面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序設(shè)計(jì)方法研究

安毅

摘要：隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，有限元程序逐漸應(yīng)用于工程分析，顯著提升了分析工作的精確性與時(shí)效性，具有重要的實(shí)用價(jià)值。該文詳細(xì)論述了面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序設(shè)計(jì)方法，希望能以此優(yōu)化程序應(yīng)用效果。

關(guān)鍵詞：面向?qū)ο?；有限元程序設(shè)計(jì)；非線性；有限元基礎(chǔ)類；應(yīng)用程序框架

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2018）08-0076-03

傳統(tǒng)的有限元程序由繁多復(fù)雜的過程化代碼組成，不僅降低了程序運(yùn)行的靈活性，還加大了程序運(yùn)維難度，已經(jīng)不再適用于現(xiàn)代社會(huì)的工程分析工作，基于這一情況，需要加強(qiáng)面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序設(shè)計(jì)方法研究，解決程序設(shè)計(jì)的本身困難。將面向?qū)ο蠓椒ㄅc有限元程序設(shè)計(jì)進(jìn)行有機(jī)融合，克服了傳統(tǒng)程序的弊端，簡化了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，提高了設(shè)計(jì)效率，同時(shí)也提升了程序的可維護(hù)性與運(yùn)行靈活性，在材料特性分析、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)研究領(lǐng)域有著良好應(yīng)用。

1面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序設(shè)計(jì)方法概述

1.1面向?qū)ο蠓椒▽W(xué)分析

改革開放以來，計(jì)算機(jī)與網(wǎng)絡(luò)技術(shù)不斷發(fā)展，大量的軟件設(shè)計(jì)法應(yīng)運(yùn)而生，面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計(jì)方法便是近年來在有限元程序設(shè)計(jì)等眾多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用的方法，因此，全面系統(tǒng)地掌握面向?qū)ο蠓椒▽W(xué)的含義與基本原則，有利于充分挖掘該方法的優(yōu)勢(shì)，從而為優(yōu)化有限元程序設(shè)計(jì)提供有效助力。應(yīng)用面向?qū)ο蠓椒▽W(xué)時(shí)應(yīng)建立適應(yīng)現(xiàn)代人思維方式的描述范式，也就是說利用思維方式的問題模型設(shè)計(jì)相關(guān)軟件，盡可能確保求解方法的自然性與準(zhǔn)確性。一般情況下，面向?qū)ο蠓椒ò拍顚?duì)象、消息、類、繼承、方法等關(guān)鍵元素，其中概念對(duì)象與消息的作用是描述兩種事物之間的相互關(guān)聯(lián)，類和繼承表示描述范式，而方法則是各種操作行為。以面向?qū)ο蠓椒▽W(xué)為基礎(chǔ)的程序軟件具有繼承性、封裝性及多態(tài)性的特點(diǎn)，能更加準(zhǔn)確的感知各類對(duì)象之間的細(xì)微差別，是完善有限元程序設(shè)計(jì)的關(guān)鍵。另外，面向?qū)ο蠓椒▽W(xué)為構(gòu)建應(yīng)用程序框架奠定了基礎(chǔ)，有利于簡化設(shè)計(jì)流程，設(shè)計(jì)人員需要提高重視程度，加快面向?qū)ο蠓椒▽W(xué)分析與研究腳步。

1.2研究面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序的意義

上世紀(jì)九十年代，學(xué)者們就已經(jīng)提出了有限元思想，使人們認(rèn)識(shí)到了有限元法的特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)。借助于計(jì)算機(jī)的應(yīng)用與推廣，有限元法在多種力學(xué)與材料分析中都有良好應(yīng)用。與其他數(shù)值分析方法相比，有限元法在工程分析中更加靈活具體，近似程度也大幅度提升，利用該方法編寫數(shù)值計(jì)算程序已經(jīng)成為程序設(shè)計(jì)發(fā)展的必然趨勢(shì)。傳統(tǒng)程序一般由不計(jì)其數(shù)的代碼構(gòu)成，應(yīng)用復(fù)雜的計(jì)算機(jī)語言進(jìn)行組合編寫，不僅晦澀難懂，還無法快速適應(yīng)新方法、新模型帶來的變化。

研究面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序彌補(bǔ)了傳統(tǒng)程序的不足，其研究意義主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。其一是解決了代碼重復(fù)利用的困難，在原有程序系統(tǒng)中，各部分?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)緊密相連，與每個(gè)程序具有的獨(dú)立功能原則相悖，容易導(dǎo)致各數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與功能相互依賴，無法重復(fù)利用一些代碼，增加了設(shè)計(jì)人員的工作量。其二是避免細(xì)小變動(dòng)影響程序的整體穩(wěn)定性，全局可訪問是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的重要特征，如要改變某一部分代碼則需要將相關(guān)代碼全部改寫，否則數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的功能將會(huì)發(fā)生變動(dòng)。面向?qū)ο笈c非線性有限元理論解除了數(shù)據(jù)之間的依賴，最大程度地減少了設(shè)計(jì)任務(wù)量，能夠促進(jìn)有限元程序設(shè)計(jì)向著更好的方向發(fā)展。

2面向?qū)ο笥邢拊A(chǔ)設(shè)計(jì)與有限元基礎(chǔ)類

2.1數(shù)值計(jì)算設(shè)計(jì)

完善的有限元程序應(yīng)包含一個(gè)完整的線性代數(shù)庫，建立該數(shù)據(jù)庫需要運(yùn)用矩陣類、矢量類、張量類等數(shù)值計(jì)算方法。1）矩陣類。與原有程序設(shè)計(jì)不同，有限元分析中不僅需要進(jìn)行普通的實(shí)矩陣運(yùn)算，還要進(jìn)行稀疏矩陣運(yùn)算，這類矩陣形式規(guī)模較大，增加了運(yùn)算難度。為了解決這一問題，可以用繼承樹的形式進(jìn)行計(jì)算，將組成矩陣的基本元素看做私有成員變量，運(yùn)用矩陣賦值、相加、相乘、求逆、轉(zhuǎn)置等方法進(jìn)行求解。2）矢量類。矢量類的數(shù)值計(jì)算設(shè)計(jì)與矩陣類基本相似，但矢量在實(shí)際應(yīng)用中具有特殊作用，不可一味地將矢量作為特殊的矩陣進(jìn)行計(jì)算。矢量類雖然不存在繼承樹，但該種數(shù)值計(jì)算方法仍能保證涉及矢量計(jì)算的各類代碼可以適度擴(kuò)展。3）張量類。封裝張量類一般不單獨(dú)使用，原因是該種方法只能確定三維坐標(biāo)系中的自身價(jià)值，不具有矩陣類與矢量類的優(yōu)點(diǎn)。但張量類的數(shù)值計(jì)算設(shè)計(jì)保障了數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的完整性與系統(tǒng)性，有助于實(shí)現(xiàn)有限元程序的擴(kuò)展和重用，可將其與其他數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行深度融合，從而提升有限元程序設(shè)計(jì)水平。

2.2有限元模型設(shè)計(jì)

建立健全有限元模型需要對(duì)問題求解區(qū)域進(jìn)行有限元離散，應(yīng)綜合考慮各方因素，協(xié)調(diào)各類能夠單獨(dú)封裝成對(duì)象類的數(shù)據(jù)，為有限元模型的建立奠定基礎(chǔ)。圖一中所列的五種對(duì)象類數(shù)據(jù)是影響模型設(shè)計(jì)的關(guān)鍵因素，下文進(jìn)行了詳細(xì)論述。首先是節(jié)點(diǎn)類。運(yùn)用程序進(jìn)行工程分析時(shí)會(huì)涉及與節(jié)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)據(jù)，為了確保分析的科學(xué)性與合理性，需要建立類來描述相關(guān)數(shù)據(jù)。類包括節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、屬性、節(jié)點(diǎn)力計(jì)算與分配等信息，在有限元分析中主要作為與其他類之間的通信提供接口。其次是單元類。單元主要表示有限元程序系統(tǒng)的拓?fù)鋵傩?，而單元類則是用來管理基礎(chǔ)屬性數(shù)據(jù)或計(jì)算單元荷載向量。簡而言之，單元類能夠完整封裝數(shù)據(jù)，保證了單元的多態(tài)性。值得注意的是，單元類設(shè)計(jì)是有限元程序設(shè)計(jì)中的核心內(nèi)容，需要仔細(xì)確認(rèn)單元類包含的對(duì)象，計(jì)算單元自身對(duì)求解問題貢獻(xiàn)的量，并注意求解結(jié)束后的一系列操作。再次是材料類。材料數(shù)據(jù)能夠確定分析問題的性質(zhì)，具有獨(dú)立性特點(diǎn)，建立材料類對(duì)有限元模型有著重要影響。最后是載荷與約束類。節(jié)點(diǎn)荷載與單元荷載（包括約束條件）是有限元模型中的兩類荷載，荷載類可以在規(guī)定時(shí)間內(nèi)利用載荷時(shí)間函數(shù)求出每個(gè)部分的值。另外，荷載時(shí)間函數(shù)類、時(shí)間積分方案類與時(shí)間步驟等能夠輔助完成模型設(shè)計(jì)中涉及的計(jì)算任務(wù)。

2.3有限元基礎(chǔ)類庫設(shè)計(jì)

類庫在計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)應(yīng)用中有著悠久歷史，然而在面向?qū)ο笥邢拊绦蛟O(shè)計(jì)領(lǐng)域還缺少一個(gè)科學(xué)有效的類庫，無法使有限元程序設(shè)計(jì)系統(tǒng)化。有限元基礎(chǔ)類以微軟基礎(chǔ)類為基礎(chǔ)，整合完善了有限元程序設(shè)計(jì)中需要的所有基本數(shù)據(jù)類，是建立在相對(duì)成熟系統(tǒng)的函數(shù)之上的C++類庫。有限元基礎(chǔ)類庫能夠顯著提升設(shè)計(jì)效率，利用面向?qū)ο蠓椒p少了代碼的修改與重復(fù)。設(shè)計(jì)有限元基礎(chǔ)類庫需要保證具有良好的兼容性，原因是現(xiàn)代多數(shù)計(jì)算機(jī)的操作系統(tǒng)是Windows，要想設(shè)計(jì)的程序流程運(yùn)行就必須與微軟基礎(chǔ)類（MFC）相互兼容。建立類庫時(shí)還應(yīng)進(jìn)行有限元數(shù)據(jù)對(duì)象類整合，協(xié)調(diào)各部分?jǐn)?shù)據(jù)之間的關(guān)系，從而提升數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之間的凝聚性。設(shè)計(jì)非線性有限元程序時(shí)應(yīng)從實(shí)際問題出發(fā)，以分析研究非線性問題為主，盡量為用戶預(yù)留最大接口，使其可以根據(jù)自身需要進(jìn)行一定修改。有限元基礎(chǔ)類庫的優(yōu)勢(shì)是能夠自動(dòng)嵌入整體程序，不用設(shè)計(jì)人員再進(jìn)行任何修改，提高了設(shè)計(jì)人員的工作效率。有限元基礎(chǔ)類庫還有利于構(gòu)建應(yīng)用程序框架，為設(shè)計(jì)人員提供了完整的設(shè)計(jì)思路。

2.4數(shù)據(jù)管理

有限元程序設(shè)計(jì)中運(yùn)用了大量的數(shù)據(jù)，如何科學(xué)管理這些數(shù)據(jù)已經(jīng)成為設(shè)計(jì)人員應(yīng)重點(diǎn)思考的問題。為了方便用戶使用，設(shè)計(jì)人員應(yīng)從程序本身角度進(jìn)行考量，使這些數(shù)據(jù)以更加直觀的方式表達(dá)出來，提高界面的交互性。在面向?qū)ο笥邢拊绦蛟O(shè)計(jì)中，圖形化界面的交互性良好，能夠進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)控，提高了數(shù)據(jù)管理的效率與質(zhì)量。有限元分析中包含的數(shù)據(jù)較多，模型類只能處理與自身相關(guān)的數(shù)據(jù)，需要運(yùn)用求解域類管理相關(guān)數(shù)據(jù)。在求解域類中，儲(chǔ)存了列表數(shù)據(jù)（單元、節(jié)點(diǎn)、材料、荷載、時(shí)間函數(shù)等），能夠處理方程求解對(duì)象、讀取與識(shí)別數(shù)據(jù)文件，具有非常重要的作用。求解域的首要任務(wù)是作為用戶接口觸發(fā)求解過程，并進(jìn)行有效的模型部件管理，實(shí)現(xiàn)各部件之間的通信。舉例來說，節(jié)點(diǎn)類、單元類的部件與數(shù)據(jù)文件之間的通信就是利用求解域?qū)崿F(xiàn)的。除此之外，求解域還可以傳達(dá)計(jì)算結(jié)果信息。

3面向?qū)ο蠓蔷€性有限元分析算法

3.1非線性有限元分析理論

準(zhǔn)確來說，結(jié)構(gòu)力學(xué)屬于非線性問題，運(yùn)用線性假設(shè)無法有效解決結(jié)構(gòu)力學(xué)難題。非線性問題主要分為三大類，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行界定，由于影響因素較多，在一定程度上增加了非線性問題分析的難度。下文以材料非線性問題和幾何非線性問題為例介紹了非線性有限元分析理論。材料非線性問題需要將關(guān)注點(diǎn)放在本構(gòu)關(guān)系上，將其在一個(gè)載荷步內(nèi)線性化處理，同時(shí)注意相關(guān)參數(shù)設(shè)置的合理性與科學(xué)性，確保其滿足非線性本構(gòu)關(guān)系。有限元分析主要以材料的彈塑性為主，將荷載分解為多個(gè)增量，然后分別進(jìn)行求解，將每部分增量用方程線性化，從而提高求解簡便性。對(duì)于幾何非線性問題，表達(dá)格式更加復(fù)雜，隨著深入研究，非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)原理更加完善，運(yùn)用該原理得出了解決幾何非線性問題的一般格式，已經(jīng)取得了良好的應(yīng)用效果。Lagrange格式是研究得出的處理幾何非線性問題的最有效格式，另外，還需要具體問題具體分析，進(jìn)行一定的擴(kuò)展設(shè)計(jì)。

3.2非線性有限元方程增量求解算法

從非線性有限元分析理論中可以得知，運(yùn)用增量求解算法能夠順利計(jì)算非線性方程。增量求解算法在實(shí)際運(yùn)用中需要遵循相關(guān)原則，以免破壞有限元方程計(jì)算結(jié)果的科學(xué)性與準(zhǔn)確性。一般情況下，增量求解算法主要分為三類，分別是無迭代、變剛度迭代和常剛度迭代的增量求解方法，這三種方法具有各自的特點(diǎn)與使用范圍。無迭代增量求解法的計(jì)算效率較低，主要適用于荷載增量小的情況，而且計(jì)算步驟復(fù)雜，每一個(gè)增量步驟都需要重新分析剛度矩陣，一定程度上影響了計(jì)算精度。常剛度迭代增量求解法不具有此缺點(diǎn)，只需分析處理首次形成的剛度矩陣即可，簡化了求解步驟，從而降低了求解成本，有利于提升非線性有限元程序的經(jīng)濟(jì)效益與社會(huì)效益。正如硬幣具有兩面性，迭代增量求解法也存在缺陷，主要表現(xiàn)為收斂速度緩慢，且荷載越大速度越慢，不利于提升程序運(yùn)行速度。設(shè)計(jì)人員應(yīng)加大研究力度，解決求解質(zhì)量與效率之間的矛盾，進(jìn)而促進(jìn)非線性有限元程序設(shè)計(jì)的健康發(fā)展。

4從應(yīng)用程序框架角度分析非線性有限元程序設(shè)計(jì)

4.1應(yīng)用程序框架

通過分析算法與有限元基礎(chǔ)類的分析討論可以建立一個(gè)應(yīng)用程序框架。應(yīng)用程序框架指的是具有強(qiáng)大凝聚性與組織性的類庫，在該框架中可以實(shí)現(xiàn)消息數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)交流，還可以應(yīng)用相關(guān)函數(shù)完成計(jì)算任務(wù)。構(gòu)建應(yīng)用程序框架需要以有限元基礎(chǔ)類庫為基礎(chǔ)，賦予類庫中封裝好的類實(shí)用意義，利用具體的對(duì)象完成操作行為。設(shè)計(jì)人員應(yīng)明確單元類、材料類、節(jié)點(diǎn)類等各大類之間的關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)建整個(gè)應(yīng)用程序框架的最外層結(jié)構(gòu)。在靜態(tài)情況下，有限元基礎(chǔ)類庫的對(duì)象類無法組建一個(gè)能夠相互傳遞消息、調(diào)用對(duì)方函數(shù)的網(wǎng)絡(luò)，需要將其與應(yīng)用程序框架相結(jié)合才能完成面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序的運(yùn)行任務(wù)。設(shè)計(jì)人員需要營造集成開發(fā)環(huán)境，以此為設(shè)計(jì)工作提供簡便高效的工具。營造集成開發(fā)環(huán)境的意義在于能夠?yàn)楣ぷ魅藛T提供使用的設(shè)計(jì)模板，通過在該模板上添加、刪減代碼，達(dá)到自己想要的效果。

4.2非線性有限元程序設(shè)計(jì)步驟

應(yīng)用面向?qū)ο蠓ㄅc非線性有限元理論進(jìn)行程序設(shè)計(jì)更加科學(xué)高效，設(shè)計(jì)人員只需利用簡單的單元類進(jìn)行兩級(jí)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)就可形成一個(gè)完整的非線性有限元程序，極大地提高了設(shè)計(jì)人員的工作效率與質(zhì)量。第一級(jí)設(shè)計(jì)是單元級(jí)設(shè)計(jì)，工作人員首先要掌握單元?jiǎng)偠鹊亩x與利用單元類構(gòu)建單元?jiǎng)偠染仃嚨姆椒āＨ绻麊卧?jí)設(shè)計(jì)中不涉及非線性幾何問題，可將其歸為線性問題處理，反之則需要進(jìn)行單獨(dú)處理。第二級(jí)設(shè)計(jì)是總體級(jí)設(shè)計(jì)，通過非線性求解器的應(yīng)用在每一個(gè)迭代步和增量步中求解相關(guān)問題。

4.3非線性有限元程序的擴(kuò)展

從應(yīng)用程序框架角度分析面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序較為簡單，只需在某一環(huán)節(jié)和接口中插入相關(guān)代碼就可完成，也就是說通過已有對(duì)象類的繼承和擴(kuò)展使程序設(shè)計(jì)符合要求。首先是單元類的繼承與擴(kuò)展，有限單元分析中的單元類不具有可執(zhí)行性，必須使用具體的單元，充分發(fā)揮面向?qū)ο蟮睦^承性和封裝性。其次是材料類的繼承與擴(kuò)展，材料數(shù)據(jù)類與單元數(shù)據(jù)類相同，也需要依靠具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算設(shè)計(jì)。例如，可將材料數(shù)據(jù)基類分為具體的彈性材料類和塑性材料類，了解每一種材料類的屬性與特點(diǎn)。最后是求解器類的繼承與擴(kuò)展，在求解非線性問題時(shí)，設(shè)計(jì)人員的任務(wù)是在線性化系統(tǒng)類的幫助下利用變剛度迭代和常剛度迭代方法解決問題。

5總結(jié)

綜上所述，面向?qū)ο蠓椒▽W(xué)與非線性有限元分析理論在有限元程序設(shè)計(jì)中有著至關(guān)重要的影響，設(shè)計(jì)人員應(yīng)熟練掌握方法理論基礎(chǔ)，從而利用有限元基礎(chǔ)類庫減少傳統(tǒng)程序中存在的大量復(fù)雜數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。在今后的設(shè)計(jì)工作中，設(shè)計(jì)人員還應(yīng)加強(qiáng)前后處理數(shù)據(jù)的管理，積極尋找更加有效的管理方式，提高有限元程序的可擴(kuò)充性。另外，還應(yīng)從程序框架角度優(yōu)化有限元程序設(shè)計(jì)效果，從而使面向?qū)ο蠓蔷€性有限元程序更加靈活地應(yīng)用于工程分析，提高分析水平。