高考推理與證明高分突破

■安徽省阜陽(yáng)市太和中學(xué) 岳 峻

“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過(guò)程,也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理,推理與證明貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個(gè)體系,它是新課標(biāo)教材的一個(gè)亮點(diǎn),是對(duì)以前所學(xué)知識(shí)與方法的總結(jié)、歸納,并對(duì)同學(xué)們的后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。

考點(diǎn)突破一、合情推理

考綱要求：了解合情推理的含義,能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理,體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用。

權(quán)威解讀：歸納推理是由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納)。簡(jiǎn)而言之,歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理;類比推理是由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理,稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比)。歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理。

例1 (2016年山東卷)觀察下列等式:

解析：觀察易知3=1+2,5=2+3,7=3+4,9=4+5,…,歸納可得2n+1=n+(n+1)。

點(diǎn)評(píng):在解決問(wèn)題的過(guò)程中,合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新意識(shí)。

跟蹤訓(xùn)練1：(2018屆安徽太和中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))觀察以下各等式:

(1)分析上述各式的共同特點(diǎn),猜想出一般規(guī)律的等式;

(2)并借助于正弦定理、余弦定理對(duì)等式的正確性給出證明。

提示：(1)設(shè)α+β=60°,則sin2α+sin2β+sinαsin

(2)設(shè)a,b,c是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)應(yīng)邊,若A+B=60°,則:

c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab。

又a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入上式并化簡(jiǎn)得:

例2 如圖1,P是斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱BB1上的一點(diǎn),PM⊥BB1且交AA1于M,PN⊥BB1且交CC1于N。

圖1

(1)證明:CC1⊥MN;

(2)類比平面幾何的余弦定理,寫(xiě)出斜三棱柱ABC-A1B1C1的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式,并加以證明。

解析：(1)因?yàn)镻M⊥BB1,PN⊥BB1,并且PN,PM?平面MNP,PM∩PN=P,所以BB1⊥平面MNP。

因?yàn)镸N?平面MNP,所以BB1⊥MN。

又因?yàn)锽B1∥CC1,所以CC1⊥MN。

(2)由題意可知,兩個(gè)側(cè)面所成的二面角M-BB1-N的平面角為∠MPN。

在△MPN中,MN2=MP2+NP2-2MP·NPcos∠MPN。

兩邊同乘BB21,化簡(jiǎn)可得:

點(diǎn)評(píng):高考中的類比一般包括由數(shù)到數(shù)的類比、由形到形的類比、論證方法的類比,通過(guò)兩類事物的類比可以對(duì)事物的性質(zhì)有更深刻的理解。

跟蹤訓(xùn)練2：(2018年湖南株洲六校聯(lián)考)對(duì)于問(wèn)題:“已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為(-1,2),求關(guān)于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集?！?/p>

給出如下一種解法:

由ax2+bx+c＞0的解集為(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c＞0的解集為(-2,1),即關(guān)于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集為(-2,1)。

故所求不等式的解集為(-3,-1)∪(1,2)。

考點(diǎn)突破二、邏輯推理

考綱要求：了解演繹推理的含義,了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異;掌握演繹推理的“三段論”,能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的演繹推理。

權(quán)威解讀：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(包括定義、公理、定理等),按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程。培養(yǎng)和提高學(xué)生的演繹推理或邏輯證明的能力是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)。

例3 (2016年新課標(biāo)Ⅱ卷)有三張卡片,分別寫(xiě)有1和2,1和3,2和3。甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2?！币铱戳吮目ㄆ笳f(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1?！北f(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5?！眲t甲的卡片上的數(shù)字是____。

解析：第一句意味著甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2,等價(jià)于丙的卡片不是(1,3),第三句意味著丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,等價(jià)于丙拿的不是(2,3),所以丙拿的是(1,2);第二句意味著乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1,等價(jià)于甲的卡片不是(2,3),所以乙的卡片是(2,3),甲的卡片只能是(1,3)。

點(diǎn)評(píng):本題以三個(gè)人,三張不同卡片,每人持有一張作為問(wèn)題的背景,依據(jù)三人的陳述,確定三個(gè)人各自持有的卡片。本題要求同學(xué)們理解所陳述的含義,根據(jù)陳述排除不合要求的分配情況,最終確定每個(gè)人手中的卡片內(nèi)容。試題注重考查同學(xué)們邏輯思維的基本素養(yǎng),沒(méi)有現(xiàn)成的解題套路,但有利于考查同學(xué)們獨(dú)立思考、解決問(wèn)題的能力。

跟蹤訓(xùn)練3:(2017年新課標(biāo)Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)。老師說(shuō):你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī)。看后甲對(duì)大家說(shuō):我還是不知道我的成績(jī)。根據(jù)以上信息,判斷( )。

A.乙可以知道四人的成績(jī)

B.丁可以知道四人的成績(jī)

C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī)

D.乙、丁可以知道自己的成績(jī)

提示：由甲的說(shuō)法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好,則甲、丁一人優(yōu)秀一人良好;乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果,丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果,故選D。

例4 (2016年北京卷)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球,其中紅球、黑球各占一半。甲、乙、丙是三個(gè)空盒。每次從袋中任意取出兩個(gè)球,將其中一個(gè)球放入甲盒,如果這個(gè)球是紅球,就將另一個(gè)球放入乙盒,否則就放入丙盒。重復(fù)上述過(guò)程,直到袋中所有球都被放入盒中,則( )。

A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多

C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球

D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多

解析：每次從袋中抓出兩個(gè)球的情形有四種:①紅黑;②紅紅;③黑黑;④黑紅。

情形①放入甲盒的是紅球,導(dǎo)致乙盒中黑球加1;情形②放入甲盒的是紅球,導(dǎo)致乙盒中紅球加1;情形③放入甲盒的是黑球,導(dǎo)致丙盒中黑球加1;情形④放入甲盒的是黑球,導(dǎo)致丙盒中紅球加1。

不妨設(shè)①有a次,②有b次,③有c次,④有d次,則甲盒有紅球a+b個(gè),黑球c+d個(gè);乙盒有黑球a個(gè),紅球b個(gè);丙盒有黑球c個(gè),紅球d個(gè)。由于紅球、黑球數(shù)目相等,所以a+2b+d=a+2c+d,即b=c,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,所以選B。

點(diǎn)評(píng):上面對(duì)球的取放規(guī)則進(jìn)行分析和邏輯推理,環(huán)環(huán)相扣,準(zhǔn)確地把握取放規(guī)則的內(nèi)涵,其突破口是將抽象的取放法則數(shù)據(jù)化,發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律,進(jìn)而解決問(wèn)題。

跟蹤訓(xùn)練4:(2017年北京卷)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成,人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:

(i)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù);

(ii)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù);

(iii)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)。

①若教師人數(shù)為4,則女學(xué)生人數(shù)的最大值為_(kāi)___;

②該小組人數(shù)的最小值為_(kāi)___。

①當(dāng)z=4時(shí),8＞x＞y＞4,所以x的最大值為7,y的最大值為6,故女學(xué)生人數(shù)的最大值為6。

考點(diǎn)突破三、反證法

考綱要求：了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)。

權(quán)威解讀：反證法是間接證明法的一類,是從反方向證明的證明方法,即:肯定題設(shè)條件而否定結(jié)論,經(jīng)過(guò)推理導(dǎo)出矛盾,從而證明原命題。反證法的邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同。

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)點(diǎn)F1的直線l1與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2的直線l2與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn),且l1∥l2,證明:四邊形MNPQ不可能是菱形。

又c2=a2-b2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

圖2

(2)由(1)可知F1(-1,0),如圖2,易知直線MN不能平行于x軸,所以令直線MN的方程為x=my-1,M(x1,y1),N(x2,y2)。

此時(shí)|MN|=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]。

同理,令直線PQ的方程為x=my+1,P(x3,y3),Q(x4,y4)。

故|MN|=|PQ|,所以四邊形MNPQ是平行四邊形。

又x1x2=(my1-1)(my2-1)=m2y1y2-m(y1+y2)+1,所以有(m2+1)y1y2-m(y1+y2)+1=0,整理得到即12m2+5=0。

上述關(guān)于m的方程顯然沒(méi)有實(shí)數(shù)解,故四邊形MNPQ不可能是菱形。

點(diǎn)評(píng):反證法適宜證明“存在性問(wèn)題,唯一性問(wèn)題”,帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的問(wèn)題,直接證明有困難時(shí),常采用反證法。

跟蹤訓(xùn)練5:(2017年德州一模)如果△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個(gè)內(nèi)角的正弦值,則△A2B2C2是____三角形。(填“銳角”、“直角”或“鈍角”)

提示：由條件知,△A1B1C1的三個(gè)內(nèi)角的余弦值均大于0,則△A1B1C1是銳角三角形。

假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形,則:

那么A2+B2+C2=,這與A+B+C=π相矛盾,所以假222設(shè)不成立。

又顯然△A2B2C2不是直角三角形,故△A2B2C2是鈍角三角形。

跟蹤訓(xùn)練6:(2018屆阜陽(yáng)第一次質(zhì)量檢測(cè))已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值為2,最小值為

提示：(1)假設(shè)a=0,f(x)=bx,顯然b≠0,f(x)在[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),則f(x)的最大值為|b|,最小值為-|b|,此時(shí)|b|+(-|b|)=0,與已知條件相矛盾,所以a≠0。

考點(diǎn)突破四、綜合法與分析法

考綱要求：了解直接證明的兩種基本方法:綜合法和分析法;了解綜合法和分析法的思考過(guò)程和特點(diǎn)。

權(quán)威解讀：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法,當(dāng)題目從題設(shè)不易入手,而從結(jié)論上較易打開(kāi)思路時(shí),多用分析法證明。我們?cè)趯?shí)際解題時(shí),應(yīng)把兩種方法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用,先用分析法尋求解題思路,再用綜合法有條理地表達(dá)解題過(guò)程,這就達(dá)到了揚(yáng)長(zhǎng)避短、相互協(xié)調(diào)、相得益彰的目的。

例6 (2017年山東文科卷)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1,截去三棱錐C1-B1CD1后得到的幾何體如圖3所示,四邊形ABCD為正方形,O為AC與

BD的交點(diǎn),E為AD的中點(diǎn),A1E⊥平面ABCD。

(1)證明:A1O∥平面B1CD1;

(2)設(shè)M 是OD的中點(diǎn),證明:平面A1EM⊥平面B1CD1。

解析：(1)取B1D1中點(diǎn)O1,連接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1為四棱柱,所以A1O1∥CO,A1O1=CO,因此四邊形A1OCO1為平行四邊形,A1O∥O1C。

又O1C?平面B1CD1,A1O?平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1。

(2)因?yàn)锳C⊥BD,E,M分別是AD,OD的中點(diǎn),所以EM⊥BD。因?yàn)锳BCD為正方形,所以AO⊥BD。又A1E⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以A1E⊥BD。

因?yàn)锽1D1∥BD,所以A1E⊥B1D1,EM⊥B1D1。

又A1E,EM?平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM。

又B1D1?平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1。

圖3

點(diǎn)評(píng):綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理證明,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫作綜合法,又叫順推證法。它的基本思路是“由因?qū)Ч薄?/p>

(1)求M;

(2)證明:當(dāng)a,b∈M時(shí),|a+b|＜|1+ab|。

綜上可得,M={x|-1＜x＜1}。

(2)當(dāng)a,b∈(-1,1)時(shí),有(a2-1)·(b2-1)＞0,即a2b2+1＞a2+b2。

則a2b2+2ab+1＞a2+2ab+b2。

整理得(ab+1)2＞(a+b)2,故|a+b|＜|ab+1|。

例7 (2017年全國(guó)Ⅱ卷)已知a＞0,b＞0,a3+b3=2,證明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2。

解析：(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)

=4+ab(a2-b2)2≥4。

(2)因?yàn)閍＞0,b＞0,所以要證明a+b≤2,只需證明(a+b)3≤8,也即證明a3+3a2b+3ab2+b3≤8。

而a3+b3=2,只需證明a2b+ab2≤2。

而a2b+ab2-2=a2b+ab2-a3-b3=a2(b-a)-b2(b-a)=(a2-b2)(b-a)=-(b-a)2(b+a)≤0,此式顯然成立,故a+b≤2。

點(diǎn)評(píng):分析法是從待證明的結(jié)論出發(fā),從“未知”看“需知”,漸漸靠攏“已知”,逐步尋找使它成立的充分條件,直至最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件,這種證明方法叫分析法。它的基本思路是“執(zhí)果索因”。

因?yàn)閍⊥b,所以a·b=0。只需證明|a|2+|b|2-2|a||b|≥0,即(|a|-|b|)2≥0,得證。

考點(diǎn)突破五、數(shù)學(xué)歸納法

考綱要求：了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。

權(quán)威解讀：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),應(yīng)用其他辦法不容易證明,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明。利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題,其基本模式是“歸納—猜想—證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性。

例8 (2017年浙江卷)已知數(shù)列{xn}滿足:x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1),n∈N*。

證明:當(dāng)n∈N*時(shí),

(1)0＜xn+1＜xn;

解析：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明xn＞0。

當(dāng)n=1時(shí),x1=1＞0。

假設(shè)n=k時(shí),xk＞0。

那么n=k+1時(shí),若xk+1≤0,則0＜xk=xk+1+ln(1+xk+1)≤0,矛盾,故xk+1＞0。

因此xn＞0,n∈N*。

因?yàn)閤n=xn+1+ln(1+xn+1),因此0＜xn+1＜xn,n∈N*。

(2)由xn=xn+1+ln(1+xn+1)得:

xnxn+1-4xn+1+2xn=xn2+1-2xn+1+(xn+1+2)·ln(1+xn+1)。

記函數(shù)f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x＞0)。

所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

因此f(x)＞f(0)=0,xn2+1-2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)≥0。

點(diǎn)評(píng):應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立,證明n=k+1時(shí)也成立,證明時(shí)用歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明。

跟蹤訓(xùn)練9:(2018屆萊蕪實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=(1)求a1,a2,a3的值;(2)求{an}的通項(xiàng)公式。

考點(diǎn)突破六、放縮法

考綱要求：了解放縮法的原理,能用放縮法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。

權(quán)威解讀：放縮法是不等式證明中最重要的方法之一,放縮必須有目標(biāo),而且要恰到好處,目標(biāo)往往要從證明的結(jié)論考查。常用的放縮方法有增項(xiàng)、減項(xiàng),可利用分式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、已知不等式,以及函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行放縮等。

例9 (2018屆成都七中月考)函數(shù)f(x)=ex-2ax,g(x)=ax2+1(a∈R)。

(1)設(shè)函數(shù)h(x)=g(x)-f(x),其導(dǎo)函數(shù)為h'(x),若h'(x)在[0,+∞)上具有單調(diào)性,求a的取值范圍;

解析：(1)h(x)=ax2+2ax-ex+1,h'(x)=2ax+2a-ex。

設(shè)u(x)=h'(x)=2ax+2a-ex,u'(x)=2a-ex。

若u'(x)=2a-ex≤0在[0,+∞)上恒成立,即2a≤ex在[0,+∞)上恒成立,則a≤

1;2

若u'(x)=2a-ex≥0在[0,+∞)上恒成立,即2a≥ex在[0,+∞)上恒成立,此時(shí)ex∈[1,+∞),故不存在a使得2a≥ex在[0,+∞)上恒成立。

所以h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,h(x)＜h(0)=0,即ex-x＞

點(diǎn)評(píng):在放縮法證明不等式的過(guò)程中,往往采用添項(xiàng)或減項(xiàng)的方法,放縮時(shí)要注意適度,否則不能同向傳遞。

跟蹤訓(xùn)練10:(2016年四川卷)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn+1=qSn+1,其中q＞0,n∈N*。

(1)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

提示：(1)因?yàn)镾n+1=qSn+1,所以n≥2時(shí),Sn=qSn-1+1。

兩式相減可得an+1=qan,即從第二項(xiàng)開(kāi)始,數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為q。

當(dāng)n=1時(shí),a1+a2=S2=qa1+1。

由于a1=1,a2=a1q=q,又2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列,則2q+q+2=2q2,解得q=2或q=-