在美國破產(chǎn)保護法第十一章下公司債券的定價和最佳破產(chǎn)邊界研究

林建偉

(莆田學院 數(shù)學與金融學院， 福建 莆田 351100)

公司債券定價是金融研究的熱門問題之一. 1974年MERTON[1]首次提出結(jié)構(gòu)化方法對零息票公司債券進行定價. MERTON的工作具有開創(chuàng)意義，但存在信用利差估計偏低的問題. 為了彌補這一不足，1976年BLACK等[2]提出通過時間模型對公司債券進行定價；1994年LELAND[3]利用結(jié)構(gòu)化方法對具有內(nèi)生破產(chǎn)邊界的永久付息票公司債券進行定價；2009年CHEN等[4]在雙指數(shù)跳擴散模型下，采用隨機分析方法對永久公司債券進行定價. 上述文獻的研究結(jié)果都是在美國破產(chǎn)保護法第七章下獲得的，即公司一旦宣布破產(chǎn)，立即被清算，視破產(chǎn)等同于清算，不考慮破產(chǎn)重組的可能，這與市場的實際情況不符. 事實上，公司一旦宣布破產(chǎn)，將有權(quán)借助于美國破產(chǎn)保護法第十一章獲得一段額外的破產(chǎn)保護期，以便公司進行資產(chǎn)重組. 若公司在破產(chǎn)保護期內(nèi)通過有效資產(chǎn)重組計劃，使公司成功擺脫困境，則公司將繼續(xù)正常經(jīng)營；否則宣布破產(chǎn)的公司將在美國破產(chǎn)保護法第七章下被清算. 1996年，ANDERSON等[5]提出策略債務支付的重組策略，通過展開型博弈規(guī)則確定策略債務支付的息票數(shù)額，利用二叉樹方法對有限到期日公司債券進行定價，其不足是未對美國破產(chǎn)法第十一章進行系統(tǒng)的數(shù)學模型刻畫；2000年FAN 等[6]分別從最佳破產(chǎn)邊界的選取標準、破產(chǎn)保護期門檻的界定、資產(chǎn)重組策略規(guī)定和破產(chǎn)價值四方面對美國破產(chǎn)法第十一章進行了系統(tǒng)的數(shù)學模型刻畫，采用常微分方程法對具有無限破產(chǎn)保護期和無限到期日公司債券進行定價；2004年FRANCOIS等[7]推廣了FAN等的工作，采用隨機分析方法，對具有有限破產(chǎn)保護期和無限到期日公司債券進行定價；2008年林建偉[8]通過偏微分方程法將FRANCOIS等的模型結(jié)果推廣至考慮公司在破產(chǎn)保護期內(nèi)策略債務支付息票的數(shù)額；但上述研究僅考慮公司永久債券連續(xù)，其數(shù)學模型與市場不符，在有限到期日公司債券定價上較穩(wěn)態(tài)情形困難. 此時，公司債券和股票的價值不僅依賴于公司的資產(chǎn)價值，還依賴于距離到期日的時間長度，相應的最佳破產(chǎn)邊界也是一條隨時間變化的曲線. 2007年BROADIE等[9]假定最佳破產(chǎn)邊界具有參數(shù)函數(shù)形式，即最佳破產(chǎn)邊界為初始最佳破產(chǎn)邊界的遠期，并假定在破產(chǎn)邊界曲線和破產(chǎn)保護期門檻曲線相同條件下，應用二叉樹方法，建立了具有有限破產(chǎn)保護期和有限到期日的公司債券定價的二叉樹模型，獲得了二叉樹定價離散格式；但并沒有真正對最佳破產(chǎn)邊界進行處理，獲得的破產(chǎn)邊界也并非最佳. 意識到這一點，2013年DAI等[10]基于BROADIE等的模型，得到了區(qū)分破產(chǎn)邊界曲線和破產(chǎn)保護期門檻曲線，即破產(chǎn)保護期門檻曲線仍假定為宣布破產(chǎn)時刻公司價值的遠期，但最佳破產(chǎn)邊界曲線將通過股票價值滿足的最優(yōu)停時問題來確定，進而通過最優(yōu)停時方法和技巧建立具有有限破產(chǎn)保護期和有限到期日的公司債券定價的連續(xù)模型，并通過離散懲罰函數(shù)獲得定價問題的數(shù)值解. 由于在該模型下，公司宣布破產(chǎn)后其總價值滿足三維拋物型方程組，在理論上進一步刻畫最佳破產(chǎn)邊界的性質(zhì)具有相當?shù)碾y度，故僅通過數(shù)值計算分析最佳破產(chǎn)邊界曲線的性質(zhì)，而不是從理論上對最佳破產(chǎn)邊界的存在唯一性和單調(diào)性進行嚴格的數(shù)學證明，也沒有討論公司在破產(chǎn)保護期內(nèi)策略債務支付息票數(shù)額的大小.

與文獻[10]的模型相同，本文將通過股票價值滿足的最優(yōu)停時問題來區(qū)分破產(chǎn)邊界曲線、破產(chǎn)保護期門檻曲線和最佳破產(chǎn)邊界曲線. 不同的是，破產(chǎn)保護期門檻將按照FAN等[6]的模型進行界定，即假定公司宣布破產(chǎn)，公司股東和債權(quán)人為擺脫公司困境，將對資產(chǎn)進行重組，雙方將對收益進行調(diào)整，即一方面規(guī)定在破產(chǎn)保護期內(nèi)公司停止或少支付債權(quán)人按合約規(guī)定的息票數(shù)額，另一方面將公司債券轉(zhuǎn)化為一張永久性債券，到期不需要支付本金. 將破產(chǎn)保護期門檻轉(zhuǎn)化為不依賴于時間變化的常數(shù). 在該假定下，本文首先采用結(jié)構(gòu)化方法和最優(yōu)停時技巧，建立具有有限破產(chǎn)保護期和有限到期日公司債券定價的連續(xù)數(shù)學模型，然后通過偏微分方程理論和方法，嚴格證明了最佳破產(chǎn)邊界的存在唯一性和單調(diào)性, 得到了公司在破產(chǎn)保護期內(nèi)策略債務支付息票數(shù)額的解析表達式. 最后基于數(shù)值計算，分析了美國破產(chǎn)保護法第十一章對公司債券和股票價值以及最佳破產(chǎn)邊界的影響.

1 基本假定

1) 市場無套利且市場是完備的.

2) 公司發(fā)行股票E與公司債券D,債券到期日為T,到期本金為P,規(guī)定債權(quán)人在公司宣布破產(chǎn)之前可獲得單位時間CP元的息票收益，同時公司獲得稅盾收益，即企業(yè)通過發(fā)行公司債券獲得的單位時間稅盾收益為γCP,γ∈(0,1)表示企業(yè)稅率；股東按紅利獲得收益.

3) 在概率空間(Ω,Ft,F,Q)下，公司資產(chǎn)價值Vt服從標準幾何布朗運動方程：

其中，Q表示風險中性測度，r為無風險利率，δ為公司總的現(xiàn)金支付率，σ為波動率，{Wt,t≥0}表示一個標準的布朗運動.

4) 公司有權(quán)在任意時刻τ∈[0,T]宣布破產(chǎn)，且對任一給定破產(chǎn)時刻τ,Vτ為破產(chǎn)時刻公司資產(chǎn)價值，公司將通過申請美國破產(chǎn)保護法第十一章獲得一段額外的破產(chǎn)保護期G,以便進行資產(chǎn)重組. 最佳破產(chǎn)邊界的選取標準為股票價值最大化.

5) 清算損失率為α∈[0,1]，談判費用比例0≤φ≤δ(實際情況中，談判費用較少，以確保公司借助資產(chǎn)重組獲得額外收益).

6) 資產(chǎn)重組策略的規(guī)定： 當公司在任一時刻τ宣布破產(chǎn)后，Vτ為破產(chǎn)時刻相應的資產(chǎn)價值，公司的股東和債權(quán)人通過以下策略共同決定進行資產(chǎn)重組，即宣布破產(chǎn)后，公司債券轉(zhuǎn)化為永久債券，到期不需要支付本金P,同時規(guī)定，當Vt

2 在任一破產(chǎn)時刻τ股票和債券的價值

2.1 任一給定破產(chǎn)邊界Vτ下公司的總價值

根據(jù)上述基本假定6)中關(guān)于資產(chǎn)重組策略的規(guī)定，對于任一時刻τ公司宣布破產(chǎn)后，Vτ為相應破產(chǎn)時刻公司資產(chǎn)價值，在給出公司股票和債券的定價模型之前，首先考慮公司總價值的數(shù)學模型和定價公式. 記

gt=t-sup{0≤s≤t:Vs≥Vτ},
β=inf{s≥0:gs≥G},

其中，gt表示在t時刻之前公司資產(chǎn)價值在破產(chǎn)邊界Vτ以下徘徊的時間，β表示公司最終因gt=G而被清算的時刻.

(1)

式(1)表示公司的總價值由公司從t時刻開始直到清算期間所產(chǎn)生的現(xiàn)金流的貼現(xiàn)現(xiàn)值和在清算時刻剩余的公司資產(chǎn)價值(清算時刻的公司資產(chǎn)價值扣除由清算所帶來損失)的貼現(xiàn)現(xiàn)值兩部分組成. 第一部分包含3項： 單位時間公司資產(chǎn)所產(chǎn)生的現(xiàn)金流δVs;當Vs≥Vτ時，公司獲得的稅盾收益為γCP; 當Vs

基于公司總價值的數(shù)學模型(1), 采用動態(tài)規(guī)劃原理和偏微分方程法，可得

(2)

其中，

w(x,g)=

Vτ(1-α)[M1(x,g;G,a+1)-M1(-x,g;G,a+1)]-

h(A;Vτ)[M1(x,g;G,a)-M1(-x,g;G,a)]+

A=-{φM3(a+1,G)Vτ+αM2(a+1,G)Vτ+

[M2(a,G)+rM3(a,G)-λ-]-1,

證明基于動態(tài)規(guī)劃原理，對于任一給定破產(chǎn)邊界Vτ,公司總價值的數(shù)學模型(1)可轉(zhuǎn)化為以下具有巴黎期權(quán)特征[11-12]的定解問題：

在V=Vτ時的連接條件：

清算條件：

其中，A為待定常數(shù)，

由組合變換：

(9)

其中，

記

Y(x;A,Vτ)=

則定解問題(10)～(13)可轉(zhuǎn)化為標準的Cauchy問題：

(14)

進而，由式(13)和(14), 可求得待定常數(shù)A.

最后由

引理1證畢.

2.2 納什均衡分配

這里θ為股東的分配比例. 由納什均衡分配原理，最佳分配比例θ*為

即

這里η表示股東的談判能力.

綜上，當V≤Vτ時，

特別地，在任一時刻τ公司宣布破產(chǎn),即V=Vτ,g=0,股東和債權(quán)人通過資產(chǎn)重組獲得的價值分別為：

(16)

(17)

基于公式(2)和(15), 可求得破產(chǎn)保護期內(nèi)策略債券支付息票數(shù)額S(V;Vτ)的顯式表達式.

定理1對于任一給定的破產(chǎn)時刻τ,破產(chǎn)保護期內(nèi)策略債券支付的息票數(shù)額S(V;Vτ)為

S(V;Vτ)=V[δ(1-ηα)-φ(1-η)].

(18)

表示公司宣布破產(chǎn)后，當Vt≥Vτ時，股東獲得紅利收益的貼現(xiàn)值； 當Vt

當0

同時由式(15)，即

可得

-η(δ-φ)V+η(1-α)δV=η(φ-αδ)V,

由此可得η(φ-αδ)V=-(δ-φ)V+S(V;Vτ),

即

S(V;Vτ)=V[δ(1-ηα)-φ(1-η)].

定理1證畢.

3 公司股票和債券的價值

3.1 公司股票定價的數(shù)學模型

基于上述模型的基本假定，在風險中性測度Q下，公司股票E定價的數(shù)學模型為

E(Vt,t)=

這里κ[t,T]表示在[t,T]上所有可能宣布破產(chǎn)的時刻(停時)，且若在[t,T]上公司沒有宣布破產(chǎn)，則規(guī)定τ=.等式(20)表示股票價值由公司宣布破產(chǎn)之前所獲得的紅利收益貼現(xiàn)值和在破產(chǎn)時刻股票價值的貼現(xiàn)值組成，其中等式右邊第3項表示： 若公司在到期期限T內(nèi)沒有宣布破產(chǎn)，則支付本金P給債權(quán)人，公司獲得V-P的收益.

在0

(21)

終值條件：

E(V,T)=max{V-P,Φ(V)}.

(22)

3.2 最佳破產(chǎn)邊界的主要性質(zhì)

基于股票定價模型(21)和(22), 通過偏微分方程懲罰函數(shù)法證明最佳破產(chǎn)邊界的主要性質(zhì)，研究公司股票價值對部分參數(shù)的依賴關(guān)系.

引理2在區(qū)域Σ={(V,t)|0

證明

(i)為了應用偏微分方程懲罰函數(shù)方法, 定義懲罰函數(shù)βε(t),t∈R滿足以下性質(zhì)：

βε(t)∈C

其中M為任一大于0的待定常數(shù).

基于上述懲罰函數(shù)的定義βε(t),易得

βε(0)=-3M-rε,βε(ε)=-M-rε.

(23)

(ii)為了對函數(shù)max{V-P,Φ(V)}進行光滑，定義光滑化函數(shù)Πε(t),t∈R滿足：

Πε(t)∈C

(24)

其中，

記

于是K(G)可重寫為

基于引理1中a,b,λ-的表達式和M2(a,G),M3(a,G)的定義，可驗證0≤C1(G),C2(G),B(G)≤1成立. 進而，由0≤φ≤δ,可證明0≤K(G)≤1.

作變量代換

(25)

公司股票價值滿足的變分不等式模型(21)和(22)可轉(zhuǎn)化為

(26)

基于上述懲罰函數(shù)βε(t)和光滑化函數(shù)Πε(t)的構(gòu)造，定解問題(26)相應的懲罰問題為

(27)

定義

基于懲罰問題(27)，計算可得

其中，ζ=ex-P-Φ(ex).

再通過懲罰問題的收斂定理[13]，立得引理2結(jié)論成立.

引理3當r≥(1-γ)C時，在區(qū)域Σ上， 公司股票價值E(V,t)關(guān)于時間變量t單調(diào)遞減.

由式(27)計算可得

其中，

ηK(G)ex]+(γ-1)CP-βε(Πε(ζ))≥

r[Πε(ζ)+Φ(ex)]+δex+(γ-1)CP-βε(Πε(ζ)).

δex+(γ-1)CP-βε(0)≥

-{ηγCP[1-B(G)]+(1-γ)CP}-βε(0).

由式(23), 選取正數(shù)

M=ηγCP[1-B(G)]+(1-γ)CP,

(iii)當-ε≤ζ≤ε時，|Πε(ζ)|≤ε,0≤

ηγCP(1-B(G))+(γ-1)CP-βε(Πε(ζ))≥

-rε-[ηγCP(1-B(G))+(1-γ)CP]-βε(ε),

由式(23), 并注意到正數(shù)

M=ηγCP[1-B(G)]+(1-γ)CP,

綜上，由極值原理和懲罰問題的收斂定理，可得引理3成立.

由引理2和引理3，可直接得到

其中，

λ-,M2(a,G),M3(a,G)的表達式見引理1.

證明在到期日t=T，公司股票價值E(Vt,t)滿足的最優(yōu)停時問題(20)可簡化為

因此，當Φ(V)≥V-P時，公司在T時刻宣布破產(chǎn)為最優(yōu)，而當Φ(V)

記

顯然

(i)當k1≤k2時，若

(ε>0充分小)， 使得

-δV(1-ηK(G))+ηγCP(1-B(G))-(γ-1)CP>

δP(k2-k1)≥0.

δV(1-ηK(G))-[ηγCP(1-B(G))-(γ-1)CP]>

δPk2-δPk2=0.

定理3證畢.

下面進一步分析公司股票價值E(V,t)與企業(yè)稅率γ和到期日T的依賴關(guān)系.

定理4公司股票價值E(V,t)隨企業(yè)稅率γ單調(diào)遞增，且當r≥(1-γ)C時，隨到期日T遞增.

證明定義

基于式(27), 直接計算可得

其中，

這里，

ρ=θ2[ex-P-Φ(ex;γ1)]+

(1-θ2)[ex-P-Φ(ex;γ2)]，

0≤θ1,θ2≤1.

E(V,t)關(guān)于T單調(diào)遞增性質(zhì)是引理3結(jié)論的直接推廣. 定理 4 證畢.

3.3 公司債券定價的數(shù)學模型

(29)

表示債券的價值由從t時刻到公司宣布破產(chǎn)時刻之間的息票收益CP的現(xiàn)金流和在破產(chǎn)時刻所獲得的收益這兩部分的貼現(xiàn)值組成，而式(29)右端第3項表示： 若公司在合約期限[0,T]內(nèi)無破產(chǎn)，則公司將在到期日獲得本金收益.

其中，式(31)為終值條件，式(32)表示破產(chǎn)時刻債權(quán)人通過資產(chǎn)重組獲得Ψ(V).式 (33)表示當公司資產(chǎn)價值趨于無窮大時，公司債券轉(zhuǎn)化為一張具有相同到期日和本金的無風險公司債券.

4 數(shù)值分析

基于公司股票價值E(V,t)滿足變分不等式問題(21)、(22)，首先通過偏微分方程離散的懲罰函數(shù)方法[14-15]獲得股票和最佳破產(chǎn)邊界的數(shù)值解; 然后基于公司債券滿足定解問題式(30)～(33), 采用差分方法獲得債券定價的數(shù)值解；進而通過與Leland模型相比較，分析股東和債權(quán)人是否可借助于美國破產(chǎn)保護法第十一章獲得利益， 同時考察資產(chǎn)重組對最佳破產(chǎn)邊界的影響. 基本參數(shù)選定為：

V0=100，P=100，T=6，G=1，r=0.06,

δ=0.04,σ=0.3,C=0.02,γ=0.2,φ=0.02,

η=0.5,α=0.5.

注2Leland模型是在美國破產(chǎn)保護法第七章下的公司債券定價問題，否則，破產(chǎn)等同于清算.

圖1 最佳破產(chǎn)邊界關(guān)于η和φ的變化關(guān)系Fig.1 The optimal bankruptcy boundary with varying η and φ

圖2 最佳破產(chǎn)邊界關(guān)于α的變化關(guān)系Fig.2 The optimal bankruptcy boundary with varying α

圖3 最佳破產(chǎn)邊界關(guān)于G的變化關(guān)系Fig.3 The optimal bankruptcy boundary with varying G

圖4 公司股票價值E(100,0)關(guān)于η和φ的變化關(guān)系Fig.4 The equity value E(100,0) with varying η and φ

圖5 公司債券價值D(100,0)關(guān)于η和φ的變化關(guān)系Fig.5 The debt value D(100,0) with varying η and φ

5 結(jié) 論

采用結(jié)構(gòu)化方法和最優(yōu)停時技巧，在美國破產(chǎn)保護法第十一章下，建立了具有有限破產(chǎn)保護期和有限到期日公司債券定價的連續(xù)數(shù)學模型，獲得了公司在破產(chǎn)保護期內(nèi)策略債務支付息票數(shù)額的解析表達式，并通過偏微分方程理論和方法從理論上證明了最佳破產(chǎn)邊界的存在唯一性和單調(diào)性，并分析了公司股票價值關(guān)于各參數(shù)的變化關(guān)系. 最后，通過偏微分方程離散懲罰函數(shù)方法獲得了股票價值和相應最佳破產(chǎn)邊界的數(shù)值解，利用差分方法獲得債券價值的數(shù)值解. 數(shù)值結(jié)果表明： (1)在美國破產(chǎn)保護法第十一章下，公司的破產(chǎn)概率高于Leland 模型下的概率，較好地解釋了Leland模型下公司破產(chǎn)概率偏低的問題. (2)股東能借助于美國破產(chǎn)保護法第十一章進入資產(chǎn)重組而獲益，但債權(quán)人能否從資產(chǎn)重組中獲益依賴于談判因子1-η和談判費用φ.

感謝同濟大學姜禮尚教授的有益建議和指導！

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