基于輸入成形的太陽(yáng)能帆板自適應(yīng)滑?？刂?/h1>
2018-05-04 00:56:00周通郭宏徐金全
北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào) 2018年4期
周通， 郭宏， 徐金全
(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院, 北京 100083)
作為在軌空間站的重要組件，太陽(yáng)能帆板擔(dān)負(fù)著為整個(gè)空間站供電的任務(wù)。為提高太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化效率，太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(SADS)的角位置控制吸引了很多學(xué)者的深入研究。然而，太陽(yáng)能帆板是柔性體，其動(dòng)態(tài)特性包含了大量與剛體運(yùn)動(dòng)相耦合的弱阻尼柔性模態(tài)。該特性極易在系統(tǒng)的對(duì)日定向過(guò)程中引起太陽(yáng)能帆板的柔性振動(dòng)，進(jìn)而影響空間站的運(yùn)動(dòng)與控制。因此,尋求一種角位置控制和振動(dòng)抑制方法對(duì)于太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)顯得尤為重要。
針對(duì)太陽(yáng)能帆板的振動(dòng)抑制問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究。采用智能材料進(jìn)行主動(dòng)控制是一種有效抑制振動(dòng)的方法。在基于智能材料的控制方法方面，提出了剛度控制[1]以及正位置反饋控制[2-3]。然而，這類方法需要在原結(jié)構(gòu)上附加一系列的傳感器和作動(dòng)器，增加了系統(tǒng)的質(zhì)量，同時(shí)降低了可靠性，因此該主動(dòng)控制方法在空間系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中受到一定限制[4]。另一種抑制振動(dòng)的方法是輸入成形，該方法將期望指令與脈沖序列在時(shí)域中進(jìn)行卷積，所形成的新指令作為系統(tǒng)輸入來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)以消除柔性模態(tài)的振動(dòng)[5]。文獻(xiàn)[6]將輸入成形器(IS)應(yīng)用于太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)抑制中，提升了系統(tǒng)的工作性能。然而，輸入成形器的設(shè)計(jì)依賴于太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，由于系統(tǒng)存在不確定性，該數(shù)學(xué)模型難以準(zhǔn)確建立[7]。不僅如此，輸入成形器是基于線性系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)的，無(wú)法直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)[8-9]。
太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的角位置控制同樣被廣泛研究。文獻(xiàn)[10]針對(duì)太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提出一種H∞魯棒控制。文獻(xiàn)[11-12]和文獻(xiàn)[13-14]針對(duì)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制和滑?？刂?，文獻(xiàn)[15]基于耗散理論提出一種主動(dòng)穩(wěn)定器。以上控制方法都能在完成指定的角位置階躍響應(yīng)的同時(shí)抑制柔性振動(dòng)，并且縮短了過(guò)渡過(guò)程時(shí)間，提高了系統(tǒng)性能對(duì)參數(shù)攝動(dòng)與外部干擾的魯棒性。然而，由于缺少對(duì)指令軌跡的設(shè)計(jì)，使得系統(tǒng)在瞬態(tài)過(guò)程中存在較大的柔性振動(dòng)。文獻(xiàn)[16-18]針對(duì)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分別提出了帶自適應(yīng)律和不帶自適應(yīng)律的滑模控制，并且采用基于參考模型的輸入成形器設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的指令軌跡。該方法通過(guò)滑?？刂屏钐?yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)得像參考模型。這種方法的參考模型屬于多維度系統(tǒng)，為獲得輸入成形器預(yù)期的振動(dòng)抑制效果，滑?？刂圃诒ＷC系統(tǒng)角位置和角速度跟蹤參考軌跡的同時(shí)還要保證系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)跟蹤參考模型的模態(tài)坐標(biāo)，增加了控制設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和計(jì)算成本。
基于上述討論，本文提出一種自適應(yīng)滑模控制(ASMC)與輸入成形技術(shù)相結(jié)合的控制策略。該控制策略通過(guò)自適應(yīng)滑模控制保證了系統(tǒng)在不確定性影響下的一致有界性和漸進(jìn)一致有界性，從而提高了太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的角位置控制性能。同時(shí)，通過(guò)基于參考模型的輸入成形器規(guī)劃了系統(tǒng)的指令軌跡，進(jìn)而抑制了太陽(yáng)能帆板的柔性振動(dòng)。本文首先建立了太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，其次提出了包含輸入成形器、參考模型和自適應(yīng)滑?？刂频目刂撇呗?，最后給出了仿真結(jié)果。
1 太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模
太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)包含伺服電機(jī)、減速器、太陽(yáng)能帆板等，其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖1所示。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輪轂上固結(jié)了2個(gè)對(duì)稱配置的柔性帆板，電機(jī)產(chǎn)生力矩驅(qū)動(dòng)柔性帆板旋轉(zhuǎn)[19]。將輪轂視為剛體且將太陽(yáng)能帆板視為歐拉-伯努利梁，利用假設(shè)模態(tài)法，可以得到帆板的橫向彎曲撓度表達(dá)式如下：
(1)
圖1 太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of SADS
(2)
(3)
i=1,2,…,n
(4)
需要指出的是，式(2)和式(3)構(gòu)成太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛體子系統(tǒng)，式(4)為柔性體子系統(tǒng)。根據(jù)式(2)和式(3)可知，剛體子系統(tǒng)包含非線性項(xiàng)Td(θ,ω,t)，是一個(gè)非線性系統(tǒng)。根據(jù)式(4)可知，柔性體子系統(tǒng)是線性的。
當(dāng)表貼式永磁同步電機(jī)(SPMSM)作為系統(tǒng)的伺服電機(jī)時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程和電壓方程可以寫為[21]
(5)
式中：ud、uq、id、iq、R和L分別表示電機(jī)在d-q軸系下的定子電壓、定子電流、定子電阻和定子電感；n為減速器傳動(dòng)比；p為電機(jī)的極對(duì)數(shù)；kT為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)。
2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)
圖2 基于本文控制策略的太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Control structure of SADS based on proposed control strategy
的比例-積分(PI)控制策略[22]。由于在實(shí)際系統(tǒng)中電流環(huán)帶寬遠(yuǎn)大于位置環(huán)帶寬，在位置環(huán)的控制設(shè)計(jì)中，電流環(huán)的影響將被忽略。
本文的動(dòng)機(jī)是通過(guò)輸入成形器來(lái)抑制系統(tǒng)的柔性振動(dòng)。然而，輸入成形器是基于線性系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)的，它不能直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文提出了一個(gè)線性的參考模型，并利用自適應(yīng)滑?？刂剖沟锰?yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛體子系統(tǒng)式(2)～式(3)表現(xiàn)得像這個(gè)線性的參考模型。因此，閉環(huán)的太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可以由這個(gè)線性的參考模型和線性的柔性體子系統(tǒng)式(4)來(lái)代表。也就是說(shuō)，閉環(huán)的太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)得像一個(gè)線性系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，輸入成形器可以根據(jù)線性的參考模型和線性的柔性體子系統(tǒng)式(4)來(lái)設(shè)計(jì)。
2.1 參考模型設(shè)計(jì)
(6)
式中：
(7)
根據(jù)以上分析，針對(duì)標(biāo)稱系統(tǒng)
(8)
設(shè)計(jì)如下比例-微分(PD)控制：
Tc=KP(θr-θm)+KD(ωr-ωm)
(9)
式中：角速度指令ωr=0；KP為比例系數(shù)；KD為微分系數(shù)。將式(9)代入式(8)，可以得到參考模型如下：
(10)
2.2 輸入成形器設(shè)計(jì)
為了抑制系統(tǒng)的柔性振動(dòng)，本節(jié)針對(duì)閉環(huán)太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了輸入成形器。
輸入成形技術(shù)的基本原理如下[25]：將脈沖序列與任意的輸入指令相卷積，所形成的新指令作為系統(tǒng)輸入來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。相比于原指令，所形成的新指令將引起更小的柔性振動(dòng)。其中，脈沖序列稱為輸入成形器。
圖3 輸入成形器原理圖Fig.3 Schematic diagram of IS
由于零振動(dòng)(ZV)輸入成形器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，本文采用考慮前兩階模態(tài)的具有4個(gè)時(shí)間脈沖的零振動(dòng)輸入成形器，其表達(dá)式如下[26]：
(11)
式中：
(12)
其中：Ai和ti(i= 1, 2, 3, 4)分別為脈沖的幅值和作用時(shí)間；ωni和ζi(i=1, 2)分別為閉環(huán)太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比，并將在本節(jié)下文中推導(dǎo)。
(13)
由于剛體子系統(tǒng)式(2)～式(3)表現(xiàn)得像參考模型式(10)，結(jié)合柔性體子系統(tǒng)式(4)，閉環(huán)太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為
(14)
由于在實(shí)際系統(tǒng)中，高階模態(tài)不易被激發(fā)，因此通常對(duì)模態(tài)進(jìn)行截?cái)?，本文將取系統(tǒng)前兩階模態(tài)(即n=2)進(jìn)行研究。在此基礎(chǔ)上，式(14)可以改寫成形式如下的狀態(tài)方程：
(15)
式中：
(16)
(17)
狀態(tài)向量為
(18)
輸入為
u=θr
(19)
根據(jù)式(16)，可得矩陣A的復(fù)共軛特征值為
因此閉環(huán)系統(tǒng)式(14)的固有頻率ωni=ωi，阻尼比ζi=ξi(i=1, 2)。
2.3 自適應(yīng)滑?？刂圃O(shè)計(jì)
為了保證剛體子系統(tǒng)式(2)～式(3)表現(xiàn)得像參考模型式(10)并改善角位置控制性能，本節(jié)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模控制。
首先，對(duì)系統(tǒng)作如下假設(shè)：
定義角位置誤差eθ=θm-θ和角速度誤差eω=ωm-ω，并結(jié)合式(6)和式(10)可得
(20)
(21)
定義滑模函數(shù)為
(22)
因此，自適應(yīng)滑?？刂瓶梢栽O(shè)計(jì)為
(23)
(24)
下面定理給出了所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。
定理1考慮控制系統(tǒng)式(20)～式(21)，在滿足假設(shè)1的條件下，所設(shè)計(jì)的控制律式(23)～式(24)能夠保證系統(tǒng)滿足以下性能。
證明本文利用Lyapunov minimax方法證明上述定理。
首先，選擇控制系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為
(25)
對(duì)Lyapunov函數(shù)進(jìn)行一次求導(dǎo)并代入式(20)～式(22)，可得
(26)
將式(23)和式(24)代入式(26)可得
(27)
根據(jù)式(27)和文獻(xiàn)[27-28]的結(jié)論可知，eθ和eω是一致有界和漸進(jìn)一致有界的。因此，本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑模控制律式(23)～式(24)可以保證系統(tǒng)式(20)～式(21)在不確定性影響下的一致有界性和漸進(jìn)一致有界性。
證畢
3 仿真結(jié)果
為了驗(yàn)證本文所提出的控制策略的有效性，本節(jié)以國(guó)際空間站的太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為例進(jìn)行了數(shù)值仿真。系統(tǒng)的主要參數(shù)如表1所示[29-30]。
本文用振動(dòng)能量衡量振動(dòng)的強(qiáng)弱，并將其定義為
(28)
假設(shè)外界干擾力矩Td(t)由隨機(jī)干擾力矩Tr(t)和摩擦力矩Tf(t)構(gòu)成，則
Td(t)=Tr(t)+Tf(t)
(29)
式中:
表1 太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)仿真參數(shù)[29-30]
式中：Tu為作用在減速器輸出軸上的主動(dòng)力矩之和。根據(jù)表1可知，最大靜摩擦力矩Tmax為404.54 N·m，滑動(dòng)摩擦力矩Ts為324.31 N·m。將隨機(jī)干擾力矩Tr(t)的上界設(shè)為85 N·m[31]。此外，將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性表示為
ΔJ=0.1Jsin(4t)+0.1Jsin(8t)
(30)
為了說(shuō)明本文所提控制策略的有效性，現(xiàn)對(duì)比例-積分-微分控制策略(PID)、自適應(yīng)滑模控制策略、自適應(yīng)滑模控制與輸入成形相結(jié)合的控制策略這3種情況進(jìn)行仿真。其中，PID控制采用位置-轉(zhuǎn)速-電流三閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，參數(shù)通過(guò)根軌跡方法設(shè)計(jì)；ASMC的參數(shù)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)選?。豢刂破鲄?shù)如表2所示。
為了公平對(duì)比，電流環(huán)控制參數(shù)和隨機(jī)干擾力矩Tr(t)波形(如圖 4所示)在3種仿真情況中保持不變，3個(gè)控制器采樣周期均設(shè)定為80 μs，系統(tǒng)的前向通道和反饋通道的時(shí)間延遲均設(shè)定為10 ms。
圖5為角位置階躍給定情況下分別采用PID控制、ASMC和ASMC+IS時(shí)的位置響應(yīng)波形圖。由圖5可見，采用ASMC+IS時(shí)，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間為150.7 s，超調(diào)量為0.002 9 rad，超調(diào)過(guò)后，角位置軌線進(jìn)入與位置指令最大偏差為0.000 1 rad的區(qū)域。采用ASMC時(shí)，超調(diào)量和最大偏差與采用ASMC+IS時(shí)相同，調(diào)節(jié)時(shí)間降低至149.6 s。采用PID控制時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量分別為216.5s和0.23rad，當(dāng)角位置軌線進(jìn)入2%誤差帶后，軌線與位置指令最大偏差為0.004 5 rad。
表2 3種控制器的仿真參數(shù)
圖4 隨機(jī)干擾力矩波形Fig.4 Random disturbance torque waveform
圖6為采用3種控制策略時(shí)的角速度響應(yīng)波形圖。由圖6可見，采用ASMC+IS時(shí)，轉(zhuǎn)速峰值為0.012 rad/s；采用ASMC和PID控制時(shí)，轉(zhuǎn)速峰值分別為0.012和0.041 rad/s。
圖 7為采用3種控制策略時(shí)的振動(dòng)能量波形圖。由圖7可見，采用ASMC+IS時(shí)，振動(dòng)能量峰值為0.01 J；而采用ASMC和PID控制策略時(shí)，振動(dòng)能量峰值分別為0.033和0.235 J。
圖5 角位置響應(yīng)波形圖及其局部放大圖Fig.5 Oscillogram of time response of angular position and its partial enlarged views
圖6 角速度響應(yīng)波形圖Fig.6 Oscillogram of time response of angular velocity
圖8為采用3種控制策略時(shí)的驅(qū)動(dòng)力矩波形圖。由圖8可見，采用ASMC+IS時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩峰值為1 771 N·m；而采用ASMC和PID控制策略時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩峰值分別為1 878和4 195 N·m。
綜上可知，相比于PID控制，ASMC+IS有效改善了調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量、跟蹤誤差、轉(zhuǎn)速峰值和驅(qū)動(dòng)力矩峰值，并將振動(dòng)能量峰值降低了95.7%。因此，ASMC+IS比PID控制具有更強(qiáng)的角位置控制能力和振動(dòng)抑制能力。相比于ASMC，ASMC+IS在超調(diào)量、跟蹤誤差和轉(zhuǎn)速峰值方面具有相同的性能。盡管采用ASMC+IS時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間增加了0.67%，但是振動(dòng)能量和驅(qū)動(dòng)力矩峰值分別降低了69.7%和5.7%。因此，在角位置控制和振動(dòng)抑制方面，ASMC+IS比ASMC具有更好的綜合表現(xiàn)。
圖7 振動(dòng)能量波形圖Fig.7 Oscillogram of vibration energy
圖8 驅(qū)動(dòng)力矩波形圖Fig.8 Oscillogram of driving torque
4 結(jié) 論
1) 為提高太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的角位置控制性能和抑制太陽(yáng)能帆板的柔性振動(dòng)，本文提出了一種自適應(yīng)滑?？刂婆c輸入成形技術(shù)相結(jié)合的控制策略。
2) 理論分析表明，本文控制策略可以保證系統(tǒng)在不確定性影響下的一致有界性和漸進(jìn)一致有界性。
3) 仿真結(jié)果表明，相比于PID控制，本文所提出的控制策略ASMC+IS在調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量和跟蹤誤差方面具有更好的性能，并且降低了振動(dòng)能量，有效抑制了柔性振動(dòng)；相比于ASMC，ASMC+IS同樣有效降低了振動(dòng)能量，而其他性能基本相同。因此，ASMC+IS能在保證系統(tǒng)角位置控制性能的同時(shí)抑制太陽(yáng)能帆板的柔性振動(dòng)。
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周通， 郭宏， 徐金全
(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院, 北京 100083)
作為在軌空間站的重要組件，太陽(yáng)能帆板擔(dān)負(fù)著為整個(gè)空間站供電的任務(wù)。為提高太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化效率，太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(SADS)的角位置控制吸引了很多學(xué)者的深入研究。然而，太陽(yáng)能帆板是柔性體，其動(dòng)態(tài)特性包含了大量與剛體運(yùn)動(dòng)相耦合的弱阻尼柔性模態(tài)。該特性極易在系統(tǒng)的對(duì)日定向過(guò)程中引起太陽(yáng)能帆板的柔性振動(dòng)，進(jìn)而影響空間站的運(yùn)動(dòng)與控制。因此,尋求一種角位置控制和振動(dòng)抑制方法對(duì)于太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)顯得尤為重要。
針對(duì)太陽(yáng)能帆板的振動(dòng)抑制問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了大量研究。采用智能材料進(jìn)行主動(dòng)控制是一種有效抑制振動(dòng)的方法。在基于智能材料的控制方法方面，提出了剛度控制[1]以及正位置反饋控制[2-3]。然而，這類方法需要在原結(jié)構(gòu)上附加一系列的傳感器和作動(dòng)器，增加了系統(tǒng)的質(zhì)量，同時(shí)降低了可靠性，因此該主動(dòng)控制方法在空間系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用中受到一定限制[4]。另一種抑制振動(dòng)的方法是輸入成形，該方法將期望指令與脈沖序列在時(shí)域中進(jìn)行卷積，所形成的新指令作為系統(tǒng)輸入來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)以消除柔性模態(tài)的振動(dòng)[5]。文獻(xiàn)[6]將輸入成形器(IS)應(yīng)用于太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)抑制中，提升了系統(tǒng)的工作性能。然而，輸入成形器的設(shè)計(jì)依賴于太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，由于系統(tǒng)存在不確定性，該數(shù)學(xué)模型難以準(zhǔn)確建立[7]。不僅如此，輸入成形器是基于線性系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)的，無(wú)法直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)[8-9]。
太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的角位置控制同樣被廣泛研究。文獻(xiàn)[10]針對(duì)太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)提出一種H∞魯棒控制。文獻(xiàn)[11-12]和文獻(xiàn)[13-14]針對(duì)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分別設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制和滑?？刂?，文獻(xiàn)[15]基于耗散理論提出一種主動(dòng)穩(wěn)定器。以上控制方法都能在完成指定的角位置階躍響應(yīng)的同時(shí)抑制柔性振動(dòng)，并且縮短了過(guò)渡過(guò)程時(shí)間，提高了系統(tǒng)性能對(duì)參數(shù)攝動(dòng)與外部干擾的魯棒性。然而，由于缺少對(duì)指令軌跡的設(shè)計(jì)，使得系統(tǒng)在瞬態(tài)過(guò)程中存在較大的柔性振動(dòng)。文獻(xiàn)[16-18]針對(duì)剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)分別提出了帶自適應(yīng)律和不帶自適應(yīng)律的滑模控制，并且采用基于參考模型的輸入成形器設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的指令軌跡。該方法通過(guò)滑?？刂屏钐?yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)得像參考模型。這種方法的參考模型屬于多維度系統(tǒng)，為獲得輸入成形器預(yù)期的振動(dòng)抑制效果，滑?？刂圃诒ＷC系統(tǒng)角位置和角速度跟蹤參考軌跡的同時(shí)還要保證系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)跟蹤參考模型的模態(tài)坐標(biāo)，增加了控制設(shè)計(jì)的復(fù)雜性和計(jì)算成本。
基于上述討論，本文提出一種自適應(yīng)滑模控制(ASMC)與輸入成形技術(shù)相結(jié)合的控制策略。該控制策略通過(guò)自適應(yīng)滑模控制保證了系統(tǒng)在不確定性影響下的一致有界性和漸進(jìn)一致有界性，從而提高了太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的角位置控制性能。同時(shí)，通過(guò)基于參考模型的輸入成形器規(guī)劃了系統(tǒng)的指令軌跡，進(jìn)而抑制了太陽(yáng)能帆板的柔性振動(dòng)。本文首先建立了太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，其次提出了包含輸入成形器、參考模型和自適應(yīng)滑?？刂频目刂撇呗?，最后給出了仿真結(jié)果。
1 太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)建模
太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)包含伺服電機(jī)、減速器、太陽(yáng)能帆板等，其簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)如圖1所示。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輪轂上固結(jié)了2個(gè)對(duì)稱配置的柔性帆板，電機(jī)產(chǎn)生力矩驅(qū)動(dòng)柔性帆板旋轉(zhuǎn)[19]。將輪轂視為剛體且將太陽(yáng)能帆板視為歐拉-伯努利梁，利用假設(shè)模態(tài)法，可以得到帆板的橫向彎曲撓度表達(dá)式如下：
(1)
圖1 太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of SADS
(2)
(3)
i=1,2,…,n
(4)
需要指出的是，式(2)和式(3)構(gòu)成太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛體子系統(tǒng)，式(4)為柔性體子系統(tǒng)。根據(jù)式(2)和式(3)可知，剛體子系統(tǒng)包含非線性項(xiàng)Td(θ,ω,t)，是一個(gè)非線性系統(tǒng)。根據(jù)式(4)可知，柔性體子系統(tǒng)是線性的。
當(dāng)表貼式永磁同步電機(jī)(SPMSM)作為系統(tǒng)的伺服電機(jī)時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)矩方程和電壓方程可以寫為[21]
(5)
式中：ud、uq、id、iq、R和L分別表示電機(jī)在d-q軸系下的定子電壓、定子電流、定子電阻和定子電感；n為減速器傳動(dòng)比；p為電機(jī)的極對(duì)數(shù)；kT為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩常數(shù)。
2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)
圖2 基于本文控制策略的太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)Fig.2 Control structure of SADS based on proposed control strategy
的比例-積分(PI)控制策略[22]。由于在實(shí)際系統(tǒng)中電流環(huán)帶寬遠(yuǎn)大于位置環(huán)帶寬，在位置環(huán)的控制設(shè)計(jì)中，電流環(huán)的影響將被忽略。
本文的動(dòng)機(jī)是通過(guò)輸入成形器來(lái)抑制系統(tǒng)的柔性振動(dòng)。然而，輸入成形器是基于線性系統(tǒng)理論設(shè)計(jì)的，它不能直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)。為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文提出了一個(gè)線性的參考模型，并利用自適應(yīng)滑?？刂剖沟锰?yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的剛體子系統(tǒng)式(2)～式(3)表現(xiàn)得像這個(gè)線性的參考模型。因此，閉環(huán)的太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)可以由這個(gè)線性的參考模型和線性的柔性體子系統(tǒng)式(4)來(lái)代表。也就是說(shuō)，閉環(huán)的太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)表現(xiàn)得像一個(gè)線性系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，輸入成形器可以根據(jù)線性的參考模型和線性的柔性體子系統(tǒng)式(4)來(lái)設(shè)計(jì)。
2.1 參考模型設(shè)計(jì)
(6)
式中：
(7)
根據(jù)以上分析，針對(duì)標(biāo)稱系統(tǒng)
(8)
設(shè)計(jì)如下比例-微分(PD)控制：
Tc=KP(θr-θm)+KD(ωr-ωm)
(9)
式中：角速度指令ωr=0；KP為比例系數(shù)；KD為微分系數(shù)。將式(9)代入式(8)，可以得到參考模型如下：
(10)
2.2 輸入成形器設(shè)計(jì)
為了抑制系統(tǒng)的柔性振動(dòng)，本節(jié)針對(duì)閉環(huán)太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)了輸入成形器。
輸入成形技術(shù)的基本原理如下[25]：將脈沖序列與任意的輸入指令相卷積，所形成的新指令作為系統(tǒng)輸入來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，如圖3所示。相比于原指令，所形成的新指令將引起更小的柔性振動(dòng)。其中，脈沖序列稱為輸入成形器。
圖3 輸入成形器原理圖Fig.3 Schematic diagram of IS
由于零振動(dòng)(ZV)輸入成形器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，本文采用考慮前兩階模態(tài)的具有4個(gè)時(shí)間脈沖的零振動(dòng)輸入成形器，其表達(dá)式如下[26]：
(11)
式中：
(12)
其中：Ai和ti(i= 1, 2, 3, 4)分別為脈沖的幅值和作用時(shí)間；ωni和ζi(i=1, 2)分別為閉環(huán)太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比，并將在本節(jié)下文中推導(dǎo)。
(13)
由于剛體子系統(tǒng)式(2)～式(3)表現(xiàn)得像參考模型式(10)，結(jié)合柔性體子系統(tǒng)式(4)，閉環(huán)太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為
(14)
由于在實(shí)際系統(tǒng)中，高階模態(tài)不易被激發(fā)，因此通常對(duì)模態(tài)進(jìn)行截?cái)?，本文將取系統(tǒng)前兩階模態(tài)(即n=2)進(jìn)行研究。在此基礎(chǔ)上，式(14)可以改寫成形式如下的狀態(tài)方程：
(15)
式中：
(16)
(17)
狀態(tài)向量為
(18)
輸入為
u=θr
(19)
根據(jù)式(16)，可得矩陣A的復(fù)共軛特征值為
因此閉環(huán)系統(tǒng)式(14)的固有頻率ωni=ωi，阻尼比ζi=ξi(i=1, 2)。
2.3 自適應(yīng)滑?？刂圃O(shè)計(jì)
為了保證剛體子系統(tǒng)式(2)～式(3)表現(xiàn)得像參考模型式(10)并改善角位置控制性能，本節(jié)設(shè)計(jì)了自適應(yīng)滑模控制。
首先，對(duì)系統(tǒng)作如下假設(shè)：
定義角位置誤差eθ=θm-θ和角速度誤差eω=ωm-ω，并結(jié)合式(6)和式(10)可得
(20)
(21)
定義滑模函數(shù)為
(22)
因此，自適應(yīng)滑?？刂瓶梢栽O(shè)計(jì)為
(23)
(24)
下面定理給出了所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。
定理1考慮控制系統(tǒng)式(20)～式(21)，在滿足假設(shè)1的條件下，所設(shè)計(jì)的控制律式(23)～式(24)能夠保證系統(tǒng)滿足以下性能。
證明本文利用Lyapunov minimax方法證明上述定理。
首先，選擇控制系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為
(25)
對(duì)Lyapunov函數(shù)進(jìn)行一次求導(dǎo)并代入式(20)～式(22)，可得
(26)
將式(23)和式(24)代入式(26)可得
(27)
根據(jù)式(27)和文獻(xiàn)[27-28]的結(jié)論可知，eθ和eω是一致有界和漸進(jìn)一致有界的。因此，本文所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)滑模控制律式(23)～式(24)可以保證系統(tǒng)式(20)～式(21)在不確定性影響下的一致有界性和漸進(jìn)一致有界性。
證畢
3 仿真結(jié)果
為了驗(yàn)證本文所提出的控制策略的有效性，本節(jié)以國(guó)際空間站的太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為例進(jìn)行了數(shù)值仿真。系統(tǒng)的主要參數(shù)如表1所示[29-30]。
本文用振動(dòng)能量衡量振動(dòng)的強(qiáng)弱，并將其定義為
(28)
假設(shè)外界干擾力矩Td(t)由隨機(jī)干擾力矩Tr(t)和摩擦力矩Tf(t)構(gòu)成，則
Td(t)=Tr(t)+Tf(t)
(29)
式中:
表1 太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)仿真參數(shù)[29-30]
式中：Tu為作用在減速器輸出軸上的主動(dòng)力矩之和。根據(jù)表1可知，最大靜摩擦力矩Tmax為404.54 N·m，滑動(dòng)摩擦力矩Ts為324.31 N·m。將隨機(jī)干擾力矩Tr(t)的上界設(shè)為85 N·m[31]。此外，將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性表示為
ΔJ=0.1Jsin(4t)+0.1Jsin(8t)
(30)
為了說(shuō)明本文所提控制策略的有效性，現(xiàn)對(duì)比例-積分-微分控制策略(PID)、自適應(yīng)滑模控制策略、自適應(yīng)滑模控制與輸入成形相結(jié)合的控制策略這3種情況進(jìn)行仿真。其中，PID控制采用位置-轉(zhuǎn)速-電流三閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)，參數(shù)通過(guò)根軌跡方法設(shè)計(jì)；ASMC的參數(shù)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)選?。豢刂破鲄?shù)如表2所示。
為了公平對(duì)比，電流環(huán)控制參數(shù)和隨機(jī)干擾力矩Tr(t)波形(如圖 4所示)在3種仿真情況中保持不變，3個(gè)控制器采樣周期均設(shè)定為80 μs，系統(tǒng)的前向通道和反饋通道的時(shí)間延遲均設(shè)定為10 ms。
圖5為角位置階躍給定情況下分別采用PID控制、ASMC和ASMC+IS時(shí)的位置響應(yīng)波形圖。由圖5可見，采用ASMC+IS時(shí)，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間為150.7 s，超調(diào)量為0.002 9 rad，超調(diào)過(guò)后，角位置軌線進(jìn)入與位置指令最大偏差為0.000 1 rad的區(qū)域。采用ASMC時(shí)，超調(diào)量和最大偏差與采用ASMC+IS時(shí)相同，調(diào)節(jié)時(shí)間降低至149.6 s。采用PID控制時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量分別為216.5s和0.23rad，當(dāng)角位置軌線進(jìn)入2%誤差帶后，軌線與位置指令最大偏差為0.004 5 rad。
表2 3種控制器的仿真參數(shù)
圖4 隨機(jī)干擾力矩波形Fig.4 Random disturbance torque waveform
圖6為采用3種控制策略時(shí)的角速度響應(yīng)波形圖。由圖6可見，采用ASMC+IS時(shí)，轉(zhuǎn)速峰值為0.012 rad/s；采用ASMC和PID控制時(shí)，轉(zhuǎn)速峰值分別為0.012和0.041 rad/s。
圖 7為采用3種控制策略時(shí)的振動(dòng)能量波形圖。由圖7可見，采用ASMC+IS時(shí)，振動(dòng)能量峰值為0.01 J；而采用ASMC和PID控制策略時(shí)，振動(dòng)能量峰值分別為0.033和0.235 J。
圖5 角位置響應(yīng)波形圖及其局部放大圖Fig.5 Oscillogram of time response of angular position and its partial enlarged views
圖6 角速度響應(yīng)波形圖Fig.6 Oscillogram of time response of angular velocity
圖8為采用3種控制策略時(shí)的驅(qū)動(dòng)力矩波形圖。由圖8可見，采用ASMC+IS時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩峰值為1 771 N·m；而采用ASMC和PID控制策略時(shí)，驅(qū)動(dòng)力矩峰值分別為1 878和4 195 N·m。
綜上可知，相比于PID控制，ASMC+IS有效改善了調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量、跟蹤誤差、轉(zhuǎn)速峰值和驅(qū)動(dòng)力矩峰值，并將振動(dòng)能量峰值降低了95.7%。因此，ASMC+IS比PID控制具有更強(qiáng)的角位置控制能力和振動(dòng)抑制能力。相比于ASMC，ASMC+IS在超調(diào)量、跟蹤誤差和轉(zhuǎn)速峰值方面具有相同的性能。盡管采用ASMC+IS時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)間增加了0.67%，但是振動(dòng)能量和驅(qū)動(dòng)力矩峰值分別降低了69.7%和5.7%。因此，在角位置控制和振動(dòng)抑制方面，ASMC+IS比ASMC具有更好的綜合表現(xiàn)。
圖7 振動(dòng)能量波形圖Fig.7 Oscillogram of vibration energy
圖8 驅(qū)動(dòng)力矩波形圖Fig.8 Oscillogram of driving torque
4 結(jié) 論
1) 為提高太陽(yáng)能帆板驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的角位置控制性能和抑制太陽(yáng)能帆板的柔性振動(dòng)，本文提出了一種自適應(yīng)滑?？刂婆c輸入成形技術(shù)相結(jié)合的控制策略。
2) 理論分析表明，本文控制策略可以保證系統(tǒng)在不確定性影響下的一致有界性和漸進(jìn)一致有界性。
3) 仿真結(jié)果表明，相比于PID控制，本文所提出的控制策略ASMC+IS在調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量和跟蹤誤差方面具有更好的性能，并且降低了振動(dòng)能量，有效抑制了柔性振動(dòng)；相比于ASMC，ASMC+IS同樣有效降低了振動(dòng)能量，而其他性能基本相同。因此，ASMC+IS能在保證系統(tǒng)角位置控制性能的同時(shí)抑制太陽(yáng)能帆板的柔性振動(dòng)。
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