以阿波羅尼斯圓為背景的試題探究

浙江省衢州第二中學(xué) (324000)

劉瑞富

在近十年的高考中，以阿波羅尼斯圓為背景的考題不斷出現(xiàn)，備受命題者的青睞，本文通過列舉近幾年的高考及競賽試題，講解與阿波羅尼斯圓有關(guān)的一些結(jié)論，進一步加強對與此圓與關(guān)的試題的認識.

問題的起源：

(1)人教A版必修2課本第124頁B組第3題.

(2)人教A版必修2課本第144頁B組第2題.

已知點M(x,y)與兩個定點M1,M2距離比是一個正數(shù)m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1或m≠1兩種情形).

將此問題一般化，我們有：

圖1

可以看出：(1)圓心與兩定點A,B在同一直線上；(2)是以分線段AB所成的比為λ的內(nèi)外兩個分點為直徑的圓.

例1 (2013江蘇高考題)如圖2，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l:y=2x-4．設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．(1)略;(2)若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

圖2

解：(1)設(shè)點M(x,y),由MA=2MO，知

點評：本題解決的難點在于探求動點M的軌跡方程，而點M的軌跡就是著名的阿波羅尼斯圓，得出點M的軌跡為圓后，問題即轉(zhuǎn)化為兩個圓的位置關(guān)系.

圖3

命題1 如圖3，已知圓O的直徑為MN，在直線MN上有兩點A,B，若滿足

?(OA-OM)·(OB+OM)=(OA+OM)·(OM-OB)?OA·OB=OM2=r2.

事實上，滿足上述條件的點A,B又稱為圓O的一對反演點.

例2 (2014湖北高考題)已知圓O:x2+y2=1和點A(-2,0)，若定點B(b,0)(b≠-2)和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M，都有|MB|=λ|MA|，則(1)b= ；(2)λ= .

圖4

點評：解法1是基本的方法，解法2要求更高，更簡潔，做小題更迅速，可以節(jié)省時間，此題告訴我們，已知阿波羅尼斯圓的一個定點，可求得另一個定點及圓上任一點到兩個定點所成的比.

例3 (2015湖北高考題)如圖4，圓C與x軸相切于點T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A,B(B在A的上方)，且|AB|=2．

(1)圓C的標準方程為 ；

其中正確結(jié)論的序號是 .(寫出所有正確結(jié)論的序號)

易得正確結(jié)論的序號為①②③.

點評：對阿波羅尼斯圓的逆用，先判斷得出A,B是它的兩個定點，可快速解決本題.

圖5

命題2 如圖5，MN是圓O的一條直徑，A是直線MN上異于O的一個定點，過點A任作一條異于MN的直線交圓O于P,Q兩點，點P關(guān)于直線MN的對稱點為P′，直線P′Q與MN交于點B，則A,B是圓O的一對反演點.

證明：連接QO與圓交于點C，連接P′C,由Q,P,P′,C四點共圓得∠QPP′=∠QCP′，又∠OAQ+∠APP′=∠OQB+∠QCP′=90°,所以∠OAQ=∠OQB,從而ΔOAQ～

圖6

|OA|·|OB|=|OQ|2=r2.

特別地,如圖6，過A作圓O的兩條切線，切點分別為P,Q，連接PQ，與MN相交于點B，則A,B是圓O的一對反演點.

圖7

命題3 如圖7，P為異于M,N的以A,B為定點的阿波羅尼斯圓上一點，則PM、PN分別為∠APB的內(nèi)、外角平分線.

圖8

例4 (2001中國西部數(shù)學(xué)奧林匹克題)如圖8，過圓O外一點P作其切線PA,PB，OP與圓O和AB分別交于點I,M，DE為過M的任意弦.求證：I為ΔPDE的內(nèi)心.

證明：由命題2知，M,P為圓O的一對反演點，連接EI,DI，由命題3得，EI,DI分別為∠PED，∠PDE的角平分線，所以I為ΔPDE的內(nèi)心.

點評：如能巧妙地運用阿氏圓的相關(guān)知識來處理，有時就能縮短思維路徑，簡化解題過程，起到事半功倍的效果!

將圓通過伸縮變換變?yōu)闄E圓，則可得到如下結(jié)論：

圖9

圖10

n)(m≠0)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M．

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N．問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．

(2)假設(shè)y軸上存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ，則RtΔOQM與RtΔONQ相似,所以|OM|·

點評：將圓的性質(zhì)通過仿射變換，得到橢圓的類似性質(zhì)，是命題者常用的一種手段.

有了對阿波羅尼斯圓的系統(tǒng)認識，像以上所舉的幾個問題，認清問題的本質(zhì)，我們就能很輕易的解決，在我們學(xué)習中要善于對各種題型歸類，深入探究.作為教師，我們要善于挖掘問題的本質(zhì)和背景，站在更高的角度去理解問題，這樣更有利于提高教學(xué)質(zhì)量，促進學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展.

[1]楊煉.阿波羅尼斯圓的新性質(zhì)及應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016(5).

[2]孫明.例析2015年高考解析幾何試題的反演點背景[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2015(10).

[3]徐梅香.由阿波羅尼斯圓衍生的橢圓性質(zhì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2014(6).