基于成本評價和應力分析的飛輪轉子優(yōu)化設計

楊立平,任正義

(哈爾濱工程大學儲能技術與應用研究所，黑龍江 哈爾濱 150001)

隨著能源供給問題日益突出，飛輪儲能作為新型環(huán)保儲能技術逐步得到廣泛的應用。作為儲能系統(tǒng)的核心部件，飛輪轉子的成本直接影響到飛輪儲能系統(tǒng)的市場競爭力和經(jīng)濟效益。文獻[1]提出通過復合材料價格歸一化來評價飛輪轉子成本；文獻[2]將某復合材料的單位質量價格設為1，其他材料價格與之對比來計算飛輪轉子成本；文獻[3]在考慮轉子尺寸和開孔等結構特性因素的前提下計算轉子成本。然而上述文獻均未考慮制造工藝對飛輪轉子成本的影響。

由于大部分動能存儲在飛輪轉子內部，而質量又會影響其升、降速慣性，文獻[4]和文獻[5]以儲能密度(EPM)為目標進行飛輪轉子的優(yōu)化設計，然而他們均未考慮飛輪轉子體積對安裝運輸便利性的影響。飛輪轉子成本是制約飛輪儲能系統(tǒng)廣泛應用的重要因素，因此設計時還需考慮飛輪轉子單位體積儲能量(EPV)和單位成本儲能量(EPC)。另外，高速飛輪的安全性也非常重要。文獻[6]推導了應力和飛輪參數(shù)之間的關系方程式，文獻[4]用方程作為約束計算了飛輪轉子最大角速度。文獻[7]在最大角速度固定的情況下，計算出飛輪轉子的最佳半徑。上述文獻為提高飛輪轉子安全性做出了重要貢獻，但均未推導出最大角速度和最大外半徑之間的關系式。

本文主要通過探討飛輪轉子成本評價方法，來研究基于最大轉速與最大外徑約束的復合材料飛輪轉子多目標優(yōu)化設計方法。

1 基于模糊綜合評判的飛輪轉子成本評價

模糊綜合評判方法可較好地解決模糊的、難以量化的各類問題[8]，適合飛輪轉子成本評價這種非確定性問題的求解。本文給出如下基于模糊綜合評判的飛輪轉子成本評價方法。

1)將飛輪轉子按材料和結構特性自內向外分成m個組成部分，形成U={u1,u2,…,um}，其中ui(i=1,2,…,m)為第i個組成部分。

2)根據(jù)制造過程分析，定義飛輪轉子成本的基本因素集為：φ={f1,f2,f3}={工藝特性，結構特性，材料價格}。其中，工藝特性指的是材料是否容易成形或易于被加工；結構特性是指轉子的結構形狀和精度要求等是否容易實現(xiàn)。

3)因素集中,各個因素本身有大、小和好壞之分，而這種區(qū)分都帶有模糊性。因此，各因素按其性質和程度再分為p個等級，根據(jù)各因素等級對成本的影響，形成評語集υ={e1,e2,…,ep}。設飛輪轉子成本因素的等級數(shù)p=4，具體見表1。

表1 轉子成本因素的等級劃分

4)定義第i個組成部分ui(i=1,2,…,m)的因素集φ對評語集υ的隸屬度為：

(1)

式中：Ri的元素rjk(xij)為第i個組成部分ui的第j個因素對第k個等級的模糊等級函數(shù), 其中xij為專家對第i個組成部分ui(i=1,2,…,m)的第j個因素的評分值。由于因素集φ的3個因素均為定性指標，令第I模糊等級到第Ⅳ模糊等級的評分范圍分別為0～30，30～60，60～80，80～100。采用如圖1所示的梯形函數(shù)表示各模糊等級函數(shù)rjk(xij)，則rjk(xij)的表達式為：

(2)

(3)

(4)

(5)

5)根據(jù)因素的重要程度，設定各因素的權重

圖1 模糊隸屬度函數(shù)

系數(shù)，形成權重集：

W=(w1,w2,w3)

(6)

6)根據(jù)權重集和因素集到評語集的模糊關系，第i個組成部分的評判矩陣為：

Ai=W·Ri=[ai1ai2ai3ai4]

(7)

7)根據(jù)矩陣Ai和評語集υ的取值，第i個組成部分ui(i=1,2,…,m)的成本系數(shù)為：

Cdi=Ai·υT

(8)

8)根據(jù)飛輪各組成部分成本系數(shù)及質量分布，計算飛輪轉子的當量成本。

(9)

式中：ρi為第i個組成部分的密度；di和hi是第i個組成部分的外徑和高度；Vi(di,hi)為第i個組成部分的體積，是關于di和hi的函數(shù)。

2 儲能飛輪轉子多目標優(yōu)化

2.1 優(yōu)化目標函數(shù)

EPM、EPC、EPV都是表征飛輪儲能系統(tǒng)性能的重要指標，因此將EPM(X)，EPC(X)，EPV(X)作為3個優(yōu)化目標，其中X=[di,hi,ω]，i=1,2,…,m，ω是飛輪轉子的最大工作角速度。根據(jù)飛輪轉子工作原理，各優(yōu)化目標可表示為：

(10)

(11)

(12)

式中：J為飛輪轉子的轉動慣量。

為了解決多個目標量綱不統(tǒng)一的問題，設計目標函數(shù)取值均應在0到1之間。同時，為提高較大目標值和降低較小目標值的選取概率，需要設計一種目標函數(shù)，使目標值非常小時，目標函數(shù)的取值盡量接近于0，目標值較大時，目標函數(shù)的取值則盡量接近于1。因此，基于正弦函數(shù)定義函數(shù)gk(X),k=1,2,3，以EPM(X)為例，函數(shù)g1(X)如圖2所示，其表達式為：

(13)

式中：EPMmin和EPMmax分別為EPM(X)的最小值和最大值。為增強目標函數(shù)取值對尋優(yōu)過程的影響程度，定義滿意優(yōu)化目標函數(shù)為：

fk(X)=[gk(X)]2

(14)

圖2 函數(shù)g1(x)

2.2 復合材料飛輪轉子應力分析

根據(jù)文獻[6]可得轉子周向應力σθ和徑向應力σr與各參數(shù)的關系如下：

(15)

(16)

設α=Ri/Ro,x=r/Ro，并定義

則式(15)、式(16)可簡化為：

(17)

(18)

由于ve=ωRo，因此當下面不等式成立時，轉子材料所受應力在安全范圍內。

(19)

(20)

其中：

σθin=ρ(c1λxλ-1+c2λx-λ-1-c3x2)

σrin=ρ(c1xλ-1+c2x-λ-1-c4x2)

2.3 基于應力分析的飛輪滿意優(yōu)化模型

對于固定的α，在考慮材料應力約束極限的情況下，復合材料飛輪轉子滿意優(yōu)化數(shù)學模型為：

Xmin≤X≤Xmax

s.t.ωRo≤

Ri/Ro=α

(21)

3 飛輪優(yōu)化仿真分析

針對圖3所示的飛輪轉子結構，根據(jù)材料屬性將飛輪轉子自內向外分為4個組成部分：軸、輪緣1、輪緣2、外輪緣，即U={u1,u2,u3,u4}，它們的材料依次為碳鋼、鋁合金、鋁合金、碳纖維。則飛輪轉子的外輪緣內半徑和外半徑分別為：Ri=d3/2，Ro=d4/2。優(yōu)化變量包括d1,d2,d3,d4(m)和最大角速度ω(rad/s)。根據(jù)設計要求，令α=0.5，則自變量X=(ω,d1,d2,d4)。令：Xmin=(200,0.06,0.2,0.7)，Xmax=(1 000,0.1,0.3,0.9)，h1=0.5m，h2=0.1m，h3=h4=0.3m。分別取鋼、鋁合金、碳纖維的密度為7 800kg/m3、2 700kg/m3和1 780kg/m3。

3.1 成本評價方法對比

首先進行成本的模糊綜合評判，專家按滿分10分對各因素等級對成本的影響打分：υ=(1,3,6,9)。對于工藝特性，軸為碳鋼，輪緣1、輪緣2為鋁合金材料，其制造工藝與碳纖維差別很大。相比之下，輪緣1、輪緣2與軸的制造工藝類似，都屬于金屬材料的加工制造。碳纖維飛輪纏繞技術要求較高，技術成熟度不如金屬制造工藝，因此給碳纖維輪緣以比較高的評分；與碳鋼相比，鋁合金硬度較低，加工難度要小于碳鋼。因此4個部分對第一個因素(工藝特性)的評分值為：x11=30，x21=20，x31=20，x41=80。

圖3 一種飛輪轉子結構

對于結構特性，軸的結構不僅要求高的尺寸精度和表面質量，而且還要求較高的耐沖擊性。輪緣1、輪緣2的結構特性主要體現(xiàn)為形狀復雜、內孔或外圓面要有較高的尺寸精度和表面質量。與軸相比，輪緣1和輪緣2的結構特性要簡單一些。輪緣2外圓比輪緣1內孔的尺寸精度和表面質量要求低。輪緣2的外輪緣由于是碳纖維纏繞而成，其形狀規(guī)則，不要求高的尺寸精度。因此，輪緣2的結構特性最簡單?；谏鲜龇治?，確定4個部分結構特性的評分值為：x12=90，x22=50，x32=40，x42=10。

根據(jù)目前市場上碳鋼、鋁合金、碳纖維價格(分別為10元/kg、25元/kg、300元/kg)，給出材料價格的評分值為：x13=5，x23=12，x33=12，x43=100。

根據(jù)上述評分，可算得：

根據(jù)3個因素的重要程度，定義W=(0.3，0.2，0.5)。由式(7)得：

A1=[0.50 030 0 0.20]，

A2=[0.60 0.30 0.10 0]，

A3=[0.60 0.40 0 0]，

A4=[0.20 0 0.15 0.65]。

飛輪各個組成部分成本系數(shù)為：Cd1=11.30，Cd2=2.10，Cd3=1.80，Cd4=6.95。

根據(jù)飛輪各組成部分成本系數(shù)及質量分布，計算飛輪的當量成本(定義其單位為Dol)，即：

Dr=(88.1V1+5.7V2+4.9V3+12.4V4)×103Dol

參照文獻[6]給出的成本評價方法，取材料單位質量價格相對碳纖維材料價格的比作為成本系數(shù)進行當量成本計算，得：

Cd1=0.038，Cd2=Cd3=0.083，Cd4=1.000

此時的當量成本為：

Dr0=(29.64V1+22.41V2+22.41V3+1 780.00V4)×103Dol

與V1，V2，V3相比，V4較大，因此如果按后者計算當量成本，只要考慮碳纖維輪緣的成本，其余部分可忽略不計，很明顯，這與實際成本的組成特點并不符合。

3.2 優(yōu)化方法對比分析

根據(jù)成本模糊綜合評判結果，進行飛輪轉子多目標優(yōu)化設計仿真。根據(jù)式(10)、(11)、(12)可得出：

碳纖維材料的縱向許用應力和橫向許用應力分別為[σθ]=3 500MPa、[σr]=56MPa[7]，可得：

不同權重系數(shù)下，有、無應力約束優(yōu)化結果對比結果見表2。從表2可知，當權重系數(shù)γ1=0.5，γ2=0.4時，有、無約束情況下ω·d4的值均小于應力約束極限749.5 rad·m/s，當γ1=0.8，γ2=0.1和γ1=0.6，γ2=0.3時，有約束情況下ω·d4的值均小于碳纖維材料的應力約束極限749.5rad·m/s，但無約束情況下ω·d4的值分別比應力約束極限高出12.0%和5.3%，說明當EPM的權重系數(shù)大于0.5時，無約束優(yōu)化無法保證飛輪轉子材料應力在約束范圍內，這必然對飛輪轉子安全可靠性帶來巨大威脅。

表2 有、無應力約束條件下優(yōu)化結果對比

為對比本文提出的優(yōu)化方法與傳統(tǒng)WS法的異同，取3個目標值歸一化的值為優(yōu)化函數(shù)，例如，對于EPMmin≤EPM(X)≤EPMmax，優(yōu)化函數(shù)為：

有應力約束情況下，相同權重系數(shù)時，對滿意優(yōu)化法與WS法的優(yōu)化結果進行對比。γ1大于0.6時，兩種方法所得優(yōu)化結果相同；γ1小于0.6時，優(yōu)化結果對比情況見表3。從表3可知，γ1=0.5，γ2=0.4時，滿意優(yōu)化法的EPM值、EPC值、EPV值分別比WS法高出12%、13%、12%；γ1=0.5，γ2=0.1時，滿意優(yōu)化法的EPM值、EPC值、EPV值分別比WS法高出17%、25%、10%；γ1=0.3，γ2=0.2時，滿意優(yōu)化法的EPM值、EPC值、EPV值分別比WS法低8%、9%、7%。由此可見，當γ1大于0.6時，兩種方法優(yōu)化能力相同；當γ1在0.5左右時，滿意優(yōu)化的優(yōu)化能力要高于WS法；當γ1更小時，滿意優(yōu)化的優(yōu)化能力則要低于WS法。總而言之，滿意優(yōu)化提高了較大目標值的選取概率，同時也降低了較小目標值的選取概率。

表3 不同目標函數(shù)對比

4 結束語

本文提出的基于模糊綜合評判的飛輪轉子成本評價方法和飛輪轉子的滿意優(yōu)化設計方法，從理論上豐富了優(yōu)化設計方法，提高了飛輪轉子優(yōu)化設計的實用性。下一步將更深入地進行材料成本和零件工藝發(fā)展的各項影響因素分析，以提高轉子成本評價的準確性，并結合數(shù)值分析方法進行不同結構的復合材料飛輪轉子優(yōu)化設計研究。

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