《悉尼協(xié)議》框架下基于應(yīng)用和創(chuàng)新的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)

高瑾，張平安，林園

（1.深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院計算機(jī)學(xué)院；2.深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部，廣東 深圳 518172）

作為當(dāng)前國際上關(guān)于工程技術(shù)教育認(rèn)證的“三大”互認(rèn)協(xié)議之一，《悉尼協(xié)議》主要針對接受三年制高等教育培養(yǎng)的“工程技術(shù)專家”認(rèn)證，即與我國的高職職業(yè)教育相對應(yīng)和銜接。《悉尼協(xié)議》有一套完整嚴(yán)格的認(rèn)證標(biāo)準(zhǔn)，包括培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)生、畢業(yè)要求、課程體系、師資隊伍、持續(xù)改進(jìn)、畢業(yè)生跟蹤反饋及社會評價等。雖然目前我國還未加入該協(xié)議，但是全面加入國際工程教育認(rèn)證、走國際化道路，是高職教育的發(fā)展趨勢和必經(jīng)之路。所以，《悉尼協(xié)議》對于我國的高等職業(yè)教育具有非常重要的參考意義和借鑒價值[1][2]。

高等數(shù)學(xué)是高職院校的基礎(chǔ)類課程，不僅為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，而且可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理能力，作為專業(yè)的支撐，為學(xué)生今后的發(fā)展起著重要作用?！断つ釁f(xié)議》中要求學(xué)生具有“適用于本專業(yè)所屬子學(xué)科的、用于支撐分析和建模的、以概念為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)、數(shù)值分析、統(tǒng)計學(xué)及計算機(jī)與信息科學(xué)的通識內(nèi)容”，另外要求課程體系必須“包含與本專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)相適應(yīng)的數(shù)學(xué)與自然科學(xué)類課程”[2]。但是數(shù)學(xué)類課程難度相對較大，公式理論比較枯燥，對于高職院校的同學(xué)來說，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)決定著他們的接受度和積極性都不是很高。另外，高職院校普遍開設(shè)數(shù)學(xué)課的范圍較小，以我校2017級新生為例，僅有12個專業(yè)共計22個班次開設(shè)了數(shù)學(xué)課。這些現(xiàn)狀直接影響著數(shù)學(xué)類課程的學(xué)習(xí)效果和普及范圍，與《悉尼協(xié)議》的要求也有著一定差距。

面對上述問題，為更好適應(yīng)不斷發(fā)展的教育理念和高職教育“走出去”、“國際化”的要求，我們必須打破傳統(tǒng)思維，對高等數(shù)學(xué)課程進(jìn)行改革?？梢試L試通過案例教學(xué)，創(chuàng)新教學(xué)模式，使數(shù)學(xué)課更多地與應(yīng)用相結(jié)合、與專業(yè)相結(jié)合、與生活相結(jié)合，利用新媒體條件，使學(xué)生從“學(xué)數(shù)學(xué)”到“做數(shù)學(xué)”再到“用數(shù)學(xué)”。從教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)手段甚至教學(xué)評價等方面，進(jìn)行改革創(chuàng)新，并且逐步對數(shù)學(xué)課程開展的范圍進(jìn)行推廣和普及。這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)課程甚至專業(yè)課程的興趣，較好完成數(shù)學(xué)課程的教學(xué)任務(wù)，而且可以緊跟我校教育理念，與高職教育培養(yǎng)目標(biāo)和我校人才培養(yǎng)理念相一致，與《悉尼協(xié)議》要求相一致，培養(yǎng)出適應(yīng)社會發(fā)展和國際接軌的應(yīng)用型人才。

本文從教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式的改革出發(fā)，對基于應(yīng)用和創(chuàng)新的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)做一些討論，以下從應(yīng)用、專業(yè)、生活方面舉幾個典型的案例：

1 案例與應(yīng)用相結(jié)合

在高數(shù)課程中，導(dǎo)數(shù)是很重要的概念，是微分與積分的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用其中一項是求可導(dǎo)函數(shù)的極值和最大最小值。在講述如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值和最大最小值時，我們往往會給出若干定理、定義和步驟，通常學(xué)生會云里霧里，做題的時候容易出錯。但是在實(shí)際問題中，其實(shí)并沒有那么復(fù)雜，因為如果我們明確知道此問題存在最大或最小值，并且在自變量的取值范圍內(nèi)只有唯一的駐點(diǎn)，就可以直接斷定該點(diǎn)處的函數(shù)值即為所求[3]。所以，講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時，可以多選取實(shí)際案例，讓學(xué)生輕松接受。例如，我們可以舉如下例子：

一個服裝商家有一款爆款外套，每件的價格為100元，每天的銷售量為100件，外套的成本為60元，現(xiàn)在商家想通過價格的增加來提高利潤，經(jīng)過測試，這件外套每增加1元，銷量會下滑2%，那么商家究竟該怎樣做呢？

此問題并沒有明確說要求函數(shù)的最大最小值，這只是一個實(shí)際問題。這里就可以啟發(fā)同學(xué)們，進(jìn)行仔細(xì)分析。對于商家來說，要追求的肯定是利益最大化，外套如果價格增加，銷量就會減少，如果價格減少，銷量就會增加。那么是否存在一個合適的值，可以使商家的利潤最大呢？于是，此問題就變成：外套的價格如何變化，可以使得商家的利潤最大。要求出這個問題，我們首先要表示出利潤函數(shù)。

我們建立模型如下：

其中x表示價格的變化，S表示利潤，是關(guān)于x的函數(shù)； ,cm和p是參數(shù)，分別表示原始價格，原始銷量和每件成本。將數(shù)值帶入化簡可得：

所以問題變成求一元函數(shù) S (x)的最大值。至此，我們將一個實(shí)際問題變成了數(shù)學(xué)問題。利用微分法可以求得當(dāng) x = 5 時 S (x)取最大值4050。這是數(shù)學(xué)上的結(jié)果，將其帶回到實(shí)際問題就能得出結(jié)論：將價格提高5元，可以得到最大利潤4050元。

反觀此問題，其實(shí)單獨(dú)就最后的函數(shù)來講，是非常簡單的一元二次函數(shù)求極值問題，學(xué)生很容易接受，也能夠自己動手計算，在此計算過程中，如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值就會被進(jìn)一步熟悉記憶。另外，此問題的解決還教會學(xué)生，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題，如何從實(shí)際出發(fā)，將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際中。通過這樣的思考和討論，不僅僅有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)水平和認(rèn)識，其應(yīng)用能力也得到增強(qiáng)。

2 案例與專業(yè)相結(jié)合

在講常微分方程時，很多時候我們注重的是求解，如何求一個常微分方程的通解、特解。學(xué)生往往面對著一個個方程糾結(jié)于計算的技巧，他們并不知道這個方程有何用，有何背景。其實(shí)，在工程技術(shù)和自然現(xiàn)象的研究中，很多問題最后的數(shù)學(xué)模型是微分方程，最終會歸結(jié)為微分方程的求解。選取合適的案例來講述常微分方程，不僅可以讓學(xué)生了解其用途，更可以加深理解。微分方程案例教學(xué)主要思路為：分析實(shí)際問題，結(jié)合數(shù)學(xué)理論建立相應(yīng)的微分方程和初始條件，求解方程（求出通解，根據(jù)初始條件確定特解）。例如對于環(huán)境工程專業(yè)學(xué)生，可以舉以下例子[4]：

人們經(jīng)常要研究一個種群數(shù)量的變化趨勢，例如世界或者某國人口，一片森林里的樹木，或者一片草原上的野兔等。我們首先可以考慮一種最簡單的情況，就是增長率不變的指數(shù)增長模型。我們以野兔的繁殖生長為例：記野兔數(shù)量為 x (t)，是一個關(guān)于時間 t(t ≥ 0 )的函數(shù)，設(shè)初始時刻野兔數(shù)量為=表 r x示,x(單 0)位=x時間內(nèi) x (t)的增量。下面我們假0設(shè)野兔數(shù)量的增長率恒定，記為 r(r ＞ 0 )，關(guān)于t時刻的野兔數(shù)量 x (t)可以建立如下數(shù)學(xué)模型：

這是一個簡單的一階常微分方程，可求得：

上式表明，野兔的數(shù)量是呈指數(shù)增長，即指數(shù)增長模型。

這個常微分方程的求解很簡單，但是重要的是如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生建立此模型。進(jìn)一步，可以啟發(fā)學(xué)生思考，指數(shù)增長模型表明野兔數(shù)量將隨著時間以指數(shù)規(guī)律無限制增長，但是實(shí)際上，隨著野兔數(shù)量的增加，草原上的食物等資源和環(huán)境勢必會對野兔的增長起到限制的作用，所以事實(shí)上，野兔的數(shù)量是不會無限增加的。那么上述的指數(shù)增長模型就有著局限性，會不會有更好的模型呢？可以簡要介紹阻滯增長模型——logistic模型，建議有興趣的同學(xué)進(jìn)一步探索。

相信引入這樣與專業(yè)相關(guān)的案例之后，會增加同學(xué)們學(xué)習(xí)的興趣，使他們不僅可以掌握求解微分方程的技巧，更可以了解微分方程的作用及現(xiàn)實(shí)意義。

3 案例與生活相結(jié)合

概率與數(shù)理統(tǒng)計也是高等數(shù)學(xué)中比較重要的一個部分，其從數(shù)量化角度來研究不確定現(xiàn)象及其規(guī)律性，在科學(xué)研究、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟(jì)管理、現(xiàn)代工程等各個領(lǐng)域都有著重要和廣泛的應(yīng)用[3]。但是其具有的抽象理論卻比較難引起學(xué)生的興趣。那么在講課過程中，我們不妨多引入一些具有現(xiàn)實(shí)意義或是學(xué)生身邊的例子，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析研究，在探索的過程中感受數(shù)學(xué)的魅力和樂趣。例如可以舉如下例子：

一個班級共有40名同學(xué)，那么會有兩名同學(xué)生日相同嗎？至少有兩名同學(xué)生日相同的概率有多大呢？如果一個班級是50名同學(xué)呢？

對于這個問題，可以先讓同學(xué)們進(jìn)行直觀感受，一般大家都會認(rèn)為生日相同的可能性較小。然后讓同學(xué)們在紙上寫下自己的生日，看看有沒有相同。當(dāng)同學(xué)們在討論各自生日的時候，可以引導(dǎo)他們思考這個問題：求至少有兩名同學(xué)生日相同的概率比較困難，我們可以考慮其反面：40名同學(xué)生日各不相同，記為事件A。假設(shè)每名同學(xué)生日都是等可能性的，則他們生日各不相同的概率為：

上式可利用Matlab計算出結(jié)果，P(A)=0.1088，則1- P(A)=0.8912，即40名同學(xué)的班級中至少兩名同學(xué)生日相同的概率為89.12%。類似，如果是50名同學(xué)，我們可以計算得到至少兩名同學(xué)生日相同的概率為97.04%。

這樣的結(jié)論和同學(xué)們的直接猜想差距非常大，結(jié)論接近于1，也就是說，對于任意一個50名同學(xué)的班級，幾乎總會有至少兩名同學(xué)生日相同。

通過生活中類似的例子，學(xué)生會覺得跟自己的直覺反差很大，新鮮有趣，從而在積極討論的過程中，學(xué)習(xí)到概率統(tǒng)計的相關(guān)知識和計算。

數(shù)學(xué)作為一種形式科學(xué)，其高度的抽象性使得大部分人難以理解其中的現(xiàn)實(shí)意義。尤其是高職學(xué)生，其對數(shù)學(xué)的認(rèn)識僅停留在“計算，求解”這個層次。然而，大到自然世界，小到生活細(xì)節(jié)，都或多或少受到數(shù)學(xué)規(guī)律的影響。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時不能把所學(xué)的知識與現(xiàn)實(shí)問題聯(lián)系在一起，那么這種教學(xué)效果就不能滿足《悉尼協(xié)議》的要求。而在教學(xué)中引入與應(yīng)用、專業(yè)及實(shí)際生活相關(guān)的案例，相對于枯燥的理論和計算，更能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。當(dāng)然，高等數(shù)學(xué)的課程改革和課程建設(shè)，并不僅靠一些案例就可以解決。整個數(shù)學(xué)課程的教學(xué)模式、內(nèi)容、方法、手段和評價，都需要我們認(rèn)真去思考和改革；數(shù)學(xué)課程的開設(shè)專業(yè)和范圍，也需要逐步推廣和普及。這樣才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)課程的作用，更加貼近《悉尼協(xié)議》中課程體系的標(biāo)準(zhǔn)，更加與學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)相一致，為培養(yǎng)應(yīng)用型國際化高職技術(shù)人才服務(wù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉文華, 徐國慶.《悉尼協(xié)議》框架下高等職業(yè)教育發(fā)展策略探析-論我國職業(yè)教育的國際化[J].上海教育評估研究, 2016,(01) :16-19.

[2]王伯慶.參照《悉尼協(xié)議》開展高職專業(yè)建設(shè)[J].江蘇教育,2014, 28(7):16-19.

[3]方曉華.高等數(shù)學(xué)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 2014.

[4]姜啟源, 謝金星, 葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社, 2011.