數(shù)學(xué)思想方法在二次根式中的運(yùn)用

鐘小艷

（珠海市三灶中學(xué) 廣東珠海 519040）

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形成的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本策略。熟練掌握數(shù)學(xué)思想對(duì)于提高分析與解決問(wèn)題的能力具有重要作用，不僅能使同學(xué)們“學(xué)會(huì)”數(shù)學(xué)，而且更重要的是促使大家“會(huì)學(xué)”數(shù)學(xué)。一堂數(shù)學(xué)課是否真正精彩，很大程度上取決于教師對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘、滲透和生成過(guò)程?！抖胃健芬徽滤婕暗臄?shù)學(xué)思想方法較多，現(xiàn)例述如下：

一、符號(hào)化思想的運(yùn)用

二、交集思想的運(yùn)用

交集思想是指從問(wèn)題所涉及的雙方或多方事物之間探求共同點(diǎn)，使問(wèn)題在某個(gè)確定范圍內(nèi)得以解決的一種數(shù)學(xué)思想。在考查二次根式的雙重非負(fù)性時(shí)，利用交集思想可以巧妙地解決問(wèn)題。

三、特殊與一般化思想的運(yùn)用

特殊化的思想方法是在研究一個(gè)較大集合性質(zhì)時(shí)，先研究某些個(gè)體或某些較小的集合作為過(guò)渡，從中發(fā)現(xiàn)每個(gè)個(gè)體都具有的特性后，再回過(guò)頭來(lái)歸納、猜測(cè)一般集合的性質(zhì)，最后用嚴(yán)格的邏輯推理的方法論證猜測(cè)的正確性。事物的一般性存在于事物的特殊性中，因此可以從特殊性去探索一般性。另一方面，事物的一般性又包含著事物的特殊性，因此從事物的一般性中又可以認(rèn)識(shí)事物的特殊性，這樣的認(rèn)識(shí)和思考問(wèn)題的方法稱為一般化思想方法。特殊化思想方法與一般化思想方法是矛盾的兩個(gè)方面，它們互相對(duì)立又互相統(tǒng)一，同時(shí)它們也是反映與認(rèn)識(shí)事物的兩個(gè)重要方法，這兩種思想方法，有時(shí)可以單獨(dú)使用，有時(shí)又必須結(jié)合起來(lái)使用[1]。在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中都有著非常重要的作用。歸納二次根式的性質(zhì)與乘除法則時(shí)用的是特殊到一般的思想方法，而它們的應(yīng)用則是一般到特殊的思想運(yùn)用。

四、分類討論思想的運(yùn)用

五、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用

“數(shù)以形而直觀，行以數(shù)而入微”，這是我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的精辟論述。數(shù)形結(jié)合思想是指通過(guò)數(shù)形間的對(duì)應(yīng)與互助來(lái)研究問(wèn)題并解決問(wèn)題的思想。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提高學(xué)生的解題能力。下面舉一例說(shuō)明它在二次根式中的運(yùn)用：

于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)C，使它到兩點(diǎn)A(-1,1)和B(2,3)的距離和CA+CB最小，利用軸對(duì)稱性可求出C點(diǎn)坐標(biāo)。這樣，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形而使問(wèn)題易獲解。

六、轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用

轉(zhuǎn)化思想是指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)某種方式與手段將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于求解的問(wèn)題，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題。在此僅舉一例說(shuō)明轉(zhuǎn)化思想在二次根式中的運(yùn)用：

七、方程思想的運(yùn)用

所謂方程思想是指對(duì)所要求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程（組），通過(guò)解方程（組）使問(wèn)題獲解的解題思路和策略[2]。方程思想是解決各類計(jì)算問(wèn)題的基本思想，是運(yùn)算能力的基礎(chǔ)，它的應(yīng)用十分廣泛。

分析：根據(jù)同類二次根式的定義，得方程1+a=4-2a，解得a=1，故選C。

八、整體思想的運(yùn)用

整體思想是指把所考察的對(duì)象作為一個(gè)整體來(lái)對(duì)待，而且這個(gè)整體是各要素按一定的規(guī)律組成的有機(jī)統(tǒng)一體。對(duì)一些有關(guān)二次根式的代數(shù)式求值問(wèn)題，我們不能孤立地看待已知與已知、已知與未知，而應(yīng)從整體的角度去分析已知與已知、已知與未知的關(guān)系，然后采取相應(yīng)措施。如做一些必要的運(yùn)算變形，恒等變形等。

分析：若將 的值直接代入計(jì)算比較麻煩。如果將已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，用整體代入求值較為簡(jiǎn)便。

評(píng)注：二次根式的運(yùn)算比較復(fù)雜，通過(guò)變形兩邊平方化去根號(hào)再代入求值較簡(jiǎn)單。

九、類比思想的運(yùn)用

類比思想是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去的思想。類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識(shí)容易理解，而且使知識(shí)的記憶變得順?biāo)浦邸⒆匀缓秃?jiǎn)潔。如二次根式的運(yùn)算中，類比整式的運(yùn)算、冪的運(yùn)算來(lái)學(xué)習(xí)。下面僅舉一例：

分析：二次根式加減時(shí)，先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。

評(píng)注：合并時(shí)，可以類比整式加減運(yùn)算中合并同類項(xiàng)。

十、換元思想的運(yùn)用

換元思想是指引進(jìn)新的變量代換原題中的一些量，將數(shù)學(xué)問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，從而達(dá)到化未知為已知而達(dá)到所求目標(biāo)的一種思維傾向。掌握并運(yùn)用換元思想，有利于培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)新性。解復(fù)雜的根號(hào)里含有未知數(shù)的方程常用換元思想。

分析：引導(dǎo)學(xué)生觀察，此方程是根號(hào)里含有未知數(shù)的方程，需想辦法化去根號(hào)，可以先變形，再兩邊平方化為整式方程求解，也可引入換元思想化去根號(hào)。

十一、對(duì)稱思想的運(yùn)用

對(duì)稱思想是指保持一數(shù)學(xué)事物結(jié)構(gòu)不變的一種變換。有圖形的對(duì)稱、式子的對(duì)稱和解題方法的對(duì)稱等，在實(shí)踐和理論上都有重要意義。運(yùn)用對(duì)稱思想方法，可以讓學(xué)生感受對(duì)稱美，增強(qiáng)求知欲，更主要的是能簡(jiǎn)捷地解決某些問(wèn)題，從而提高學(xué)生的直覺(jué)思維能力和形象思維能力，開(kāi)拓解題新思路。由于二次根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用對(duì)稱思想能簡(jiǎn)捷地解決二次根式的代數(shù)式求值問(wèn)題。

評(píng)注：此題還蘊(yùn)含了化整為零、積零為整思想，先求各個(gè)部分，再解決整個(gè)問(wèn)題。

綜合上述，數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決問(wèn)題的金鑰匙。只有理解掌握、并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，才能對(duì)今后的學(xué)習(xí)、生活和工作，長(zhǎng)期起作用，終身受益。