正交異性膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載作用下的振動解析與數(shù)值分析

張 琳，何 玲， 龐 嵩，劉長江

(1.中鐵二院工程集團(tuán)有限責(zé)任公司，四川成都 610031； 2. 成都理工大學(xué)，四川成都 610059)

張拉平面膜結(jié)構(gòu)主要用于會展中心、停車場和體育館等公共設(shè)施的平面型屋蓋結(jié)構(gòu)中[1]。由于這種結(jié)構(gòu)自重輕、剛度小，因而在外荷載作用下容易產(chǎn)生振動，以致膜面松弛變形，甚至導(dǎo)致整個膜結(jié)構(gòu)失效。因此對膜結(jié)構(gòu)的動力設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化控制具有重要意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對薄膜結(jié)構(gòu)自由振動作了一定的研究。1999年，Vega等對帶有內(nèi)部斜撐的矩形薄膜的自由振動進(jìn)行了研究，得到了其振動頻率的解析解[2]。2002年和2004年，Kang等對傾斜和彎曲復(fù)合矩形薄膜的自由振動進(jìn)行了研究，得到了傾斜度和彎曲度對其振動頻率的影響[3]。2009年，Reutskiy發(fā)展了一種新的數(shù)值分析方法對任意形狀的薄膜的非線性振動進(jìn)行了研究，該方法基于頻譜分析系統(tǒng)物理響應(yīng)的數(shù)學(xué)模擬[4]。在國內(nèi)，2010年，林文靜等構(gòu)造六節(jié)點(diǎn)三角形單元，用于平面薄膜自由振動的有限元分析，給出了三個典型算例表明，六節(jié)點(diǎn)三角形單元的計(jì)算結(jié)果比ANSYS三角形單元更接近理論解，即六節(jié)點(diǎn)三角形單元具有更高的精度[5]。

以上的這些研究都是針對均勻的膜結(jié)構(gòu)進(jìn)行的研究，且沒有進(jìn)行沖擊荷載下膜結(jié)構(gòu)的受迫振動的研究。因此，本文將采用近似解析方法和數(shù)值分析對正交異性的平面張拉建筑膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載下的無阻尼受迫振動問題進(jìn)行研究，為膜結(jié)構(gòu)的動力設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù)。

1 建立振動控制方程

開展正交異性的平面張拉建筑膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載下的無阻尼受迫振動問題的理論研究，核心任務(wù)是確定沖擊荷載，并建立振動控制方程。

1.1沖擊荷載

四邊固支的正交異性矩形薄膜結(jié)構(gòu)的x方向邊長為a，y方向的邊長為b，x方向初始拉力為Nox，y方向初始拉力為Noy，沖擊荷載為一垂直于膜面入射的小球，其質(zhì)量為M，初始速度為v0，如圖1所示。當(dāng)沖擊點(diǎn)位于膜面上的點(diǎn)(x0,y0)處時，沖擊荷載可表示為：

p(x,y,t)=F(t)δ(x-x0)(y-y0)

(1)

其中，F(xiàn)(t)為膜面所受沖擊力；δ(x)為Dirac函數(shù)。

圖1 四邊固支的正交異性矩形薄膜受小球撞擊示意

沖擊荷載是在一很短的時間內(nèi)作用的荷載，因此將小球與膜面的碰撞視為彈性碰撞，根據(jù)動量定理建立沖擊力F(t)與薄膜撓度w(x,y,t)的關(guān)系式，有：

(2)

對式(2)求一次導(dǎo)計(jì)算，得：

(3)

1.2 控制方程和邊界條件

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)達(dá)朗貝爾原理[6]和馮·卡門大撓度理論[7-8]，便可以得到正交異性矩形薄膜在沖擊荷載作用下的運(yùn)動和受迫振動控制方程，通過推理獲得受迫振動控制方程組簡化式：

(4)

(5)

式中：N0x表示x向預(yù)張力；N0y表示y向預(yù)張力；Nx表示x向拉力；Ny表示y向拉力；w=w(x,y,t)為薄膜撓度；ρ為膜材的面密度。

2 控制方程求解

對已建立的受迫振動控制方程進(jìn)行求解，得到振動位移函數(shù)。設(shè)振動位移函數(shù)和應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式如下：

(6)

(7)

式(6)中:0≤x≤a，0≤y≤b，a和b分別為薄膜的長短邊長度；φmn(x,y)和Tmn(t)為未知函數(shù)；Tmn(t)為時間的函數(shù)，它反映振動隨時間變化的規(guī)律；m和n取正整數(shù)，表示x方向和y方向的正弦半波數(shù)或稱為節(jié)線數(shù)。

為簡化運(yùn)算符號，令Tmn(t)=T(t)，φ(x,y,t)=φ，φmn(x,y)=φ(x,y)=φ，Wmn(x,y)=W(x,y)=W=sin(mπx/a)sin(nπy/b

將式(6)、式(7)只取其中的一項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，再將最終得到的結(jié)果按照式(6)、式(7)式進(jìn)行求和計(jì)算，即：

w(x,y,t)=T(t)·W(x,y)

(8)

φ(x,y,t)=T2(t)·φ(x,y)

(9)

把式(9)代入式(5)得：

(10)

根據(jù)式(10)的結(jié)構(gòu)，設(shè)滿足式(10)的解有如下形式：

γ1x3+γ2x2+γ3y3+γ4y2

(11)

將式(11)代入式(10)得：

(12)

下面計(jì)算沖擊薄膜的瞬間，薄膜與小球一起運(yùn)動的初速度。在沖擊時，沖擊時間非常短暫，薄膜與小球組成的系統(tǒng)近似為保守系統(tǒng)，動量守恒定理適用?？紤]膜面不同點(diǎn)的速度的不同，則有：

(13)

其中，W為薄膜的初始變形函數(shù)。v0為小球的初速度，v0′為小球與薄膜沖擊點(diǎn)在t=0時刻的初始速度。設(shè)薄膜初始變形的形函數(shù)為：

(14)

將式(14)代入式(13)，計(jì)算可得：

(15)

將式(1)、式(7)和式(8)代入式(4)，由伽遼金法得[9]：

(16)

將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式(12)代入式(16)并進(jìn)行簡化得：

(17)

將式(3)代入式(17)并簡化得：

(18)

方程式(18)是關(guān)于T(t)的非線性微分方程，其精確解析解很難求解。因此，采用L-P攝動法求解非線性方程式(18)的近似解析解，可得：

T(τ)=T0(τ)+εT1(τ)+0(ε2)=

(19)

(20)

設(shè)在t=0時刻，薄膜沖擊點(diǎn)與沖擊物體有相同的初速度v0′，即令初始條件為：

(21)

將式(21)代入(20)式得：

(22)

求解可得：

(23)

將式(23)代入式(22)，可得：

(24)

將式(23)、式(24)代入式(20)得：

(25)

將式(25)代入雙Fourier級數(shù)展開的位移表達(dá)式(6)得薄膜受迫振動位移函數(shù)：

(26)

3 數(shù)值計(jì)算與理論推導(dǎo)結(jié)果對比分析

為驗(yàn)證理論推導(dǎo)過程和結(jié)果的可靠性，采用大型通用有限元分析軟件ANSYS中的LS-DYNA計(jì)算模塊進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，并將解析理論分析結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。計(jì)算參數(shù)：工程中常用的建筑膜材，面密度ρ為1.7 kg/m2；膜材厚度h為1 mm；膜材長寬分別為a=0.4 m和b=0.2 m,x和y方向的彈性模量分別為E1=1.4×106kN/m2，E2=0.9×106kN/m2，膜材預(yù)張力為N0x=N0y=10 kN/m，小球質(zhì)量M為10-2kg。

3.1 位移時程曲線對比

將膜面沖擊點(diǎn)無阻尼振動理論分析時程曲線和數(shù)值計(jì)算時程曲線繪入圖2中進(jìn)行對比。圖2中 曲線橫坐標(biāo)單位為秒(s)，縱坐標(biāo)：理論分析單位為米(m)，數(shù)值計(jì)算單位為毫米(mm)。

從圖2可以看出，理論計(jì)算的時程曲線與數(shù)值分析的時程曲線很接近，只是沖擊點(diǎn)的最大位移理論值略小于數(shù)值計(jì)算值。

3.2 最大位移值對比

薄膜在小球v0=15 m/s沖擊作用下的位移云圖如圖3所示。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)構(gòu)中讀取薄膜的最大位移值，并將其列入表1中對比分析，計(jì)算數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論分析結(jié)果的相對差。

從表1可以看出，數(shù)值計(jì)算的最大位移與理論分析最大位移相差較小，最大相對差為僅11.9 %。由此可知，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論分析結(jié)果吻合良好。數(shù)值結(jié)果與理論結(jié)果的相對差值隨著小球初速度的增加而減小，且理論計(jì)算結(jié)果略小于數(shù)值分析結(jié)果。

(a)理論分析曲線

(b)數(shù)值計(jì)算曲線圖2 膜面沖擊點(diǎn)的無阻尼振動時程曲線(v0=15m/s)

圖3 薄膜位移云圖(v0=15m/s)

速度等級v0/(m·s-1)152025理論計(jì)算結(jié)果/mm5.47.39.0有限元模擬結(jié)果/mm6.12967.72479.1287相對差/%11.905.501.41

4 結(jié)論

本文利用達(dá)朗貝爾原理和薄膜大撓度理論，建立了四邊固支矩形正交異性膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載作用下的非線性無阻尼振動的理論分析模型和控制方程組。采用L-P攝動法求解了所得控制方程租，得到了振動頻率表達(dá)式和振動的位移函數(shù)表達(dá)式。采用ANSYS中的LS-DYNA模塊進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，并通過算例將理論推導(dǎo)公式解析解與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較分析，從而驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。本文建立的正交異性膜結(jié)構(gòu)在沖擊荷載作用下的振動解析理論計(jì)算方法對膜結(jié)構(gòu)的動力分析和設(shè)計(jì)具有一定的理論指導(dǎo)意義和實(shí)用價值。

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