W拉最大的進步就是把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，這是便是科學函數(shù)定義的雛形。

（三）函數(shù)概念的完善階段

19世紀對應關系下的變量對應說。1821年，法國數(shù)學家柯西在《分析學講義》中給出了函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。”他認為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限。

1837年，德國數(shù)學家狄利克雷認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y總有一個完全確定的值與之對應，那么y叫做x的函數(shù)。”這個定義徹底地拋棄了前述一些定義中解析式等的束縛，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關于依賴關系的描述，特別強調和突出函數(shù)概念的本質——對應思想，使之具有更加豐富的內涵。這就是人們常說的經典函數(shù)定義。并且他還構造一個以他自己名字命名的狄利克雷函數(shù)：

總之，從18世紀前后開始，經過許多數(shù)學家的不斷探索和研究函數(shù)概念有了長足的發(fā)展。但至少到19世紀前半期，關于函數(shù)概念的敘述仍是不一致的，因此函數(shù)的概念仍需進一步完善。

（四）函數(shù)概念的成熟階段

20世紀后集合論下的對應說。20世紀初，德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論。到了20世紀后半葉，集合論得到迅速發(fā)展，從集合論角度定義函數(shù)概念就更一般化了。最終給出完善的現(xiàn)代函數(shù)定義的是法國的布爾巴基學派，定義如下：設A和B是兩個非空集合，A中的一個變元x和B中的變元y之問的一個關系稱為一個函數(shù)關系，如果對每一個x∈A，都存在唯一的y∈B，它滿足與x的給定關系。我們稱這樣的運算為函數(shù)。我們當今高中課本的函數(shù)定義也是根據(jù)這一定義簡化而成的。

總的來說，函數(shù)概念的形成是由研究靜止現(xiàn)象到研究運動、變化現(xiàn)象的結果。縱觀300年來函數(shù)概念的發(fā)展，經歷了無數(shù)數(shù)學家“一次次的提出概念、一次次的推翻概念”的探究過程，眾多數(shù)學家從幾何、代數(shù)、對應、集合的角度不斷賦予函數(shù)概念以新的思想。

通過研究函數(shù)概念，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)思想能深刻反映客觀世界的運動和實際的量之間的依賴關系，是培養(yǎng)高中生分析、解決實際問題的有力工具。所謂函數(shù)思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)，再利用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。許多問題如果能用函數(shù)的觀點去認識和處理，那么我們就容易找到解決問題的辦法和途徑。因此加強函數(shù)的教學及函數(shù)思想的滲透，使高中生樹立函數(shù)思想，具有重大的現(xiàn)實意義。

參考文獻：

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[2]徐品方.函數(shù)概念的產生與發(fā)展[J].數(shù)學教師，1994（1）.

作者簡介：周理園，深圳市光明新區(qū)高級中學。