基于幾何畫板的數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)—《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)析

杜丹丹 李孝誠

摘要：基于幾何畫板，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，該文巧設(shè)問題串，構(gòu)建了動(dòng)態(tài)探究平臺(tái)，有效激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生經(jīng)歷“抽象—猜想—證明（驗(yàn)證）”過程，有效建構(gòu)正弦定理，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：正弦定理；邊角關(guān)系；解三角形

中圖分類號(hào)：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）08-0094-02

《正弦定理》是人教A版數(shù)學(xué)必修五第一章“解三角形”中的第1小節(jié)“正弦定理和余弦定理”的第1課時(shí)，主要包括正弦定理的探究、證明及應(yīng)用等內(nèi)容。“正弦定理”是對(duì)初中“解直角三角形”內(nèi)容的延續(xù)，是基于已學(xué)習(xí)過的三角知識(shí)，通過對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究，揭示任意三角形邊角之間的一種定量關(guān)系。除此之外，它與之后的余弦定理都是解三角形的重要工具，也是解決實(shí)際生活問題的有效工具。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量與三角函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，具有一定的觀察與分析問題的能力。但新舊知識(shí)之間聯(lián)系的不足，也可能使學(xué)生陷入一種思維障礙，這就需要教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)與提示，盡量啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)他們自主地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題。

1發(fā)現(xiàn)問題，引出課題

問題1：請同學(xué)們觀察老師手中的三角板，可以看到，三角板的一個(gè)角已經(jīng)破損，你們能根據(jù)已知的兩個(gè)角及一邊長，確定破損角的大小及破損兩邊的長度嗎？

追問：還有其他的方法嗎？能否將這里的三角板抽象成我們熟悉的幾何圖形來處理？

接下來通過操作幾何畫板，將實(shí)物三角板抽象轉(zhuǎn)化成三角形。

問題2：猜想在任意的三角形中都存在怎樣的邊角關(guān)系。

評(píng)析：基于學(xué)生初中階段學(xué)習(xí)過的“解直角三角形”的知識(shí)，提出問題1，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察和思考”的過程，利用點(diǎn)與線、邊與角之間的關(guān)系自主解決問題。通過問題2的創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生回憶有關(guān)三角形邊角關(guān)系的內(nèi)容，設(shè)置思維的突破點(diǎn)，把本節(jié)課研究的焦點(diǎn)聚集到“三角形的邊角關(guān)系”的問題上，從而為引出本節(jié)課題做好鋪墊。

2分析問題，探究新知

2.1歸納發(fā)現(xiàn)

問題3在任意AABC中，它的三邊a，b，c與對(duì)應(yīng)的三角A，B，C存在怎樣的關(guān)系？

利用幾何畫板改變?nèi)我狻鰽BC的邊長與角度大小，讓學(xué)生觀察邊長與角度改變時(shí)，數(shù)值之間的聯(lián)系，如圖1所示。

讓學(xué)生盡可能多地歸納出三角形的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中對(duì)探究本課最具有價(jià)值的邊角關(guān)系。

評(píng)析：提示學(xué)生回顧以前學(xué)習(xí)的知識(shí)，觀察幾何畫板中邊與角間數(shù)值的聯(lián)系，歸納三角形的邊角存在怎樣的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生想起“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的邊角關(guān)系，由此將三角形中的邊與角聯(lián)系起來，為探尋下一步的邊角關(guān)系設(shè)置好突破口。

2.2提出猜想

在學(xué)生提出的眾多的三角形的邊角關(guān)系中，將“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的邊角關(guān)系，寫成數(shù)學(xué)語言表達(dá)的形式（此處將角作為弧度制處理）：

此時(shí)，共得到以上四種關(guān)于三角形邊角關(guān)系的猜想。

評(píng)析：由三角形的對(duì)稱美、和諧美，引發(fā)學(xué)生探究其數(shù)式結(jié)構(gòu)是否也具有同等程度的美。將“大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”的邊角關(guān)系寫成對(duì)稱的等式形式，是學(xué)生需要解決的思維突破口。將猜想1作為先行組織者，引導(dǎo)學(xué)生通過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到猜想2、猜想3和猜想4。

2.3驗(yàn)證猜想

問題4驗(yàn)證上一步中的四個(gè)猜想是否對(duì)所有的三角形都成立。

（1）對(duì)等邊三角形來說，猜想1、猜想2、猜想3、猜想4均成立；

（2）對(duì)等腰直角三角形來說，只有猜想2成立；

（3）對(duì)任意直角三角形來說，只有猜想2成立；

（4）假設(shè)猜想2對(duì)于任意三角形均成立。接下來需要證明。

首先用幾何畫板動(dòng)畫展示驗(yàn)證猜想2：在任意一個(gè)△ABC中，無論三個(gè)角∠A，∠B，∠C和三條邊a，b，c如何變化，猜想2都成立，如圖2所示。

接下來用數(shù)學(xué)方法證明猜想2：

①對(duì)任意銳角三角形，證明猜想，如圖3所示：

由第1步中對(duì)直角三角形的驗(yàn)證猜想，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的情境，做AB邊上的垂線CD，由此可得到兩個(gè)直角三角形：

在R△ACD和Rt△ABCD中，存在一個(gè)公共的直角邊CD。

在砌ACD中，有CD=bsinA；

在△BCD中，有CD=asinB；

②對(duì)任意鈍角三角形來說，猜想2仍然成立，具體證明交給同學(xué)們課下完成。

2.4得出結(jié)論

綜上，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出正弦定理的內(nèi)容：

在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形。

評(píng)析：給出正弦定理的完整表述，說明解三角形的概念，便于同學(xué)們接下來利用正弦定理解三角形。