基于優(yōu)化變間距法的變截面渦旋型線的節(jié)點(diǎn)計(jì)算

劉 濤，張 強(qiáng)

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

渦旋壓縮機(jī)作為一種新型流體機(jī)械，具有高效、節(jié)能等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于制冷以及各種需要進(jìn)行氣體壓縮的行業(yè)[1]。動(dòng)靜渦旋盤作為渦旋壓縮機(jī)的關(guān)鍵部件，對(duì)機(jī)器的性能有著顯著的影響。因此渦旋盤的型線設(shè)計(jì)和加工顯得尤為重要[2]。

對(duì)渦旋盤型線的設(shè)計(jì)目前已有較為豐富的理論成果，王立存等提出了新型變壁厚渦旋型線設(shè)計(jì)理論，劉濤等[3]提出了基于一次曲率半徑函數(shù)的始端重構(gòu)型線的組合渦旋型線。對(duì)于渦旋盤加工的研究尚少，王霞琴[4]提出了以雙圓弧插補(bǔ)的方法逼近渦旋型線的加工方法。目前一般的數(shù)控加工系統(tǒng)中只有直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)，因此組合型線渦旋盤的加工只能采取數(shù)值逼近的方法。

本文針對(duì)以組合型線為基線的渦旋型線采用優(yōu)化的變間距直線逼近方法來(lái)擬合加工點(diǎn)，與傳統(tǒng)的等間距法逼近該渦旋型線相比[5]，優(yōu)化的變間距法能有效地減少節(jié)點(diǎn)數(shù)目，并且保證擬合誤差在控制范圍之內(nèi)，編程效率與加工效率得到了有效的提高，滿足實(shí)際生產(chǎn)的需要。

1 組合型線方程的分析

渦旋盤組合型線的母線由基圓漸開線、高次曲線與圓弧組成。

1)第一段：基圓漸開線部分。

式中：φ為漸開線角度。

2)第二段：高次曲線部分。

式中：Rg2為展弦，Rg2=-11.821+4.213 2(φ-0.5π)-0.260 4(φ-0.5π)2；Rs2為基圓半徑，Rs2=32.146 4-11.82 1(φ-0.5π)+2.106 6(φ-0.5π)2-0.086 8(φ-0.5π)3。

3)第三段：圓弧部分。

母線型線方程建立后，依據(jù)法向等距法[6]即可生成渦旋壓縮機(jī)的型線。母線方程如圖1所示。

圖1 母線方程

2 算法的優(yōu)化

2.1 傳統(tǒng)等間距法

在已知曲線函數(shù)方程y=f(x)的前提下，建立原等間距法擬合的數(shù)學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 數(shù)學(xué)模型

已知函數(shù)起點(diǎn)A的坐標(biāo)為(xA，yA)，可通過計(jì)算得到A點(diǎn)的曲率半徑RA：

(1)

為取得下一節(jié)點(diǎn)B的坐標(biāo)(xB,yB)，取一定值Δx，使得xB=xA+Δx，再根據(jù)函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=f(x)，即可確定B點(diǎn)的坐標(biāo)值。計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的直線距離lAB：

(2)

下一步求解lAB與目標(biāo)曲線之間的實(shí)際誤差δ1。由于間距Δx的值很小，可將A、B間的目標(biāo)曲線近似為一段以RA為半徑的圓弧。MN為lAB的垂直平分線，因此可用線段MN的長(zhǎng)度δ2代替實(shí)際誤差δ1，且δ2>δ1。由圖中三角形AMO為直角三角形可知：

(3)

由式(3)推導(dǎo)得：

(4)

設(shè)定允許誤差δ允，若δ允≥δ2≥δ1，說(shuō)明用A、B節(jié)點(diǎn)間的直線擬合目標(biāo)曲線所產(chǎn)生的誤差δ2在允許的誤差范圍之內(nèi)，則B點(diǎn)為可靠節(jié)點(diǎn)。下一步以B點(diǎn)坐標(biāo)為基礎(chǔ)，采取同樣的步驟獲取下一點(diǎn)的坐標(biāo)值，并計(jì)算誤差是否在規(guī)定的誤差范圍內(nèi)，直至結(jié)束。若誤差過大，即δ2≥δ允，則減小間距Δx的值，以保證計(jì)算誤差δ2滿足要求。

2.2 優(yōu)化的變間距法

用計(jì)算誤差δ2i與允許誤差δ允作商構(gòu)造誤差比率函數(shù)fi：

(5)

其中下標(biāo)i代表相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的序號(hào)，如f1代表以起點(diǎn)開始計(jì)算第一點(diǎn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)所產(chǎn)生的比率，δ21也就相應(yīng)地代表計(jì)算第一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)所產(chǎn)生的誤差。

選取適當(dāng)?shù)淖畹驼`差比率值，設(shè)為f0。為了保證合格節(jié)點(diǎn)的計(jì)算誤差與允許誤差相差不至過大，通常將f0取為靠近1的數(shù)，一般取f0=0.9。以下根據(jù)比率函數(shù)fi與f0的大小，分情況進(jìn)行討論。

當(dāng)f0≤fi≤1時(shí)，說(shuō)明所用間距Δx符合要求，誤差δ2i在合理范圍之內(nèi)，計(jì)算所得的節(jié)點(diǎn)(xi,yi)是可靠的。

當(dāng)fi

Δx變=Δx·ε

(6)

式中：ε為伸長(zhǎng)系數(shù)，通常為大于1的數(shù)，一般在1.2～1.5之間。重新計(jì)算誤差δ2i和比率函數(shù)fi，直至滿足f0≤fi≤1。

當(dāng)fi>1時(shí)，說(shuō)明此時(shí)計(jì)算誤差δ2i超過了允許的范圍，適當(dāng)減小間距Δx的值，令：

Δx變=Δx·λ

(7)

式中：λ為縮短系數(shù)，通常為小于1的數(shù)，一般在0.6～0.9之間。重新計(jì)算誤差δ2i和比率函數(shù)fi，直至滿足f0≤fi≤1。

確定新的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(xi+1,yi+1)之后，以該點(diǎn)為起點(diǎn)，并將上一間距Δx作為計(jì)算下一節(jié)點(diǎn)的間距，使每一節(jié)點(diǎn)都滿足比率函數(shù)fi的要求。不斷地重復(fù)以上計(jì)算過程，直至將目標(biāo)曲線擬合完，得到所求節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值為止。

3 優(yōu)化的變間距法擬合渦旋型線

3.1 利用MATLAB軟件輔助計(jì)算

渦旋型線方程是角度的參數(shù)函數(shù)，在已知起點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，首先要做的是用MATLAB軟件[6]計(jì)算起點(diǎn)坐標(biāo)下對(duì)應(yīng)的角度，獲取角度后，運(yùn)用MATLAB的求導(dǎo)函數(shù)diff按式(1)計(jì)算曲率半徑。設(shè)初始間距Δx=0.02，計(jì)算下一節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)；按照式(2)計(jì)算步長(zhǎng)l。

取δ允=0.001，縮短系數(shù)λ=0.618，伸長(zhǎng)系數(shù)ε=1.5。在MATLAB的編譯環(huán)境[7]下，采用優(yōu)化的變間距法，按照?qǐng)D3所示的流程進(jìn)行編程。

在所有離散點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出來(lái)后，將節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)導(dǎo)入Excel中，節(jié)點(diǎn)散點(diǎn)圖如圖4所示。

3.2 新舊方法的比較

傳統(tǒng)的等間距法中并沒有本文提出的比率函數(shù)的計(jì)算過程，而是在整個(gè)計(jì)算過程中基于同一個(gè)間距計(jì)算節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，因此會(huì)造成節(jié)點(diǎn)的數(shù)目過多。

設(shè)定同一允許誤差δ允=0.001，用等間距法和優(yōu)化的變間距法分別逼近該渦旋型線。如圖4所示，由于節(jié)點(diǎn)比較密集，整體不好比較，故采用該渦旋型線內(nèi)圈圓漸開線的初始部分進(jìn)行比較。為方便比較統(tǒng)一精確到小數(shù)點(diǎn)后三位，其初始點(diǎn)坐標(biāo)為 (3.077,6.625)，截取段終點(diǎn)坐標(biāo)為 (4.477,6.790),切向角范圍為(0.75π,1.05π)，兩種方法的初始間距同設(shè)為Δx=0.02,其對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和間距見表1和表2。

圖3 流程圖

圖4 節(jié)點(diǎn)散點(diǎn)圖

采用優(yōu)化的變間距法擬合所產(chǎn)生的間距是大于等間距法的。針對(duì)這一小段曲線，采用等間距法進(jìn)行擬合需要30個(gè)節(jié)點(diǎn)，而采用優(yōu)化的變間距法只需要20個(gè)節(jié)點(diǎn)即可。其節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)比圖如圖5和圖6所示。

表1 優(yōu)化的變間距法的節(jié)點(diǎn)和間距

表2 等間距節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)

由于渦旋型線的曲率半徑在逐漸增大，采用優(yōu)化的變間距法所得擬合點(diǎn)之間的間距也會(huì)隨之增大[8]。用等間距法擬合整段渦旋型線會(huì)產(chǎn)生21 467個(gè)節(jié)點(diǎn)，而采用優(yōu)化的等間距法會(huì)產(chǎn)生14 354個(gè)節(jié)點(diǎn)，減少近1/3。

圖5 等間距法節(jié)點(diǎn)

圖6 變間距法間距節(jié)點(diǎn)

4 結(jié)束語(yǔ)

采用變間距法擬合渦旋型線，不但計(jì)算數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單，而且在擬合的過程中能使節(jié)點(diǎn)的數(shù)目盡可能地減少，節(jié)點(diǎn)數(shù)目的減少會(huì)使得加工工序減少，從而提高數(shù)控機(jī)床的加工效率?？梢?，變間距法是一種比較好的擬合方法，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

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