行走在復(fù)數(shù)創(chuàng)新的路上

■江蘇省張家港職業(yè)教育中心校 韓文美

數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)新是思維品質(zhì)的最高層次,每年的新課標(biāo)高考,都會出現(xiàn)一些考查創(chuàng)新知識或能力的數(shù)學(xué)問題。復(fù)數(shù)在新課程標(biāo)準(zhǔn)下成為文、理科選修中的共同部分,在知識掌握程度上要求偏低一些,一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)在考題中,由于其自身的諸多特點(diǎn),成為數(shù)學(xué)創(chuàng)新中的一道亮麗的風(fēng)景線。

1.定義創(chuàng)新

此類復(fù)數(shù)創(chuàng)新問題往往設(shè)計(jì)一個(gè)全新的數(shù)學(xué)情境,采用定義新概念的形式出現(xiàn),背景新穎,構(gòu)造巧妙,可以非常有效地考查知識遷移能力。

例1 定義:復(fù)數(shù)b+ai是復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的轉(zhuǎn)置復(fù)數(shù),記為z*=b+ai。給出下列四個(gè)命題:

其中真命題的個(gè)數(shù)為 個(gè)___。

分析：根據(jù)創(chuàng)新定義的轉(zhuǎn)置復(fù)數(shù)的新概念,結(jié)合共軛復(fù)數(shù)定義以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則加以分析,判斷對應(yīng)的命題的真假。

解：由于i·z=i(a-bi)=ai+b=z*,①正確。

由于a2+b2=1,則z·z*=(a+bi)(b+ai)=a2i+b2i=(a2+b2)i=i,④正確。

故真命題的個(gè)數(shù)為3。

點(diǎn)評:此類問題是根據(jù)創(chuàng)新的新定義,在理解轉(zhuǎn)置復(fù)數(shù)z*的意義的基礎(chǔ)上,利用復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算加以應(yīng)用。解決此類定義創(chuàng)新問題,關(guān)鍵是對信息的收集、加工和運(yùn)用,將新定義與已學(xué)過的知識聯(lián)系在一起運(yùn)用。

2.運(yùn)算創(chuàng)新

此類復(fù)數(shù)創(chuàng)新問題往往通過約定一種新運(yùn)算,創(chuàng)設(shè)一種全新的問題情境,要求在新運(yùn)算的基礎(chǔ)上,緊扣條件,抓住關(guān)鍵的運(yùn)算信息,實(shí)際信息的轉(zhuǎn)化與解決,達(dá)到靈活解題的目的。

分析：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義先確定復(fù)數(shù)z1、z2的模,再結(jié)合創(chuàng)新運(yùn)算計(jì)算出z1☉z2的值,進(jìn)而再結(jié)合運(yùn)算結(jié)果與創(chuàng)新運(yùn)算進(jìn)行運(yùn)算求解。

解：根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義,知|z1|=

則有|z1|＜|z2|。根據(jù)題中“☉”的運(yùn)算法則,可得:

z1☉z2=(3+i)-(2+3i)=1-2i。

根據(jù)題中的定義運(yùn)算“☉”的運(yùn)算法則,可得:

點(diǎn)評:此類問題是根據(jù)創(chuàng)新的新運(yùn)算,自主運(yùn)用此運(yùn)算法則解決問題。這類題在各類考試中層出不窮,難度不大,背景新穎,主要考查同學(xué)們自主學(xué)習(xí)新運(yùn)算的能力,以及閱讀理解能力和運(yùn)算求解能力。

3.關(guān)系創(chuàng)新

此類復(fù)數(shù)創(chuàng)新問題往往通過定義一種全新的復(fù)數(shù)關(guān)系,以一個(gè)陌生的問題背景,在新關(guān)系的基礎(chǔ)上利用復(fù)數(shù)的相關(guān)概念或四則運(yùn)算來處理相關(guān)的數(shù)學(xué)問題,知識交匯性強(qiáng),考查同學(xué)們綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。

例3 定義:對于復(fù)數(shù)z1與z2,叫作復(fù)數(shù)的模平均,記作z※z12若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),且滿足a+b=4,則z※z的最小值為_____。

分析：根據(jù)創(chuàng)新關(guān)系得到z※z的關(guān)系式,結(jié)合條件a+b=4,可通過二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來求解相應(yīng)的最值問題。

解：由于z=a+bi(a,b∈R),那么z=a-bi。

而a+b=4,那么把b=4-a代入,可得:

點(diǎn)評:解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解創(chuàng)新定義,利用創(chuàng)新關(guān)系,把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)根式下含有的二次函數(shù)問題,利用配方法來解決二次函數(shù)相應(yīng)的最值問題。

4.方法創(chuàng)新

此類復(fù)數(shù)創(chuàng)新問題往往結(jié)合問題背景,通過其他知識中的一些創(chuàng)新方法來處理復(fù)數(shù)背景下的問題,往往可以類比函數(shù)、不等式、數(shù)列、平面向量等知識中的相關(guān)方法來處理對應(yīng)的復(fù)數(shù)問題,達(dá)到創(chuàng)新應(yīng)用的目的。

例4 計(jì)算:1+2i+3i2+4i3+…+2018i2017=____。

分析：直接利用復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位i的性質(zhì)來求解,比較煩瑣且不好化簡,而結(jié)合復(fù)數(shù)關(guān)系式的性質(zhì),類比等比數(shù)列的“錯(cuò)位相減法”求和方法來處理,可以很好地解決問題。

解：設(shè)S=1+2i+3i2+4i3+…+2018i2017。

則iS=i+2i2+3i3+4i4+…+2018i2018。

兩式對應(yīng)相減,可得:

(1-i)S=1+i+i2+i3+i4+…+i2017-2018i2018

點(diǎn)評:結(jié)合復(fù)數(shù)的關(guān)系式,類比等比數(shù)列的求和方法——錯(cuò)位相減法,利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化,方法創(chuàng)新,技巧性強(qiáng),可以大大簡化計(jì)算過程,提高解題效益。

在強(qiáng)化能力立意的新課標(biāo)高考思維下,不斷提升創(chuàng)新發(fā)展理念,創(chuàng)新試題必然會不斷出現(xiàn)。行走在復(fù)數(shù)創(chuàng)新的路上,必有創(chuàng)新的收獲,這類復(fù)數(shù)創(chuàng)新問題大都是按照復(fù)數(shù)的相關(guān)規(guī)則和要求,結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)知識加以創(chuàng)新,進(jìn)行邏輯推理和計(jì)算,從而達(dá)到解決復(fù)數(shù)創(chuàng)新問題的目的。