幾何問題中直線參數(shù)方程的應(yīng)用解析

陳立勇

（四川省綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 四川綿陽 621000）

直線參數(shù)方程是解析幾何中的有效工具，解題方法是解析幾何中常用的通性通法，因而得到了廣泛的運(yùn)用，可以對(duì)幾何中的各種難點(diǎn)問題進(jìn)行更好的解決，比如，存在性問題、最值、位置關(guān)系、軌跡方程、位置關(guān)系等。和一般式方程比較，使用直線的斜截式、點(diǎn)斜式方程更加簡(jiǎn)便，無需討論斜率是不是存在，還可以對(duì)計(jì)算過程進(jìn)行簡(jiǎn)化，提升學(xué)生解題的效率和準(zhǔn)確率。

一、知識(shí)解析

基于點(diǎn)斜式推導(dǎo)出直線的參數(shù)方程，即y-y0=k（x-x0）。（x0，y0）是直線經(jīng)過的定點(diǎn)，k=tanα，α是直線的傾斜角，α∈[0，π）。直線方程是y=y0+tsina；x=x0+tcosα。無論α是鈍角、銳角，直線上已知點(diǎn)（x0，y0）處t=0，直線所有點(diǎn)都存在唯一對(duì)應(yīng)的t，沿著直線向上運(yùn)動(dòng)，參數(shù)t會(huì)不斷變大。這時(shí)的直線就好像是一條數(shù)軸，已知點(diǎn)（x0，y0）是數(shù)軸的原點(diǎn)，沿著直線向上是其正方向，數(shù)軸上所有點(diǎn)的刻度是該點(diǎn)處的參數(shù)t。數(shù)軸上任意兩點(diǎn)A，B的距離符合| AB|= |t1-t2|。在碰到直線上求弦長(zhǎng)時(shí)就可以運(yùn)用該知識(shí)點(diǎn)。

二、幾何問題中直線參數(shù)方程的應(yīng)用

在空間解析幾何中，直線是貫穿整個(gè)過程中，不僅能運(yùn)用直線的參數(shù)方程對(duì)各種分相交和垂直問題、二次曲面相切、相交進(jìn)行研究，還可以重新證明課本中提到的一些數(shù)學(xué)結(jié)論，比如，幾種距離公式，點(diǎn)到直線、兩異直線距離和點(diǎn)到平面的距離[1]。

（一）在相交方面的運(yùn)用

可以看到，兩種解法中，運(yùn)用直線的參數(shù)方程解題要更具優(yōu)勢(shì)，可以對(duì)解題步驟進(jìn)行簡(jiǎn)化，解題思路也更明確。教師在教學(xué)中要讓學(xué)生掌握直線的參數(shù)方程的運(yùn)用方法，通過正確的引導(dǎo)，讓學(xué)生樹立用直線參數(shù)方程解題的意識(shí)。碰到如上面這種類型的題目時(shí)，學(xué)生就要把握住關(guān)鍵詞“相交”，之后運(yùn)用參數(shù)方程寫出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合題目中給出的信息逐步求解，提升學(xué)生的解題效率。

（二）在距離方面的運(yùn)用

課本中包括幾種距離公式，分別是點(diǎn)到平面、兩異面直線間和點(diǎn)到直線間。其實(shí)課本上給出的這幾種距離定義都屬于最短距離，就分析層面來說，最短距離就是得到的距離函數(shù)的最小值，所以，運(yùn)用直線與平面的參數(shù)方程可以重新求出幾種距離公式[2]。雖然課本中給出了距離公式，教師在教學(xué)中也可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)公式進(jìn)行重新推導(dǎo)，幫助學(xué)生更好的理解教材中距離的定義，也就是最短距離。還能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)分析中求解極值的方法，在碰到求垂直的問題時(shí)，就可以運(yùn)用這種方法。

（三）在相切中的運(yùn)用

從二次曲面S外一點(diǎn)向曲面引切線，那么這些切線生成的曲線就是切錐面。特別地，若是曲面S為球面，那么切錐面就是圓錐面。比如，教師在教學(xué)中給學(xué)生展示題目“給定橢圓拋物面S，方程是z=3x2+4y2+1，求以原點(diǎn)O為頂點(diǎn)的切錐面的方程”。解這道題時(shí)，應(yīng)該先設(shè)M（x，y，z）為切錐面上任意一點(diǎn)（不是原點(diǎn)），直線OM上存在唯一的切點(diǎn)N，那么就有唯一的實(shí)數(shù)t，N的坐標(biāo)是（tx，ty，tz），因?yàn)榍悬c(diǎn)M在橢圓拋物面上，因此，坐標(biāo)符合橢圓拋物面方程，得出tz=3（tx）2+4（ty）2+1，整理可以得到（3x2+4y2）t2-tz+1=0，結(jié)合有關(guān)條件可以得出Δ=z2-4（3x2+4y2）=0，進(jìn)而得出切錐面的方程，即z2=4（3x2+4y2）。教師在教學(xué)中，若是碰到相切問題，就要引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直線的參數(shù)方程，將切點(diǎn)問題進(jìn)行改變，變成關(guān)于參數(shù)t的一線二次方程的相等實(shí)根問題，幫助學(xué)生更好的解題。

三、結(jié)束語

綜上所述，直線的參數(shù)方程在幾何問題中得到了廣泛的運(yùn)用，比如，解析幾何中的證明型問題、求幾何最值問題和解析幾何定值型問題等。雖然一般方法也能夠解答幾何問題，然而在很多題目中運(yùn)用都比較復(fù)雜，學(xué)生的運(yùn)算過程較多，且容易出錯(cuò)。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生使用直線的參數(shù)方程，將復(fù)雜的方程進(jìn)行簡(jiǎn)化，進(jìn)而讓學(xué)生更快更好的解決幾何問題，提升學(xué)生解題的效率和準(zhǔn)確性，提升數(shù)學(xué)幾何問題的教學(xué)效果。