例析函數(shù)f(x)=lnx/x的應用

林桂標

(廣西欽州市第二中學 535099)

想要開展對函數(shù)f(x)=lnx/x的應用教學，首先需要讓學生們了解該函數(shù)的基本性質(zhì)，摸清它的單調(diào)性、圖象、極值和圖象等.在介紹其單調(diào)性時，必定會涉及到函數(shù)求導，在求導過程中又需要先確定函數(shù)定義域.求導后又可以確定函數(shù)的最值與極值.有了上述研究基礎，本文再進一步結(jié)合實例，對該函數(shù)在不同知識點考察中的應用展開討論.

一、函數(shù)f(x)=lnx/x的基本性質(zhì)

由兩個基本初等函數(shù)的定義域，確定函數(shù)f(x)=lnx/x的定義域為(0,+).對該函數(shù)進行求導，得到如下關(guān)系式求解f′(x)>0，解得0e.綜上可知，f(x)在(0,e)上是增函數(shù)，在(e,+)是減函數(shù)，當x=e時取得極大值也是最大值，并將該函數(shù)圖象繪制如右圖.

二、函數(shù)f(x)=lnx/x的應用

應用1：比較ab與ba的大小(a>0,b>0)

應用1是對函數(shù)f(x)=lnx/x單調(diào)性的考察，只需要對函數(shù)形式進行簡單變換即可實現(xiàn).

當a、b∈(e,+)，且aba.

例1 (2014年高考湖北卷第22題)π為圓周率，e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828….(1)求函數(shù)f(x)=lnx/x的單調(diào)區(qū)間；(2)(文)求e3、3e、eπ、πe、π3和3π這六個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).

解析(1)根據(jù)上文對函數(shù)f(x)=lnx/x的基本性質(zhì)的介紹，即可確定該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)y=ex、y=3x、y=πx都是單調(diào)增函數(shù)，可得e3

應用2：函數(shù)零點判斷

例2 (2013年江蘇高考第20題)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a為實數(shù).若函數(shù)g(x)在定義域(-1,+)單調(diào)增，求函數(shù)f(x)的零點個數(shù).

解析函數(shù)g(x)在定義域(-1,+)單調(diào)增，則有g(shù)′(x)=ex-a≥0在定義域內(nèi)恒成立，則a≤(ex)min，即是由函數(shù)零點性質(zhì)可知，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)即是方程的根的個數(shù)，也就是函數(shù)y=a與函數(shù)f(x)=lnx/x的圖象交點個數(shù).至此，本題由函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成了兩個函數(shù)圖象交點問題.結(jié)合函數(shù)f(x)=lnx/x的圖象，可知：當或者a≤0時，函數(shù)f(x)有一個零點；當時，函數(shù)f(x)有兩個零點.

總之，函數(shù)f(x)=lnx/x在高中數(shù)學教學中有著廣泛的應用.看似關(guān)系不大的數(shù)列、函數(shù)零點和比較大小問題，通過構(gòu)造出來的輔助函數(shù)，都與函數(shù)f(x)=lnx/x有著千絲萬縷的聯(lián)系.尤其是在高中總復習階段，類似的點撥式教學，將各類知識點通過某一函數(shù)相聯(lián)系，實現(xiàn)數(shù)學教學的舉一反三、觸類旁通，有效提高教學效率.

參考文獻：

[1]陸永.函數(shù)f(x)=lnx/x特殊性質(zhì)的研究及應用[J].高中數(shù)理化，2017(07).

[2]沈宇斌，李卓，姚凱，劉輝，甘大旺.如何探求函數(shù)f(x)=x～x的單調(diào)性與最小值[J].高中數(shù)理化，2014.