以問(wèn)題為導(dǎo)向，增強(qiáng)學(xué)生總結(jié)概括能力
——例談求解幾種三角函數(shù)最值題型的策略

崔允亮 毋曉迪

(1.河南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 開(kāi)封 475000； 2.廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西 南寧 530000)

一、前言

在高考中，在函數(shù)的最值方面歷來(lái)是命題者所青睞的，特別的以三角函數(shù)為橋梁的最值問(wèn)題儼然成為高考中的熱點(diǎn)導(dǎo)向。三角函數(shù)作為基本初等函數(shù)的范疇，它的最值問(wèn)題恰是其性質(zhì)和恒等變換的綜合應(yīng)用，也是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。而三角函數(shù)的最值問(wèn)題往往會(huì)和其它知識(shí)進(jìn)行交匯來(lái)命題，例如不等式、方程以及與幾何有關(guān)的計(jì)算等等。如果學(xué)生能掌握并歸納出求三角函數(shù)的最值題型后，常見(jiàn)的三角函數(shù)最值問(wèn)題都可以迎刃而解。

二、常見(jiàn)的幾種三角函數(shù)最值題型以及策略

(一) y=asin x+b(或 y=acos x+b)型的函數(shù)

此類函數(shù)利用sinx≤1(或cosx≤1)即可求解，顯然ymax=a+b,ymin=-a+b

例.在直角三角形中，兩銳角為A和B，求sinAsinB的最大值.

(二)y=a sin θ+b cos θ型的函數(shù)

(三)y=a sin2x+b sin x cos x+cos2x型的函數(shù)

此類函數(shù)可先降次，再整理轉(zhuǎn)化y=Asin(ωx+φ)+B形式解決.

例.求y= sin2x+2 sinxcosx+3cos2x的最小值，并求出此時(shí)的x的集合.

大部分含有上述三角函數(shù)的分式型都可以通過(guò)化簡(jiǎn)，然后利用三角函數(shù)的有界性來(lái)求解來(lái)處理等。

(五)含有“a sin x cos x,sin x±cos x”的三角函數(shù)的最值問(wèn)題

例.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值.

三、總結(jié)

綜上可得，相信通過(guò)這一歸納總結(jié)整理后，使學(xué)生和老師明白解決這類問(wèn)題不僅涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、圖像、三角函數(shù)的恒等變換以及輔助角公式等，還會(huì)涉及到函數(shù)、不等式、方程以及幾何計(jì)算等相關(guān)知識(shí)，是具有一定的綜合性和靈活性。因此我們掌握這幾種類型后，在解題中通過(guò)觀察表達(dá)式的特點(diǎn)，選準(zhǔn)解題策略，就會(huì)收到事半功倍的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]代昆鵬.三角函數(shù)最值問(wèn)題的討論[J].數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，2010(35).

[2]彭長(zhǎng)軍.三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)類型及其解法[J].高中數(shù)理化，2001(3).