為數(shù)學(xué)點(diǎn)贊
——名師例析數(shù)學(xué)文化（3）復(fù)數(shù)篇

■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

■北京教育學(xué)院豐臺(tái)分院 張 琦

圖1

圖2

圖3

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(征求意見(jiàn)稿2016)中將課程內(nèi)容分為必修課程、選修Ⅰ和選修Ⅱ三部分內(nèi)容。其中每部分內(nèi)容又包括函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)四部分內(nèi)容(注:必修課程還包括預(yù)備知識(shí))。其中復(fù)數(shù)與平面向量及應(yīng)用、立體幾何初步共同構(gòu)成了必修課程的幾何與代數(shù)部分。

課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)復(fù)數(shù)部分的教學(xué)要求是:“在復(fù)數(shù)的教學(xué)中,應(yīng)注重對(duì)復(fù)數(shù)的表示及幾何意義的理解,避免煩瑣的計(jì)算與技巧訓(xùn)練。對(duì)于感興趣的學(xué)生,可以安排一些引申的內(nèi)容,如復(fù)數(shù)的三角形式等。可以適當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)文化,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中理性思維的作用?！毕旅鏀M通過(guò)回顧復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史,了解復(fù)數(shù)概念的重要發(fā)展階段,體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充過(guò)程中的理性思維、反思意識(shí)和創(chuàng)新精神。

一、復(fù)數(shù)產(chǎn)生的大致歷程

一元二次方程的歷史可以追溯到古巴比倫時(shí)期,在大英博物館所藏古巴比倫時(shí)期泥版BM13901上載有七個(gè)一元二次方程問(wèn)題。其中第1題為:“正方形面積與一邊長(zhǎng)之和為,求該正方形邊長(zhǎng)?！?/p>

古巴比倫人解決上述問(wèn)題的方法是幾何法,圖1所示的是一邊長(zhǎng)為x的正方形,其邊上接著一個(gè)長(zhǎng)為1、寬也為x的長(zhǎng)方形。之后將長(zhǎng)方形按虛線剪開(kāi),剪下的一半置于正方形的另一邊(如圖2),然后補(bǔ)一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形,即得一大正方形(圖3),其面積為,故而大正方形邊長(zhǎng)為1,所以要求正方形的邊長(zhǎng)

從這個(gè)問(wèn)題分析,可以發(fā)現(xiàn)古巴比倫人對(duì)一元二次方程有著深刻的理解,而且這種求一元二次方程根的方法對(duì)后世數(shù)學(xué)家研究一元二次方程問(wèn)題有著深遠(yuǎn)的影響。而且如果深入分析這個(gè)問(wèn)題,能夠發(fā)現(xiàn)這種求解方法中并沒(méi)有負(fù)根,這也與負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史有關(guān),因?yàn)橹钡?6、17世紀(jì)歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家還不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù)。

公元3世紀(jì),被譽(yù)為古希臘代數(shù)學(xué)鼻祖的丟番圖在其《算術(shù)》中提到這樣一個(gè)問(wèn)題:“已知兩數(shù)的和與積,求這兩個(gè)數(shù)?！眮G番圖的解法是:“假設(shè)兩數(shù)的和為20,乘積為96,2x為所求數(shù)之差,于是所求數(shù)為10+x和10-x。故得10-x2=96,所以x=2,從而得所求兩數(shù)分別為12和8?！边@時(shí)候,人們已經(jīng)知道一元二次方程有兩個(gè)根,如果其中有一個(gè)根為負(fù)數(shù)時(shí),自動(dòng)舍掉。但如果其中有一個(gè)根為虛數(shù)時(shí),寧可認(rèn)為這個(gè)方程是不可解的。

公元9世紀(jì),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米也用幾何方法來(lái)解一元二次方程。在《代數(shù)學(xué)》中,花拉子米給出了求解一元二次方程x2+10x=39的兩種幾何方法。

更為重要的是,在該部著作中,花拉子米首次得出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為歐洲國(guó)家應(yīng)用一元二次方程的求根公式,首次見(jiàn)于法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)所著的《分析五篇》一書,還只限于正根。虛根問(wèn)題雖然是由求一元二次方程的解所引發(fā)的,但迫使人們認(rèn)真對(duì)待復(fù)數(shù)卻是因?yàn)榍笠辉畏匠痰慕?。意大利?shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在1545年出版的著作《大術(shù)》中討論了求解一元三次方程的代數(shù)方法,卡爾達(dá)諾區(qū)分了13種情況對(duì)一元三次方程進(jìn)行了詳細(xì)討論,給出了13種求解的公式,現(xiàn)在稱這些公式為卡爾達(dá)諾公式。

據(jù)說(shuō)數(shù)學(xué)史上最早發(fā)現(xiàn)一元三次方程通式解的人,是16世紀(jì)意大利的另一位數(shù)學(xué)家尼柯洛·馮塔納。經(jīng)過(guò)多年的探索和研究,馮塔納利用十分巧妙的方法,找到了一元三次方程一般形式的求根方法,從此名揚(yáng)歐洲。但是馮塔納不愿意將他的這個(gè)重要發(fā)現(xiàn)公之于世。

當(dāng)時(shí)的卡爾達(dá)諾,對(duì)馮塔納的發(fā)現(xiàn)非常感興趣。他幾次誠(chéng)懇地登門請(qǐng)教,希望獲得馮塔納的求根公式。可是馮塔納始終守口如瓶,滴水不漏。雖然卡爾達(dá)諾屢次受挫,但他極為執(zhí)著,軟磨硬泡地向馮塔納“挖秘訣”。后來(lái),馮塔納終于用一種隱晦得如同咒語(yǔ)般的語(yǔ)言,把一元三次方程的解法“透露”給了卡爾達(dá)諾。馮塔納認(rèn)為卡爾達(dá)諾很難破解他的“咒語(yǔ)”,可是卡爾達(dá)諾的悟性太棒了,他通過(guò)解三次方程的對(duì)比實(shí)踐,很快就徹底破譯了馮塔納的秘密。

卡爾達(dá)諾把馮塔納的三次方程求根公式,寫進(jìn)了自己的學(xué)術(shù)著作《大術(shù)》中,但并未提到馮塔納的名字。隨著《大術(shù)》在歐洲的出版發(fā)行,人們才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一個(gè)發(fā)表三次方程求根公式的人確實(shí)是卡爾達(dá)諾,因此后人就把這種求解方法稱為卡爾達(dá)諾公式。我們下面簡(jiǎn)單介紹一下卡爾達(dá)諾公式。

設(shè)一般的一元三次方程為ay3+by2+cy+d=0(a≠0),方程兩邊同時(shí)除以a,原方程變?yōu)椴环劣洖閥3+a1y2+a2y+a3=0,此時(shí)令y=x,為了方便,不妨記所以只需求方程x3+px+q=0的解即可。

此時(shí),設(shè)x=u+v,則方程又變換為u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0,為了操作簡(jiǎn)單,我們不妨再加一個(gè)限定條件。令3uv+p=0,即v=,再整理方程,變?yōu)閡3+利用一元二次方程的求根公式,可得u3的兩個(gè)根,再開(kāi)立方,可得u的值,進(jìn)而可得方程x3+px+q=0的根。

多么巧妙的解題過(guò)程啊!但是,如果深思一下在利用一元二次方程的求根公式的時(shí)候有兩不等實(shí)根,但是當(dāng)時(shí)呢?怎么辦?

用現(xiàn)在的代數(shù)語(yǔ)言描述x3+px+q=0的三個(gè)根為:

在應(yīng)用公式求解的時(shí)候出現(xiàn)了十分尷尬的情況:即使一元三次方程的三個(gè)根都是實(shí)數(shù),但用公式求解的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)虛數(shù)。比如,x3-15x-4=0,容易驗(yàn)證4是方程的一個(gè)根,接下來(lái)還可以找到另外兩個(gè)根-2±3,因此方程的三個(gè)根都是實(shí)數(shù)。但是,直接用卡爾達(dá)諾求解一元三次方程的公式計(jì)算方程根的過(guò)程中會(huì)得到一個(gè)根這個(gè)根是實(shí)數(shù)嗎?這樣的方程是有解還是無(wú)解呢?

為了解釋清楚上面產(chǎn)生的困難,卡爾達(dá)諾寫道:“顯然,將10分成兩部分,使它們的乘積等于40是不可能的。不過(guò)我們可以用這樣的方式來(lái)求解。將10等分,得5,自乘得25。減去乘積自身(即40),得-15。從5中加上或減去該數(shù)的平方根即得乘積為40的兩部分,所得的兩個(gè)數(shù)分別為……拋開(kāi)精神上的痛苦,將5+即40……這的確很矯揉造作,因?yàn)槔盟覀儾⒉荒茏鲈诩冐?fù)數(shù)情形中所能做的運(yùn)算?！?這均為今天的符號(hào))

盡管卡爾達(dá)諾本人并不理解這種數(shù),甚至拒絕了這種數(shù),還說(shuō):“算術(shù)就是這樣的精巧奇妙,它最根本的特點(diǎn),正如我說(shuō)過(guò)的,是既精妙又無(wú)用?！钡吘惯@是具有歷史意義的一刻,卡爾達(dá)諾成了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)寫下負(fù)數(shù)平方根的人。不經(jīng)意的一筆卻為虛數(shù)的發(fā)展播下了種子。

虛數(shù)(imaginarynumber)這個(gè)名稱是法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒給出的,笛卡兒認(rèn)為方程的這些“虛”根是不能對(duì)應(yīng)到任何數(shù)的。負(fù)根至少可以通過(guò)方程變換轉(zhuǎn)化成“實(shí)”的,但是“虛”根卻辦不到。所以這些根不是實(shí)的,而是虛的,它們并不是數(shù)。并且,笛卡兒還給這些數(shù)取了一個(gè)不幸的名字——“虛數(shù)”,意思是“想象中的數(shù)”。

歐拉第一個(gè)使用符號(hào)i表示虛數(shù),寫在他1777年提交給圣彼得堡科學(xué)院的論文中,這篇論文直到1794年才發(fā)表。盡管歐拉已多次接觸虛數(shù),并且使用起來(lái)駕輕就熟,但對(duì)于虛數(shù)概念本身,他還是不甚了了,甚至還認(rèn)為在他的《代數(shù)學(xué)引論》中,他寫道:“因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)要么大于零,要么小于零,要么等于零,所以負(fù)數(shù)的平方根顯然是不能包含在這些數(shù)之中的。因此我們必須說(shuō),它們是不可能的數(shù)?！鼈兺ǔ１环Q為想象的數(shù),因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾小！?/p>

在復(fù)數(shù)理論發(fā)展的過(guò)程中,德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯做出了巨大的貢獻(xiàn),他在1831年,建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算,使得復(fù)數(shù)的運(yùn)算也像實(shí)數(shù)一樣“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”(complexnumber)這個(gè)名詞,高斯認(rèn)為必須將虛數(shù)別開(kāi)來(lái),才引入了復(fù)數(shù)這個(gè)詞。還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合,統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中,并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng),擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn),而且還看作是一種向量,并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此,復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來(lái)了。

只有給出復(fù)數(shù)的幾何表示,人們才真正感覺(jué)到了復(fù)數(shù)的存在,才心安理得地接受了復(fù)數(shù)。1797年,丹麥測(cè)量學(xué)家韋塞爾在丹麥皇家科學(xué)院宣讀了一篇關(guān)于復(fù)數(shù)的論文,文中引入了虛軸并把復(fù)數(shù)表示為平面向量。但直到100年后的1897年,韋塞爾的丹麥文的論文被翻譯為法文后,復(fù)數(shù)幾何表示的工作才引起數(shù)學(xué)界的廣泛重視。

1806年,瑞士數(shù)學(xué)家阿甘德首先把這類新數(shù)表示成三角形式并把它們與平面內(nèi)線段的旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來(lái),例如分別被看成單位線段按照逆時(shí)針與順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90度所得的結(jié)果。可以這樣理解:一個(gè)實(shí)數(shù)乘以1,相當(dāng)于原地沒(méi)動(dòng);乘以-1,相當(dāng)于向后轉(zhuǎn);乘以i,相當(dāng)于向左轉(zhuǎn);乘以-i,相當(dāng)于向右轉(zhuǎn),這是復(fù)數(shù)的乘法。再來(lái)考慮復(fù)數(shù)的加法,+5,向右走5個(gè)單位;-5,向左走5個(gè)單位;+5i向上走5個(gè)單位;-5i向下走5個(gè)單位。復(fù)數(shù)的表達(dá)方式已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、信號(hào)分析等,有著深厚的物理背景。在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上,英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓構(gòu)造了四元數(shù),并導(dǎo)致了物理學(xué)中著名的麥克斯韋方程的產(chǎn)生。

虛數(shù)概念的引入在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)曲折的過(guò)程,其中充滿著數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力和不屈不撓、精益求精的精神。

二、數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

自從有了人類,為了統(tǒng)計(jì)捕獲的獵物和采集的野果等方面的需要,用手指、十字或刻痕來(lái)數(shù)個(gè)數(shù),經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月,創(chuàng)造了自然數(shù),1,2,3,4,5…。后來(lái)人們把表示“無(wú)”的0也歸入自然數(shù),形成了自然數(shù)集,自然數(shù)集是產(chǎn)生其他一切數(shù)的源泉,所有其他數(shù)都是由其擴(kuò)充得到的。

但是隨著時(shí)代的發(fā)展,在分配某些物品的時(shí)候,人們發(fā)現(xiàn)只有自然數(shù)是不夠用的,比如,四個(gè)人平分一個(gè)西瓜,把西瓜切成相同的四份,每人得到其中的一份,怎么用數(shù)表示這一份呢?諸如此類的問(wèn)題很多。

于是,自然引出了分?jǐn)?shù),從解方程的角度,分?jǐn)?shù)是這樣引入的:如果3x=5,這個(gè)方程在自然數(shù)的范圍內(nèi)無(wú)解,為了解決這個(gè)矛盾,數(shù)的范圍必須擴(kuò)充。所以定義:如果m,n(n≠0)是自然數(shù),如果數(shù)量a滿足條件a×n=m,則稱a是分?jǐn)?shù),記作

時(shí)代又在發(fā)展,智慧的人類發(fā)現(xiàn)僅有分?jǐn)?shù)也是不夠的。比如用自然數(shù)表示了收入,那么支出應(yīng)該怎么表示呢?用分?jǐn)?shù)表示了上升的程度,那么下降程度又該如何描述呢?于是,引入了相反數(shù)的概念——與正數(shù)相反的概念。設(shè)a是分?jǐn)?shù)(兩個(gè)自然數(shù)之比),方程x+a=0在分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)無(wú)解,為了解決這個(gè)矛盾,數(shù)的范圍又得擴(kuò)充。所以,我們定義方程x+a=0的解叫作a的相反數(shù),記作-a,于是數(shù)的范圍擴(kuò)大到包括分?jǐn)?shù)和它的相反數(shù)的新數(shù)集——有理數(shù)集。

古希臘時(shí)期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有個(gè)基本的觀點(diǎn)——“萬(wàn)物皆數(shù)”,他們相信任何的量都能表示成兩個(gè)整數(shù)之比。但是學(xué)派中的一個(gè)青年希帕蘇斯卻發(fā)現(xiàn)正方形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線之比不能用整數(shù)比表示,即 2不是分?jǐn)?shù)。他百思不得其解,最后認(rèn)定這是一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)的新數(shù)。這個(gè)新數(shù)的發(fā)現(xiàn),使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到震驚,動(dòng)搖了他們哲學(xué)思想的核心。無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn),擊碎了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬(wàn)物皆數(shù)”的理想。同時(shí)暴露出有理數(shù)系的缺陷:一條直線上的有理數(shù)盡管“稠密”,但是它卻漏出了許多“孔隙”,而且這種“孔隙”多得“不可勝數(shù)”。這樣,古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種設(shè)想,就徹底地破滅了。

無(wú)理數(shù)是什么?人民教育出版社教材中的無(wú)理數(shù)的定義如下:

八年級(jí)上冊(cè):任何一個(gè)有理數(shù)可以寫成有限小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)的形式,3即3.0,即-0.6…很多平方根和立方根都是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù)。有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

從有理數(shù)到無(wú)理數(shù),也可以看成是兩個(gè)方面需求的結(jié)果:一是度量線段過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的存在著不可公度線段——每一條這樣的線段都對(duì)應(yīng)著借助于單位長(zhǎng)度而給出的一個(gè)數(shù),這樣的數(shù)就是無(wú)理數(shù)。二是從數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求看,與有理數(shù)域的擴(kuò)充類似,為了解像x2=2這樣的方程,需要構(gòu)造一個(gè)比有理數(shù)集更廣的實(shí)數(shù)集。

從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù),主要是數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求,也就是上面所述在一元三次方程求解過(guò)程中產(chǎn)生的 -1的問(wèn)題,于是從數(shù)學(xué)的角度,只好引進(jìn)一種新的數(shù)——“虛數(shù)單位”i,它服從i2=-1,之后要定義它的運(yùn)算;定義了運(yùn)算,又要研究它的運(yùn)算律。從而數(shù)集就從實(shí)數(shù)集又?jǐn)U充到了復(fù)數(shù)集。

上述數(shù)的范圍的擴(kuò)充過(guò)程,反映了數(shù)學(xué)推廣過(guò)程的一個(gè)重要特性——使得在原來(lái)范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。非常幸運(yùn),從自然數(shù)到有理數(shù),有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集,實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集,完全滿足這個(gè)要求。

復(fù)數(shù)除了在高考和競(jìng)賽中的簡(jiǎn)單應(yīng)用外,隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步,復(fù)數(shù)理論已越來(lái)越顯出它的重要性,它不但對(duì)于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義,而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解決堤壩滲水的問(wèn)題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。