線性規(guī)劃問題的實際應用

王震

線性規(guī)劃是現(xiàn)代數(shù)學中研究最優(yōu)化理論的重要模型.它的實際運用范圍十分廣泛，從解決技術(shù)問題的最優(yōu)化到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、交通運輸、經(jīng)濟、軍事等眾多領(lǐng)域都發(fā)揮作用.簡單線性規(guī)劃這部分內(nèi)容體現(xiàn)了新教材重視數(shù)學應用，重視知識的發(fā)生發(fā)展過程，貼近生活的特點.為了讓學生學好簡單線性規(guī)劃知識，提高學生運用線性規(guī)劃知識解決實際問題的能力，本文對高中數(shù)學中線性規(guī)劃問題的應用進行了剖析，對此類問題的求解思想和一般步驟作了較詳細地闡述.

1整數(shù)最優(yōu)解的確定

求最優(yōu)解的問題，特別是當實際問題要求最優(yōu)解是整數(shù)時，這是線性規(guī)劃問題圖解法中最重要而且是最難完成的一個環(huán)節(jié)，怎樣來確定符合條件的整數(shù)最優(yōu)解呢？主要方法有四：

（1）直接求解法，適用于多邊形的角點坐標恰好是整數(shù)最優(yōu)解；

（2）觀察法，此法適用于由可行域直接可看出的；

（3）邊界找點法；

（4）進一法或去尾法.后兩種方法是不能直接求得又不能由圖看出的情況下來運用的.

它既需要由圖形的直觀性又需要適當?shù)挠嬎?，應用?shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

例1某運輸公司有7輛載重6t的A型卡車，4輛載重10t的B型卡車，有9名駕駛員.在建造某段高速公路中，公司承包了每天至少運輸瀝青360t的任務.已知每輛卡車每天往返次數(shù)為A型8次，B型6次，每天運輸成本為A型160元，B型252元.每天應派出A型、B型車各多少輛，能使公司總成本最低.

解分析列表如下：

目標函數(shù)：z=160x+252y.

由圖1可知，當l：160x+252y=0向右上方平移至l′的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點A，y軸截距b=1252z最小，即z最小.

由方程組4x+5y=30，

x=7.

解得點A（7，25）.25不是整數(shù).調(diào)整，整數(shù)解為最優(yōu)點E（5，2）.

當x=5，y=2時，總成本z=160×5+252×2=1304（元）.此時運輸瀝青噸數(shù)為8×6×5+6×10×2=360（t）.

即每天應派A型車5輛，B型車2輛，總成本1304元最低，并能運瀝青360噸.

在上述解答中，雖然可行域給出目標函數(shù)z的最小值，但不符合實際問題的最優(yōu)解是非負整數(shù)的條件，這時應該進行調(diào)解.“就近原則”.本題中與點A最近的整點是F（7，1），此時總成本z=160×7+252×1=1352（元），比 z=1304（元）高，所以調(diào)整的關(guān)鍵是尋求與可行域邊界接近的整點（不妨簡稱邊界找點法）.也就是縮小可行域來尋找它的整數(shù)解，如果整點數(shù)不止一個，則逐個比較目標函數(shù)的取值，確定最優(yōu)整點，得到最優(yōu)解.

例2要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種不規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：

鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123解今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需的三種規(guī)格的成品，且使所用鋼板張數(shù)最少解：

設(shè)兩種鋼板分別要x，y張，則其線性約束條件為：

2x+y≥15，

x+2y≥18，

x+3y≥27，

x≥0，y≥0.作出可行域如圖2所示，

圖2其目標函數(shù)為z=x+y.

（那么，怎樣尋找其最優(yōu)整數(shù)點呢？分解小步驟如下：）（步驟1）作出一組平行直線x+y=t中經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最近的直線；

（步驟2）此直線經(jīng)過直線x+3y=27和直線2x+y=15的交點A（185，395）；

（步驟3） 過交點A（185，395）的目標函數(shù)線的方程為x+y=575；

（步驟4） 由于185，395都不是整數(shù)，所以可行域內(nèi)的點A（185，395）不是最優(yōu)解；

（步驟5） 找出與575=11.4（x+y=575）接近的，且適合題意的整數(shù)解（此法簡稱為進一法或去尾法）.經(jīng)過可行域內(nèi)的整點且與原點距離最近的直線是x+y=12；

（步驟6） 所以適合題意的整點為B（3，9），C（4，8），即為所求最優(yōu)解.

2陰影部分面積的確定

例3在直角坐標平面內(nèi)，有兩個區(qū)域M和N，M是由y≥0和y≤x，y≤2-x這三個不等式確定；N是隨t而變化的區(qū)域，它由不等式t≤x≤t+1決定，t的取值范圍0≤t≤1，求M和N的公共部分的面積S（t）.

解設(shè)定區(qū)域M為不等式組y≥0，

y≤x，

y≤2-x，

所圍成的區(qū)域，即△AOB所圍成的區(qū)域（含邊界）（圖3）.圖3 動區(qū)域N是兩條動直線x=t，x=t+1（0≤t≤1）所構(gòu)成的帶狀域.

因此，M和N的公共部分為圖3的陰影部分（含邊界）的面積，此面積為兩個梯形面積之并.

即S（t）=12（1+t）（1-t）+12[1+（1-t）]t =-t2+t+12（0≤t≤1）.

3參數(shù)取值范圍的確定

例4如圖4所示，當方程x2+ax+b=0的一根在-2和-1之間，另一根在1和2之間時，用圖形表示以a，b為坐標的點（a，b）的存在范圍.

解如圖4，設(shè)fx=x2+ax+b，依題意，得

f（-2）=4-2a+b>0，

f（-1）=1-a+b<0，

f（1）=1+a+b<0，

f（2）=4+2a+b>0.即b>2a-4，

b

b<-a-1，

b>-2a-4.圖4圖5在a，b坐標平面內(nèi)作出該不等式組的平面區(qū)域如圖5的陰影部分（不包括邊界）為（a，b）的取值范圍.

二元一次不等式組的平面區(qū)域，實際上就是二元一次不等式組的幾何表示.解題時，依題意，作出約束條件的公共部分，就能直觀地解決所求問題.

中學數(shù)學中的線性規(guī)劃內(nèi)容既給傳統(tǒng)的教材注入了新鮮的“血液”，又給學生提供了學數(shù)學、用數(shù)學的實踐機會，同時促進了與不等式、方程、函數(shù)等知識的整合.通過本知識的學習，學生將初步掌握線性規(guī)劃的一些基本理論、一般方法，將為線性規(guī)劃知識的后續(xù)學習打下基礎(chǔ)，為線性規(guī)劃知識的廣泛應用拿到一枚入門的鑰匙.